錢見寶

高中數(shù)學中有許多與“1”有關的知識，指數(shù)函數(shù)圖象經(jīng)過的定點（0，1），對數(shù)函數(shù)圖象經(jīng)過的定點（1，0），三角函數(shù)中借助單位圓定義正弦、余弦、正切，sin2α+sin2α=1，橢圓、雙曲線的標準方程右邊為1，橢圓離心率在0到1之間，雙曲線離心率大于1，拋物線離心率等于1，平面向量中的單位向量，必然事件的概率為1等.如此多的知識都與它有關，可見“1”確實與高中數(shù)學知識與較深的淵源.

高中數(shù)學中有許多題目與“1”有關，若能準確地應用與“1”有關的知識，合理地利用“1”在題目中所扮演的角色，巧妙的轉化“1”， 將大大地簡化計算量和計算過程，能收到事半功倍的良效.

一、可以被代換的“1”

例1已知

sinα+3cosα3cosα-sinα=5，則sin2α-sinαcosα的值是.

解由

sinα+3cosα3cosα-sinα=5得

tanα+33-tanα=5，即tanα=2，所以sin2α-sinαcosα=

sin2α-sinαcosαsin2α+cos2α=tan2α-tanαtan2α+1=25.

評價由于任何非0實數(shù)與1相除都等于這個數(shù)，所以把所求式子看成分母為1的分式，并用平方關系整體代換1，將其化成齊次式，目的是可利用商數(shù)關系向正切函數(shù)轉化，進而求值.

例2若正數(shù)x，y滿足x+y=4xy，則x+y的最小值為.

解由x+y=4xy得14y+14x=1（x>0，y>0），

則x+y=（x+y）（14y+14x）=x4y+y4x+12≥2x4y·y4x+12=1，

當且僅當x4y=y4x，即x=y時等號成立.

評價由于任何非0數(shù)與1相乘都等于這個數(shù)，所以通過已知等式生成1，整體代換，將其化成齊次式，目的是為應用基本不等式兩數(shù)相乘時提供定值.

二、容易被遺忘的“1”

例3已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且Sn=2n+b，求數(shù)列an的通項公式.

解當n=1時，a1=S1=2+b；

當n≥2時，an=Sn-Sn-1=（2n+b）-（2n-1+b）=2n-1.

當b=-1時，a1適合此等式；當b≠-1時，a1不適合此等式.

所以當b=-1時，an=2n-1；當b≠-1時，an=2+b，n=1，2n-1，n≥2.

例4求證：（n+1）（n+2）·…·（n+n）=2n·1·3·5·…·（2n-1）（n∈N*）.

證明（1）當n=1時，等式左邊=2，右邊=21·1=2，所以等式成立.

（2）假設當n=k（k∈N*）時，等式成立，

即（k+1）（k+2）·…·（k+k）=2k·1·3·5·…·（2k-1）.

當n=k+1時，左邊=（k+2）（k+3）·…·2k·（2k+1）（2k+2）

=2·（k+1）（k+2）（k+3）·…·（k+k）·（2k+1）

=2·2k·1·3·5·…·（2k-1）·（2k+1）

=2k+1·1·3·5·…·（2k-1）（2k+1）.

這就是說當n=k+1時，等式成立.

根據(jù)（1）、（2）知，對n∈N*，原等式成立.

評價解答數(shù)列中an與Sn相關的問題和利用數(shù)學歸納法證明時，不能忘記對n=1的研究.三、隱藏在深處的“1”

例5若a=30.6，b=log30.2，c=0.63，則a ，b，c 從大到小的順序為.

解由于30.6>1，

log30.2<0，0<0.63<1，所以a>c>b.

評價在指數(shù)式、對數(shù)式的大小關系比較時，通常會選擇1作為中間量.

例6已知隨機變量X服從正態(tài)分布N（2，σ2），且P（X<4）=0.8，則P（0

.

解由P（X<4）=0.8，得P（X≥4）=0.2.由題意知正態(tài)曲線的對稱軸為直線x=2，P（X≤0）=P（X≥4）=0.2，所以P（0

評價正態(tài)分布相關問題，抓好正態(tài)曲線的對稱性和正態(tài)曲線與x軸之間的面積為1完成解答.

例7如圖，在△ABC中，點O是BC的中點，過點O的直線分別交直線AB、AC

于不同的兩點M、N，若AB=mAM，AC=nAN，則m+n的值為.

解因為AO=12AB+12AC=12mAM+12nAN，

所以12m+12n=1，得m+n=2.

評價本題應用了直線向量參數(shù)方程（已知A、B是直線l上的任意兩點，O是l外一點，則對直線l上任意一點P，存在實數(shù)t，使OP=（1-t）OA+tOB.）中隱含的1（OA，OB的系數(shù)和為1），極大地提高了解題效率.