孫瑞嬌，杜曉婷

(山東科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院,山東 青島 266590)

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時變波動率和隨機利率模型下的動態(tài)投資研究

孫瑞嬌，杜曉婷

(山東科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院,山東 青島 266590)

在金融市場中，假設(shè)風(fēng)險資產(chǎn)價格的波動率隨時間的變化而變化，它的函數(shù)表達(dá)式由隨機環(huán)境下的波動率去掉隨機項的部分確定，無風(fēng)險利率是隨機的，用Hull-White隨機利率模型來刻畫，根據(jù)動態(tài)規(guī)劃中的Bellman最優(yōu)性原理，建立了基于冪效用函數(shù)的風(fēng)險資產(chǎn)和無風(fēng)險資產(chǎn)的動態(tài)投資組合模型，給出了使期望效用最大化的最優(yōu)投資策略.

時變波動率；Hull-White隨機利率模型；動態(tài)投資組合；Bellman最優(yōu)性原理；期望效用最大化

投資組合是投資者將資金投資于風(fēng)險資產(chǎn)和無風(fēng)險資產(chǎn)的組合，它的目的在于分散風(fēng)險，使終端財富最大化.自Markowitz提出分散投資和效率投資組合理論[1,2]以來,在最優(yōu)投資組合問題上出現(xiàn)了許多顯著的研究成果，尤其是波動率隨機化或無風(fēng)險利率隨機化下的投資組合.對于隨機利率下的投資組合，國內(nèi)外學(xué)者大部分研究了Ho-Lee隨機利率模型、Vasicek隨機利率模型或Cox-Ingersoll-Ross(CIR)隨機利率模型[3～6]下的投資組合問題,而很少與具體的時變波動率或隨機波動率結(jié)合來研究投資組合問題.

Hull-White隨機利率模型作為Ho-Lee隨機利率模型的推廣模型，比其它隨機利率模型能更好地匹配當(dāng)前的利率期限結(jié)構(gòu),并且它所描述的利率過程是一個無套利的Markov過程[7～11]，具有較好的性質(zhì)和研究價值.對于風(fēng)險資產(chǎn)價格的波動率，有一種隨機波動率，其過程遵循幾何布朗運動，可以保證波動率的非負(fù)性[12].不確定性下的理性決策有3種準(zhǔn)則：一是數(shù)學(xué)期望最大化準(zhǔn)則，二是期望效用準(zhǔn)則，三是后期望效用準(zhǔn)則.20世紀(jì)50年代，Von Neumann和Morgenstern提出了期望效用函數(shù)理論，針對金融市場中的投資組合問題，依據(jù)期望效用準(zhǔn)則，在不確定的情況下，為了最大化期望效用，必須事先做出適當(dāng)?shù)耐顿Y決策[13，14].

本文在常浩[15]提出的 Ho-Lee利率模型下的動態(tài)投資組合的基礎(chǔ)上,采用Ho-Lee利率的推廣模型——Hull-White隨機利率模型，并與具體的時變波動率相結(jié)合，研究動態(tài)投資組合問題.應(yīng)用期望效用函數(shù)理論，建立了冪效用函數(shù)下的動態(tài)投資組合模型，并給出了最優(yōu)投資策略的顯示表達(dá)式.

1 投資組合模型

假定投資者選擇了金融市場中的兩種資產(chǎn)進行投資，一種是無風(fēng)險資產(chǎn)，比如通常情況下的政府債券，另一種是風(fēng)險資產(chǎn)，比如股票或衍生金融產(chǎn)品，投資周期為[0,T].用P(t)，S(t)分別表示無風(fēng)險資產(chǎn)和風(fēng)險資產(chǎn)在t時刻的價格，它們的價格過程對應(yīng)著下面的2個方程：

(1)

(2)

其中,r(t)為t時刻的無風(fēng)險利率，λ(t)為風(fēng)險資產(chǎn)在t時刻的風(fēng)險溢價，σ(t)為風(fēng)險資產(chǎn)價格在t時刻的波動率，B(t)為一維的標(biāo)準(zhǔn)布朗運動.

(3)

根據(jù)Ito公式可以得到

其中,σ0為風(fēng)險資產(chǎn)價格在0時刻的波動率，β,η為常數(shù).

對于無風(fēng)險利率r(t)，假定它是隨機的，應(yīng)用Hull-White隨機利率模型，滿足的隨機微分方程如下：

(4)

(5)

結(jié)合式(1)、(2)得到:

(6)

來刻畫.于是建立以下的動態(tài)投資組合模型：

(7)

2 最優(yōu)投資策略

定義值函數(shù)

(8)

結(jié)合式(5)、(6)，根據(jù)Bellman最優(yōu)性原理[15]，值函數(shù)V(t,r,y)對應(yīng)下面的HJB方程

(9)

其中,Vt,Vy,Vr,Vrr,Vry,Vyy分別是V(t,r,y)關(guān)于t,r,y的一階偏導(dǎo)與二階偏導(dǎo)數(shù).對式(9)左邊大括號內(nèi)的部分關(guān)于x(t)求偏導(dǎo)數(shù)，由于是凹規(guī)劃問題，一階最優(yōu)性條件也是充分條件.進而由一階最優(yōu)性條件得：

(10)

從而得最優(yōu)解

(11)

這是模型的隱式解.

將式(11)代入式(9)可以得到：

(12)

以下定理給出最優(yōu)投資策略的顯示表達(dá)式：

(13)

將它們代入式(12)可得

(14)

又因為

其中,M′(t)，N′(t)分別表示它們關(guān)于t的導(dǎo)數(shù)，代入式(14)得

(15)

消除式(15)對r的依賴性可以得到下面兩個方程：

解得

所以

3 小結(jié)和展望

在時變波動率和Hull-White隨機利率模型下的最優(yōu)投資策略x*(t)與波動率參數(shù)β，η和隨機利率參數(shù)α(t)，σr有關(guān)，而與隨機利率參數(shù)θ(t)無關(guān).因此波動率與利率共同影響著投資者做何種決策.本文所建立的動態(tài)投資組合模型是在時變波動率和隨機利率下建立的，在隨機波動率和隨機利率下也可以建立相應(yīng)的動態(tài)投資組合模型，求得最優(yōu)解.

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(責(zé)任編輯：張冬冬)

Research on dynamic portfolio of time-varying volatility and stochastic interest rate mode

SUN Ruijiao,DU Xiaoting

(Institute of Mathematics,Shandong University of Science and Technology,Qingdao Shandong 266590,China)

In the financial markets,volatility is assumed that the price of risky asset changes over time and its function expression is determined by the stochastic volatility without the part of a random item.The non-risk interest rate is random,with Hull-White stochastic interest rate models to describe.The paper,based on dynamic programming in the Bellman optimality principle,establishes a dynamic portfolio model based on a power utility function and obtains the implicit solution of optimal investment strategies.And finally then show the explicit expressions of optimal investment strategy and the corresponding conclusions.

timevarying volatility;Hull-White stochastic interest rate model;dynamic portfolio;Bellman principle of optimality;expected utility maximization

2016-04-21

孫瑞嬌(1991-),女，山東聊城人，山東科技大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院碩士研究生.

F832.48；O211.6

A

1008-2441(2016)04-0001-05