韓 琦,成 丹,韋仁童,何明珍

(西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,甘肅蘭州 730070)

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基于白噪聲分析理論的Spin Glasses能量模型

韓 琦,成 丹,韋仁童,何明珍

(西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,甘肅蘭州 730070)

使用白噪聲分析理論研究Spin Glasses隨機能量模型,對Derrida極限定理進行了推廣;在白噪聲分析框架下,給出了基于指數(shù)映射的極限定理，并提出了白噪聲分析框架下的隨機模型.

Spin Glasses能量模型;自由能;配分函數(shù);指數(shù)泛函

1 預(yù)備知識

Spin Glasses作為一個高度復(fù)雜無序系統(tǒng)的典型范例日益受到學(xué)者的關(guān)注[1-3].基于Spin Glasses產(chǎn)生了許多能量模型,如 Sherrington-Kirkpatrick模型[2]、p-Spin模型[3]等，由Derrida建立的隨機能量模型就是一種既簡單又具代表性的模型.

Derrida的工作可以概括為如下形式的極限定理:

本文基于白噪聲分析理論討論Derrida隨機能量模型,基本思想是:在白噪聲分析框架下,取“單粒子空間”的一個標準正交系,用以代替隨機能量模型的構(gòu)形空間ΣN={-1,1}N;借助于白噪聲映射W得到一族對稱Gauss隨機變量,以代替Derrida隨機能量模型中的Hamilton能量函數(shù).

2 主要結(jié)果

證明 設(shè)

另一方面,

故

(-ln2+Nlnq+lnaN+β sN)=

基于引理1,下面給出Derrida定理的一個推廣.

(1)

證明 由

(2)

另一方面,由引理1可知

(3)

結(jié)合(2),(3)式可知(1)式成立. 】

(4)

證明 設(shè)

則由引理1可知

故

從而

(5)

又因為

取上極限得

(6)

結(jié)合(5),(6)式可知(4)式成立. 】

接下來給出基于白噪聲分析框架的極限定理,為此先定義一個函數(shù)gN(q,β).

定義1 設(shè)q,N為正整數(shù),且q≥2,實數(shù)β>0,令

將定理1,2中的對稱Gauss隨機變量替換為白噪聲空間中的指數(shù)泛函,則得到如下結(jié)論:

定理3 設(shè)q,N為正整數(shù),且q≥2,則對于β>0,有

從而

(7)

又由定理2可知

(8)

將(7)式代入(8)式即得定理結(jié)論. 】

最后,給出基于白噪聲分析框架的模型的物理意義.

(9)

[1] TALAGRAND M.UpperandLowerBoundsforStochasticProcesses:ModernMethodsandClassicalProblems[M].Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete.3.Folge.A Series of Modern Surveys in Mathematics.Berlin:Springer,2014.

[2] BOETTCHER S.Extremal optimization for ground states of the Sherrington-Kirkpatrick Spin Glasses with Levy bonds[J].PhysicsProcedia,2014,53:24.

[3] KOH C Y,KWEK C K.Entanglement of a 2-qubit system coupled to a bath of quantum Spin Glass[J].PhysicaA:StatisticalMechanicsanditsApplications,2014,403:54.

[4] TALAGRAND M.MeanFieldModelsforSpinGlasses,VolumeⅡ:AdvancedReplica-SymmetryandLowTemperature[M].Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete.3.Folge.A Series of Modern Surveys in Mathematics.Berlin:Springer,2011.

[5] TALAGRAND M.MeanFieldModelsforSpinGlasses:BasicExamples[M].Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete.3.Folge A Series of Modern Surveys in Mathematics.Berlin:Springer,2010.

[6] TALAGRAND M.MeanFieldModelsforSpinGlasses:SomeObnoxiousProblems[M].Berlin:Springer,2007.

[7] TALAGRAND M.SpinGlasses:AChallengeforMathematicians,CavityandMeanFieldModels[M].Berlin:Springer,2003.

[8] BOLTHAUSE N,PEKINS E,VANDERVAART A.LecturesonProbabilityTheoryandStatistics[M].Berlin:Springer，2002.

(責任編輯 馬宇鴻)

The Spin Glasses energy model based on the theory of white noise analysis

HAN Qi,CHENG Dan,WEI Ren-tong,HE Ming-zhen

(College of Mathematics and Statistics,Northwest Normal University,Lanzhou 730070,Gansu,China)

A random Spin Glasses energy model is studied by using the theory of white noise analysis,and the Derrida limit theorem is also made an extension.Under the framework of white noise analysis,the limit theorem which based on exponential map is obtained and a stochastic model is presented.

Spin Glasses energy model;free energy;partition function;exponential functional

10.16783/j.cnki.nwnuz.2016.01.002

2015-07-13;修改稿收到日期:2015-10-21

國家自然科學(xué)基金資助項目(11061032，1261023-G0114)

韓琦(1978—),男,山東嘉祥人,副教授，博士.主要研究方向為隨機分析及其應(yīng)用.

E-mail:hanqi1978@nwnu.edu.cn

O 211.4

A

1001-988Ⅹ(2016)01-0008-04