安徽省五河高中　劉瑞美

探求復(fù)合方程根的分布問題基本策略

安徽省五河高中劉瑞美

為了研究問題的方便，我們規(guī)定：形如f［g（x）］=0的方程，稱為復(fù)合方程，并將方程f（x）=0稱為簡(jiǎn)單方程，其中x是未知數(shù)。

近年來(lái)，有關(guān)復(fù)合方程的根的問題經(jīng)常出現(xiàn)在高考試題中，大部分考生遇到這樣的問題往往情緒緊張，不知“路”在何方；也有的考生盡管基礎(chǔ)很好，但由于分類不清和運(yùn)算不當(dāng)，使得思路受阻，影響到后續(xù)問題的解答。實(shí)際上解決此類問題的基本策略是分類討論、數(shù)形結(jié)合以及換元法等數(shù)學(xué)思想方法的正確應(yīng)用，進(jìn)一步把復(fù)合方程轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單方程或者把方程根的問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)圖像交點(diǎn)（函數(shù)零點(diǎn)）問題等。下面結(jié)合試題具體說一說策略的具體實(shí)施過程。

一、分類討論須謹(jǐn)慎

運(yùn)用分類討論思想解決與復(fù)合方程有關(guān)問題時(shí)，要時(shí)刻注意分類的標(biāo)準(zhǔn)，一定要做到不重復(fù)與不遺漏，這樣才能得到正確的結(jié)果。

例1已知函數(shù)f（x）=m·2x+x2+nx，若集合{x|f（x）=0}={x|f［f（x）］=0}≠?，則m+n的取值范圍為（）。

A.（0，4）B.［0，4）C.（0，5］D.［0，5］

解析令t=f（x），由{x|f（x）=0}={x|f［f（x）］=0}可得t=0時(shí)，f（t）=f（0）=m=0，因此f（x）=x2+nx，則{x|f（x）=0}={0，-n}，當(dāng)f［f（x）］=0時(shí)，有f（x）=0或f（x）=-n，再由{x|f（x）=0}={x|f［f（x）］=0}≠?可知：f（x）=-n無(wú)解或f（x）=-n的解為0或-n，

（1）當(dāng)f（x）=-n無(wú)解時(shí)，Δ=n2-4n＜0?0＜n＜4；

（2）當(dāng)f（x）=-n的解為0或-n時(shí)，n=0；于是由（1）、（2）可知：0≤n＜4。

故m+n的取值范圍是0≤n＜4，因而選B。

點(diǎn)評(píng)本題實(shí)際上考查的是與集合有關(guān)的問題。令集合A={x|f（x）=0}，B={x|f［f（x）］=0}，且滿足A=B≠?，從而探求m+n的取值范圍。

二、以形定數(shù)顯神威

在解決有關(guān)復(fù)合方程問題時(shí)，分類討論思想自然十分重要，但如果只考慮到分類，僅僅由數(shù)再到數(shù)，有時(shí)可能收效甚微，更有可能陷入無(wú)限循環(huán)的運(yùn)算之中，運(yùn)算量很大，最終導(dǎo)致思路受阻。如果能在分類的同時(shí)充分利用數(shù)形結(jié)合思想，就會(huì)使問題的解決變得直觀和輕松。

例2函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的圖像關(guān)于直線對(duì)稱。據(jù)此可推測(cè)，對(duì)任意的非零實(shí)數(shù)a、b、c、m、n、p，關(guān)于x的方程m［f（x）］2+nf（x）+p=0的解集都不可能是（）。

A.{1，2}B.{1，4}C.{1，2，3，4}D.{1，4，16，64}

解析本題需要利用換元法，令t=f（x），

則原方程m［f（x）］2+nf（x）+p=0①，

轉(zhuǎn)化為一元二次方程mt2+nt+p=0②，

（1）分類清晰，思慮周密。

對(duì)于方程②，可以分以下三類:

（?。┓匠挞跓o(wú)實(shí)數(shù)解；

（ⅱ）方程②有一個(gè)實(shí)數(shù)解，即有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解t1；

（ⅲ）方程②有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解t2、t3（不妨設(shè)t2＞t3）。

（2）以形助數(shù)，方便直觀。

著名數(shù)學(xué)家華羅庚說：“數(shù)缺形少直覺，形缺數(shù)難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事非。”

對(duì)于（?。?，易知①的實(shí)數(shù)解集為?；

對(duì)于（ⅱ），如圖1及圖2所示，由圖1得到①的實(shí)數(shù)解集為{x1，x2}，且

【點(diǎn)評(píng)】小作者選取自己的兩件閱讀趣事加以敘述，讓我們看到一個(gè)戴眼鏡的小書迷的形象。習(xí)作敘事清楚、流暢自然。

由圖2得到①的實(shí)數(shù)解集為{x3}，且

對(duì)于（ⅲ），如圖3及圖4所示，由圖3得到①的實(shí)數(shù)解集為{x4，x5，x6，x7}，

不妨設(shè)x4＜x5＜x6＜x7，且

由圖4得到①的實(shí)數(shù)解為{x8，x9，x10}，不妨設(shè)x8＜x9＜x10，且

通過以上分析，可以對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證，1+64≠4+16，故選D。

點(diǎn)評(píng)本題主要考查創(chuàng)新意識(shí)和數(shù)學(xué)應(yīng)用的能力，是一道集方程與函數(shù)、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與歸納等思想于一體的難得的好題。命題立意沒有刻意追求新、奇、特，雖是意料之外，卻又在情理之中，它無(wú)“法”可依，無(wú)“型”可套，讓試圖利用題海戰(zhàn)術(shù)“以量取勝”的幻想破滅。同時(shí)，該題要求我們?cè)诮窈蟮膶W(xué)習(xí)中要努力揭示問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，感悟數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)習(xí)能力，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)“以質(zhì)取勝”。

例2若函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c有極值點(diǎn)x1、x2，且f（x1）=x1，則關(guān)于x的方程3［f（x）］2+2af（x）+b= 0的不同實(shí)根個(gè)數(shù)是（）。

解析由題意知：f′（x）=3x2+2ax+b，因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=x3+ax2+bx+c有極值點(diǎn)x1、x2，所以x1、x2是方程f′（x）=3x2+2ax+b=0的兩個(gè)根，而方程3［f（x）］2+2af（x）+b=0與方程f′（x）=3x2+2ax+b=0在形式上是完全一致的，所以有f（x）=x1或f（x）=x2，又因?yàn)閒（x1）=x1，因此當(dāng)x1是極大值點(diǎn)時(shí)，x1＜x2，f（x）=x1有兩個(gè)根x0、x1，f（x）=x2僅有一個(gè)實(shí)根x3；當(dāng)x1是極小值點(diǎn)時(shí)，x1＞x2，f（x）=x1有兩個(gè)根x0、x1，f（x）=x2僅有一個(gè)實(shí)根x3，如圖5、圖6所示。

故關(guān)于x的方程3［f（x）］2+2af（x）+b=0的不同實(shí)根有3個(gè)。

點(diǎn)評(píng)本題實(shí)際上是函數(shù)不動(dòng)點(diǎn)的問題和方程根的問題，主要考查函數(shù)的極值和方程的根，需要考生具有極強(qiáng)的運(yùn)算能力。

三、換元方法巧設(shè)置

在解決有關(guān)復(fù)合方程問題時(shí)，換元法是非常常用的，在換元過程中要時(shí)刻注意換元之后中間變量取值范圍的變化，稍有不慎將會(huì)導(dǎo)致解答錯(cuò)誤。利用這種方法將復(fù)合方程問題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單方程或者轉(zhuǎn)化成兩個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題，使得問題答案盡顯圖中，使問題的解決呈現(xiàn)直觀性。

點(diǎn)評(píng)復(fù)合方程求解常借助于換元法。涉及解的個(gè)數(shù)的問題，可將復(fù)合方程解的個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化成方程組解的個(gè)數(shù)問題，再進(jìn)一步將方程組解的個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化成兩函數(shù)圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題，實(shí)現(xiàn)由數(shù)到形，再由形到數(shù)的轉(zhuǎn)化。

通過以上幾道例題的探究我們可以發(fā)現(xiàn)，解決這類問題的共同方法：若方程f（x）=0的根分別為x1，x2，…，xn，則對(duì)于復(fù)合方程f［f（x）］=0的根，就可以轉(zhuǎn)化為研究方程f（x）=x1，f（x）=x2，…，f（x）= xn根的討論問題，這樣就將復(fù)合方程問題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單方程問題，又可以更進(jìn)一步將方程根的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像交點(diǎn)問題，然后利用數(shù)形結(jié)合使答案躍然紙上。