孫娓娓，王先超，牛向陽，周 霞

（阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，安徽阜陽 236041）

基于太陽影子的視頻定位研究

孫娓娓，王先超，牛向陽，周 霞

（阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，安徽阜陽 236041）

結(jié)合相關(guān)地理知識，利用非線性擬合、超定方程和Matlab軟件，對利用太陽影子確定視頻拍攝地點和時間的方法進行了研究.該方法相對簡單，易于操作，具有廣泛的實踐應(yīng)用價值.

太陽影子定位；視頻分析；經(jīng)緯度；非線性擬合；超定方程

近年來，隨著技術(shù)的進步和互聯(lián)網(wǎng)速度提升，數(shù)據(jù)采集技術(shù)、存儲技術(shù)和處理技術(shù)得到長足的發(fā)展，使得人類進入了“大數(shù)據(jù)”時代，更使人們對數(shù)據(jù)分析的需求不斷加深.數(shù)據(jù)分析是指用適當?shù)慕y(tǒng)計分析方法對收集來的大量數(shù)據(jù)進行分析，提取有用信息和形成結(jié)論的過程.在實用中，數(shù)據(jù)分析可幫助人們作出判斷，以便采取適當行動.視頻數(shù)據(jù)分析則是數(shù)據(jù)分析的一種主要形式，如何確定視頻的拍攝地點和日期是其重要方面，其中的陽影子定位技術(shù)就是通過分析視頻中物體的太陽影子變化來確定拍攝地點和拍攝日期.

對于太陽影子定位［1］，目前也有一些簡單的方法.根據(jù)觀測地的經(jīng)度，可利用正午太陽投影，確定南北方向，因為所有地方都是正午太陽高度最大［2］，除過直射點所在地，太陽一定是在正南方向或正北方向；也可以根據(jù)正午時的影子確定方向并計算出確切的經(jīng)度，原理是上下午日影長短對稱，正午時影子最短，顯示時間一般為北京時間，根據(jù)時差則可以推算出觀測地的經(jīng)度；同時根據(jù)正午太陽高度角的計算公式，只要已知正午太陽高度和太陽直射點，就可以求出觀測地的緯度［3］.

本文研究利用太陽影子定位技術(shù)確定視頻拍攝的地點和日期.利用地理的日晷原理［4］知識，采用最小二乘法擬合、超定方程等數(shù)學(xué)方法，使用Matlab軟件分析數(shù)據(jù)，估計出某段視頻拍攝的經(jīng)緯度和日期.可以應(yīng)用于偵破案件、搜索定位、歷史判斷等領(lǐng)域，具有較強的實用性.

1 數(shù)據(jù)采集

當在地面垂直豎立一直桿，在太陽的照射下直桿就會在地面產(chǎn)生影子.影子的長短和方向會隨地點和時間的不同而變化.以2015年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模A題為例，提供了一根直桿在太陽下的影子變化的視頻［5］.該視頻的拍攝時間是2015年7月13日8：54 - 9：34，并且已通過某種方式估計出直桿的高度為2米，要確定的是視頻拍攝地點.

通過用MATLAB軟件以2分鐘的時間間隔截取視頻圖像的方法獲取圖片上的直桿底端、頂點以及太陽影子的頂點坐標，以影子的頂點坐標減去直桿的底端坐標得到以直桿底端為原點、水平地面為xy平面作為坐標系的影子頂點坐標.再經(jīng)由換算得出實際上與圖片上直桿的比例尺，從而獲得實際上影子的頂點坐標如表1所示.

表1 視頻中直桿的影子頂點坐標

2 確定拍攝地點

想要確定拍攝地的地理位置，需確定該地點的經(jīng)緯度，根據(jù)經(jīng)緯度定地點的原則，將經(jīng)緯度拆分來進行計算.

2.1 經(jīng)度的求解

根據(jù)地理知識，若兩個地方時間相差4分鐘，那么它們經(jīng)度相差1°.這里采用了文獻［6］計算經(jīng)度的公式：

其中，λ為拍攝地的經(jīng)度，0λ為參照地的經(jīng)度，tΔ為拍攝地和參照地之間的時間差（分鐘），如果拍攝地的時間比參照地的時間超前，則加；否則減.為了使用公式（1）來計算拍攝地的經(jīng)度，需先確定公式中的tΔ，這里tΔ通常采用拍攝地和參照地（一般取北京，東經(jīng)120度）在正午時刻的時差，因此首先要求出拍攝地正午時刻，即影子最短的時刻.

由于表1的數(shù)據(jù)只是拍攝地上午某個時段的影子頂點坐標，因此可利用已給出的數(shù)據(jù)來擬合得出一天的影子長度變化曲線.根據(jù)地理常識可知［7］，地球上（除去極夜和極晝）任何地方一天的影子長度都呈一條開口向上的拋物線，故這里我們采用二次多項式進行擬合.

首先，根據(jù)表1中的影子頂點坐標數(shù)據(jù)，利用勾股定理，采用EXCEL軟件，求出影子長度，計算結(jié)果見表2.

表2 視頻中直桿的影子長度

對其進行擬合得出二次函數(shù)關(guān)系式為d=0.3608t2-8.6841t+52.8289.

圖1是影子長度隨時刻變化的曲線，圖1可得出，當?shù)貢r間t=10.283=10：18時，影子長度最小.而當北京時間12：00時，東經(jīng)120度地區(qū)影子長度最小.從而可以得到拍攝地和參照地的時間差102=Δt分鐘.再由公式（1）求出拍攝地的經(jīng)度為：

圖1 影子長度隨時刻變化的曲線

2.2 緯度的求解

Analemmatic日晷［4］是一個橢圓，它是利用不同緯度值產(chǎn)生的不同扁平率來刻畫橢圓軌跡.我們?nèi)〈怪庇诘孛娴闹睏U的底端為坐標原點O，過O的南北線為y軸，過O的東西線為x軸，建立平面直角坐標系.采用文獻［8］的地平式直桿投影公式推導(dǎo)得出

其中x、y為直桿影子的頂點坐標，φ為測量地的緯度，ω為太陽時角，δ為太陽赤緯角.

由于赤緯值的日變化很小，可忽略不計，因此任何一天的太陽赤緯角δ可用下式計算［6］

其中N表示日數(shù)，自每年1月1日開始計算.

太陽時角ω與一天中的某個時刻存在如下的計算公式［9］

其中t為時刻.

為了利用公式（2）計算緯度φ，需要先求出太陽赤緯角δ及不同時刻對應(yīng)的太陽時角ω.將表1中所給出的20個不同時刻帶入到公式（4），得到對應(yīng)的20個太陽時角ωi.由于視頻給出了拍攝時間是2015年7月13日，即N=195，由公式（3）計算得出δ=12.71°.

將表1中所給出的20個不同時刻的影子頂點坐標數(shù)據(jù)（xi，yi）和對應(yīng)的太陽時角ωi代入公式（2），由此得到一個將y看作為函數(shù)，ω看作自變量，φ看作參數(shù).這樣就需要反演模型中的x參數(shù)φ.利用這20組數(shù)據(jù)進行非線性最小二乘擬合，采用MATLAB軟件來做參數(shù)估計，得出緯度φ=42.78°.

綜上可得，直桿可能的地點為（145.5°E，42.78°N），查找百度地圖，可以發(fā)現(xiàn)這個經(jīng)緯度對應(yīng)的位置為日本北海道.

3 確定拍攝地點與日期

如果視頻拍攝日期未知，我們可以采用類似上文的方法來進一步確定出拍攝地點與日期.由于測量地的經(jīng)度求解與日期無關(guān)，仍可采用上文（1）式來計算經(jīng)度，在此不再贅述.由于拍攝日期未知，緯度計算模型（2）式中的緯度φ，太陽赤緯角δ是要反演的兩個未知參數(shù)，如果也用非線性最小二乘擬合，雖然可以得到答案，但最優(yōu)解非常依賴于初始值的選取.所以這里將φ、δ看成兩個未知數(shù)，把表1的20組數(shù)據(jù)代入（2）式，就得到關(guān)于φ、δ的非線性超定方程，而非線性方程的解可能會不收斂，故將（2）式轉(zhuǎn)為線性超定方程［10］.

這樣緯度φ，赤緯δ就可求得，再根據(jù)（3）式即可估計出日期.

將表1的不同時刻下的影子頂點坐標代入（2）式，得到超定方程

按照（5）式，求出X=ATAATb=（0.2852，0.0891）.即，sinφ=0.2852，tanδcosφ=0.0891.

從而φ=41.13°，tanδ=0.0929.

再根據(jù)（3）式，求出N=197，故拍攝日期為2015年7月15日.將這個結(jié)果與視頻的真實日期2015年7月13日比較，只相差兩天，還是比較準確的.并且將超定方程算出的緯度值φ=41.13°與前面最小二乘擬合算出的緯度值φ=42.78°相比，二者非常接近，只相差約1度.雖然視頻沒提供真實的地點，但就這兩種方法所求的結(jié)果來看，我們可以估計出該視頻的拍攝地緯度大概在42度，經(jīng)度在145度.如果是作為警察辦案的視頻證據(jù)，那我們的模型就將搜索范圍從全球縮小到一個極小的范圍，對偵破案件起到了很大的促進作用.

4 結(jié) 語

本文圍繞太陽影子定位技術(shù)展開討論，通過分析視頻中物體的影子變化，應(yīng)用相關(guān)的地理知識，建立數(shù)學(xué)模型，隨著反演參數(shù)的個數(shù)逐漸增多，通過求解超定方程，來確定視頻拍攝的地點和日期.該方法相對簡單，易于操作，在實踐中具有廣泛應(yīng)用.由于大氣折射會導(dǎo)致太陽高度角產(chǎn)生一定偏轉(zhuǎn)，故考慮大氣折射的模型效果會更佳.

［1］ 林根石. 利用太陽視坐標的計算進行物高測量與定位［J］. 南京林業(yè)大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）， 1991， 15（3）： 89-93.

［2］ 王健林. 太陽高度的變化規(guī)律［J］. 地理教育， 2005（4）： 15-16.

［3］ 張福， 張麗娟， 閭國年. 簡化太陽位置算法的對比模型及應(yīng)用研究［J］. 太陽能學(xué)報， 2012， 33（2）： 327-333.

［4］ 吳振華. 日暑設(shè)計原理［M］. 上海： 上海交通大學(xué)出版社， 2001： 98-99.

［5］ 中國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會. 2015年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽試題［EB/OL］.［2015-12-23］. http：//www.mcm.edu. cn/html_cn/node/d5ae730f57dea3208cae73f7635aeee8.html.2015-9-11.

［6］ 金揚， 張曉冉， 劉逸等. 南京經(jīng)緯度的驗證性測量［J］. 地理教學(xué)， 2013（14）： 55-58.

［7］ 鄭鵬飛， 林大鈞， 劉小羊， 等. 基于影子軌跡線反求采光效果的技術(shù)研究［J］. 華東理工大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2010， 36（3）： 458-463.

［8］ 武琳. 基于太陽陰影軌跡的經(jīng)緯度估計技術(shù)研究［D］. 天津： 天津大學(xué)， 2010： 28-29.

［9］ 談小生， 葛成輝. 太陽角的計算方法及其在遙感中的應(yīng)用［J］. 國土資源遙感， 1995（2）： 48-56.

［10］ 白中治. 大型超定非線性方程組的并行投影迭代算法［J］. 工程數(shù)學(xué)學(xué)報， 1997， 14（1）： 1-7.

The Study of Video Positioning Based on Sun's Shadow

SUN Weiwei， WANG Xianchao， NIU Xiangyang， ZHOU Xia
（School of Mathematics and Statistics， Fuyang Normal College， Fuyang， China 236041）

The research of the location and time of video based on the sun shadow is conducted in this paper. The method is integrated the relevant geographic knowledge with the over-determined equation as well as Matlab soft via the nonlinear fitting technique. The method is relatively simple and easy to operate with extensive practical application value.

Sun Shadow Positioning； Video Analysis； Latitude and Longitude； Nonlinear Fitting；Over-determined Equation

O29；P128.1

A

1674-3563（2016）03-0021-05

10.3875/j.issn.1674-3563.2016.03.004 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

（編輯：封毅）

2016-03-09

安徽高校省級自然科學(xué)研究項目（2015KJ003）；安徽省自然科學(xué)基金（1508085MA12）；安徽省質(zhì)量工程項目（2015jxtd021；2015jxtd123）

孫娓娓（1981- ），女，安徽淮南人，碩士，講師，研究方向：智能計算，數(shù)據(jù)挖掘