謝勇

含參成立性問題是以含有參數(shù)的等式或不等式為載體、以求解參數(shù)的取值范圍為目的的一類題型.此類問題是歷年高考命題的熱點(diǎn)，而含參一元二次不等式恒成立問題更是近幾年高考常考題型.新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)加強(qiáng)了函數(shù)與方程、不等式間的聯(lián)系，從中學(xué)數(shù)學(xué)知識體系來看，函數(shù)是代數(shù)的“紐帶”，代數(shù)式、方程、不等式等都與函數(shù)知識有直接的聯(lián)系.本文結(jié)合實(shí)例介紹參數(shù)在一元二次不等式的不同位置進(jìn)行分類研究，體現(xiàn)“等價(jià)轉(zhuǎn)化”與“數(shù)形結(jié)合”思想的靈活運(yùn)用.

類型一、參數(shù)在常數(shù)項(xiàng)

例1關(guān)于x的不等式x2-2x+a>0在R上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解法一（分離參數(shù)）

由題意可知，a>-x2+2x在R上恒成立，所以a>（-x2+2x）max.令h（x）=-x2+2x=-（x-1）2+1，又因x∈R，所以hxmax=1，所以a>1.

評注分離參數(shù)得到a>hx在區(qū)間D上恒成立，即只需a>hxmax，此思路將含有參數(shù)的不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)最值問題.

解法二（轉(zhuǎn)化為不等式所對應(yīng)的函數(shù)問題）

設(shè)f（x）=x2-2x+a，故要使得f（x）>0在R上恒成立，只需判別式Δ<0，即4-4a<0，解得a>1.

評注此思路構(gòu)造函數(shù)將含參不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，有時(shí)需要結(jié)合參數(shù)的位置進(jìn)行分類討論.

變式關(guān)于x的不等式x2-2x+a<0在0，3上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解法一（分離參數(shù)）

由題意可知，a<-x2+2x在0，3上恒成立，所以a<（-x2+2x）min.令hx=-x2+2x=-x-12+1，其中x∈0，3，易知hxmin=h3=-3，因此a<-3.

解法二（轉(zhuǎn)化為不等式所對應(yīng)的函數(shù)問題）

設(shè)f（x）=x2-2x+a=（x-1）2+a-1，故要使得f（x）<0在0，3上恒成立，只需fxmax=f3=3+a<0，解得a<-3.

數(shù)學(xué)的復(fù)雜性在于問題的千變?nèi)f化，參數(shù)問題形式多樣，方法靈活多變，技巧性強(qiáng)，這就要求我們要以不變應(yīng)萬變，在解題過程中，應(yīng)根據(jù)具體的題設(shè)條件，觀察題目中不等式的結(jié)構(gòu)特征，從不同角度與方向加以分析探討，從而選擇恰當(dāng)?shù)姆椒焖俣鴾?zhǔn)確地解決.特別需要注意的是，各種方法之間并不是彼此孤立的，而是幾種方法的融合.因此，系統(tǒng)地掌握參數(shù)問題的常規(guī)解題方法，對培養(yǎng)學(xué)生分析解決問題的能力大有裨益.