賈繼紅，宋江鵬

(1.軍事交通學(xué)院 軍事物流系，天津 300161； 2.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，哈爾濱 150001)

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基于拉格朗日建模的兩軸穩(wěn)定平臺耦合干擾分析

賈繼紅1，宋江鵬2

(1.軍事交通學(xué)院 軍事物流系，天津 300161； 2.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，哈爾濱 150001)

為研究載體與內(nèi)外框架之間的耦合關(guān)系，基于拉格朗日方程，建立包括摩擦力矩模型和質(zhì)量不平衡力矩模型的完整穩(wěn)定平臺動力學(xué)模型。同時根據(jù)所建立兩軸穩(wěn)定平臺動力學(xué)模型進行仿真分析，明確各種耦合力矩對控制性能的影響。仿真結(jié)果表明：與框架間耦合力矩相比，載體運動對光軸穩(wěn)定的影響較大；外框架控制系統(tǒng)設(shè)計需要考慮轉(zhuǎn)動慣量、摩擦力矩干擾和幾何約束角速度干擾帶來的影響，應(yīng)具有較強魯棒性。

拉格朗日建模；耦合干擾；摩擦力矩；幾何約束

兩軸光電穩(wěn)定平臺是動載體光電成像穩(wěn)定裝置中較為常見的一種結(jié)構(gòu)形式，技術(shù)較為成熟，但其運動學(xué)和動力學(xué)模型仍是一個存在軸間運動耦合和非線性干擾的非線性控制系統(tǒng)[1]，建立完整的運動學(xué)、動力學(xué)模型和進行全面的耦合力矩分析是高精度穩(wěn)定平臺機械系統(tǒng)和控制系統(tǒng)設(shè)計的基礎(chǔ)。本文以常規(guī)兩軸方位-俯仰框架穩(wěn)定平臺為研究對象，采用表達式非常簡潔的拉格朗日方程對其建模，避免了歐拉方程動力學(xué)建模過程中存在的大量動量矩矢量變換的復(fù)雜推導(dǎo)過程。同時，在推導(dǎo)過程中考慮了摩擦力矩，并將兩軸光電穩(wěn)定平臺的運動學(xué)特性、動力學(xué)特性和框架電機的特性結(jié)合起來，建立更具有普遍意義的控制模型[2]。分析摩擦力矩、幾何約束角速度等因素對穩(wěn)定平臺的不同耦合途徑，將穩(wěn)定平臺作為一個整體進行全面分析，并針對實際數(shù)據(jù)進行仿真分析，從而為光電穩(wěn)定平臺控制系統(tǒng)設(shè)計和控制性能分析提供理論基礎(chǔ)和參考模型。

1 坐標系定義

(1)載體坐標系Omxmymzm。原點一般位于載體質(zhì)心。Omxm軸沿載體縱軸向前，軸在載體縱對稱面內(nèi)向上，Omzm軸按Omym右手系定義方向。

(2)外框坐標系Ooxoyozo。原點位于內(nèi)、外框連接部分的幾何中心點。Ooyo軸與穩(wěn)定平臺外框架方位軸重合，向上為正，其余兩軸符合右手定則。采用方位角λy表示外框架理想旋轉(zhuǎn)角。

(3)內(nèi)框坐標系Oixiyizi。原點位于內(nèi)、外框連接部分的幾何中心點。Oizi軸與穩(wěn)定平臺內(nèi)框架俯仰軸重合，Oixi與探測器光軸重合，指向目標為正。Oiyi符合右手定則。采用俯仰角λz表示內(nèi)框架理想旋轉(zhuǎn)角。

2 穩(wěn)定平臺運動學(xué)模型推導(dǎo)

設(shè)定載體坐標系慣性運動角速度矢量為

ωb=[ωbxωbyωbz]T

外框架坐標系慣性運動角速度矢量為

ωo=[ωoxωoyωoz]T

內(nèi)框架坐標系慣性運動角速度矢量為

ωi=[ωixωiyωiz]T

(1)

(2)

式(1)、式(2)中：c表示cos，s表示sin，下同。

根據(jù)載體和穩(wěn)定平臺框架運動關(guān)系可知外框架慣性運動角速度為

(3)

同理，內(nèi)框架慣性空間角速度為

(4)

內(nèi)框架慣性空間角速度是載體運動、外框架運動以及內(nèi)框架自身運動的合成，由于成像探測器安裝于內(nèi)框架上，內(nèi)框架的運動方程就是光軸運動方程。

3 動力學(xué)推導(dǎo)及耦合分析

3.1 穩(wěn)定平臺動力學(xué)模型推導(dǎo)

本文借鑒文獻[3-5]對質(zhì)量不平衡力矩和摩擦力矩的分析方法，采用第二類拉格朗日方程，在考慮摩擦力矩干擾和質(zhì)量不平衡力矩的條件下推導(dǎo)出兩軸穩(wěn)定平臺動力學(xué)模型。

(5)

式中：T為系統(tǒng)動能；D為系統(tǒng)瑞利耗散函數(shù)；qk為系統(tǒng)廣義坐標；k為系統(tǒng)獨立的自由度個數(shù)；Qk為系統(tǒng)的廣義力。剛體旋轉(zhuǎn)運動的動能為ω·H/2[8]，剛體平移運動的動能為m·v2/2。根據(jù)剛體旋轉(zhuǎn)運動和平移運動的動能的計算公式以及式(4)、式(5)，可得平臺兩個框架的總動能T為

式中：Jx、Jy、Jz為框架主轉(zhuǎn)動慣量；Jxy、Jyz、Jxz為框架慣性積。

同時，考慮穩(wěn)定平臺框架軸上的摩擦力矩影響，本文選擇經(jīng)典的庫侖+粘滯摩擦模型，推導(dǎo)系統(tǒng)的能量耗散函數(shù)為[6]

(6)

式中：Kov、Kiv分別為外框架和內(nèi)框架的粘滯摩擦系數(shù)；Toc、Tic分別為外框架和內(nèi)框架的庫侖摩擦力矩。

選取合適的廣義坐標是建模的關(guān)鍵，本文選取兩框架相對角度λy、λz以及兩框架質(zhì)心位置ρox、ρoz和ρix、ρiy為廣義坐標，則由式(5)、式(6)可得到平臺的動力學(xué)方程為

(7)

由式(6)、式(7)可得外框架摩擦力矩Mfy和內(nèi)框架摩擦力矩Mfz分別為

(8)

(9)

同時，外框架質(zhì)量不平衡力矩Muy和內(nèi)框架質(zhì)量不平衡力矩Muz分別為

Muy=ρozFox-ρoxFoz=m(ρozaox-ρoxaoz)

(10)

Muz=ρixFiy-ρiyFiz=m(ρixaiy-ρiyaix)

(11)

3.2 耦合分析

根據(jù)式(5) ～式(11)，得俯仰軸動力學(xué)方程為

(12)

式中：Js為外框架等效轉(zhuǎn)動慣量，且Js=Joy+Jixsin2λz+Jiycos2λz+Jixysin(2λz)；Mcry為外框架線纜干擾力矩；My＿cross為外框架軸間慣量耦合力矩，主要受到內(nèi)框架運動反作用力矩影響。

4 穩(wěn)定控制分析

4.1 穩(wěn)定平臺控制系統(tǒng)框圖

通過上一節(jié)中推導(dǎo)的兩軸穩(wěn)定平臺的運動學(xué)模型和動力學(xué)模型，建立穩(wěn)定平臺控制系統(tǒng)的控制框圖(如圖1、圖2所示)[7]。

圖1、圖2中：Gv(s)為控制回路校正傳函；L為電機電感；R為電機內(nèi)阻；Kt為力矩系數(shù)；Ke為反電勢系數(shù)；Kf為反饋通道增益；J為內(nèi)框架轉(zhuǎn)動慣量；Tf為非線性摩擦力矩。

圖1 外框架穩(wěn)定平臺控制框圖

圖2 內(nèi)框架穩(wěn)定平臺控制框圖

4.2 摩擦力矩產(chǎn)生的耦合運動分析

為了定性分析摩擦力矩的影響，將方位框架摩擦力矩的非線性環(huán)節(jié)Tf(·)采用較簡單的庫侖摩擦+粘滯摩擦模型進行分析。

(13)

式中：Tc為庫侖摩擦系數(shù)；Kv為粘滯摩擦系數(shù)。

采用線性分析方法建立載體擾動ωby通過摩擦力矩耦合到光軸方位角速度ωiy的傳遞函數(shù)：

(14)

將式(13)代入式(14)，并忽略反電動影響，求得傳函幅值：

(15)

式(14)、式(15)表征了載體擾動通過摩擦力矩耦合對方位軸光軸角速度的影響。當增加穩(wěn)定回路控制器值增益Gv(s)、提高負載轉(zhuǎn)動慣量Js、內(nèi)框架俯仰角λz較大以及擾動頻率ω較高時，光軸方位方向?qū)δΣ亮財_動的隔離能力較好。

4.3 幾何約束產(chǎn)生的耦合運動分析

載體擾動以幾何約束方式對方位光軸慣性角速度產(chǎn)生影響。設(shè)定該載體擾動項為ωbg=-ωbxcosλy+ωbzsinλy。建立載體擾動 通過摩擦力矩耦合通道到光軸方位角速度ωiy傳遞函數(shù)如下：

(16)

該傳遞函數(shù)表征了載體擾動通過幾何約束干擾對方位軸光軸角速度的影響。由式(16)可知，當增加穩(wěn)定回路控制器值增益Gv(s)、提高負載轉(zhuǎn)動慣量Js、內(nèi)框架俯仰角λz較小時，方位光軸對幾何約束擾動的隔離能力較好。

5 仿真與分析

某穩(wěn)定平臺框架設(shè)計參數(shù)見表1。

表1 模型參數(shù)

(1)設(shè)定載體運動在滾轉(zhuǎn)、俯仰、偏航方向存在幅值為2°、頻率2 Hz的正弦姿態(tài)擾動，作為兩軸穩(wěn)定平臺的輸入條件。兩軸穩(wěn)定平臺方位框架和俯仰框架均在零度角，不考慮質(zhì)量不平衡力矩以及導(dǎo)線干擾力矩的影響，方位軸和俯仰軸的慣量耦合力矩輸出仿真結(jié)果如圖3所示。圖3(a)是俯仰內(nèi)框架耦合的方位外框架等效轉(zhuǎn)動慣量。圖3(b)是載體以及內(nèi)框架運動引起的外框架慣量耦合干擾力矩，顯然，該力矩很小，產(chǎn)生的影響一般可以不考慮。

(a)

(b)圖3 方位框等效轉(zhuǎn)動慣量和交叉耦合力矩

(2)設(shè)定載體運動在滾轉(zhuǎn)、俯仰、偏航方向存在幅值為2°、頻率2 Hz的正弦姿態(tài)擾動，不考慮質(zhì)量不平衡力矩以及導(dǎo)線干擾力矩的影響，內(nèi)框架俯仰角度由0°遞增至90°,外框架航向角度在零度角。如圖4(a)所示，隨著內(nèi)框架俯仰角度不斷增加，載體擾動引起的摩擦力矩對光軸穩(wěn)定精度影響逐漸減小。

(3)設(shè)定載體在滾轉(zhuǎn)、俯仰、偏航方向存在幅值為2°、頻率從0～100 Hz的正弦姿態(tài)擾動，方位框架和俯仰框架均在零度角，如圖4(b)所示，隨著載體擾動頻率的增加，載體擾動引起的摩擦力矩對光軸穩(wěn)定精度影響呈先高后低趨勢。

(a)

(b)圖4 摩擦力矩引起的光軸方位角速度值

6 結(jié) 論

(1) 影響穩(wěn)定平臺光軸穩(wěn)定精度的因素中，載體運動與框架間耦合力矩相比，對光軸穩(wěn)定的影響較大。

(2) 載體擾動頻率越大，摩擦力矩對光軸穩(wěn)定精度的影響越小。

(3) 外框架的轉(zhuǎn)動慣量為變轉(zhuǎn)動慣量，在外框架控制系統(tǒng)設(shè)計和電機選型時，需要通過測量或理論建模方式得到外框架轉(zhuǎn)動慣量的變化范圍；同時，外框架控制系統(tǒng)設(shè)計必須具有較強魯棒性。

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(編輯：史海英)

Coupling Disturbance of Two-axis Stabilization Platform Based on Lagrangian Modeling

JIA Jihong1, SONG Jiangpeng2

(1.Military Logistics Department, Military Transportation University, Tianjin 300161, China; 2.School of Astronautics, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China)

To study the coupling relation between carrier and inner and outer framework, the paper establishes a complete stabilization platform dynamic model which includes friction and mass unbalance torque model based on lagrange equation, and makes simulation analysis according to this model and defines the impact of all kinds of coupling torque on control performance. The simulation result shows that carrier movement has greater influence on optical axis stability comparing to coupling torque between frameworks, and designing outer framework control system should have robustness and consider the influence factors such as variable moment of inertia, friction torque disturbance, and geometric constraints angular velocity interference.

lagrangian modeling; coupling disturbance; friction torque; geometric constraint

2016-03-14；

2016-06-06．

軍事交通學(xué)院科研基金項目(2016B52).

賈繼紅(1979—)，女，碩士，講師.

10．16807/j.cnki.12-1372/e.2016.11.021

TP275

A

1674-2192(2016)11- 0091- 05