李久芹，楊洪禮

(山東科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，山東 青島 266590)

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基于秩約束逼近的系統(tǒng)模型降階

李久芹，楊洪禮

(山東科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，山東 青島 266590)

針對(duì)Daniel Ankelhed在2007年根據(jù)控制器設(shè)計(jì)原理提出的降階模型，利用秩函數(shù)、核范數(shù)、譜范數(shù)與線性矩陣不等式的相互關(guān)系，將秩約束條件轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式，使原降階模型變?yōu)橥箖?yōu)化模型。數(shù)值試驗(yàn)表明降階效果良好。

系統(tǒng)降階；秩約束條件；線性矩陣不等式；凸優(yōu)化模型

工程應(yīng)用領(lǐng)域中常常涉及到大型或者復(fù)雜動(dòng)力系統(tǒng)的設(shè)計(jì)、仿真、優(yōu)化和控制，這個(gè)系統(tǒng)一般都是由微分或差分方程來(lái)描述，方程的維數(shù)通常比較高，物理或者工程實(shí)現(xiàn)比較困難。系統(tǒng)模型降階十分必要，降階方法是控制理論與應(yīng)用研究領(lǐng)域中的熱點(diǎn)問題。高階系統(tǒng)的降階方法有很多，其中較為有效的是K.Glover[1]于1984年提出的Hankel范數(shù)降階模型和Moore[2]在1981年提出的平衡截?cái)嗄Ｐ?。這兩種方法都能有效地降低高階系統(tǒng)的階次，且既能保持原系統(tǒng)的可觀、可控性及穩(wěn)定性，又能得到降階系統(tǒng)與原始系統(tǒng)的誤差關(guān)系。

Daniel Ankelhed[3]從控制器的設(shè)計(jì)出發(fā)，將系統(tǒng)降階原理與控制器設(shè)計(jì)原理相結(jié)合，建立了系統(tǒng)降階模型。然而模型中的秩約束條件是不連續(xù)且不可微的，使得模型難以求解。結(jié)合對(duì)控制系統(tǒng)的最新研究[4-6]，本文基于秩函數(shù)、核范數(shù)、譜范數(shù)與線性矩陣不等式的相互關(guān)系，將模型中的秩約束條件改為線性矩陣不等式，使其成為凸優(yōu)化模型，并通過實(shí)例驗(yàn)證其有效性。

Sn是n×n階對(duì)稱矩陣的集合，Rm×n是m×n階實(shí)矩陣的集合，A>0(A≥0)指A是正定(半正定)矩陣，A<0(A≤0)指A是負(fù)定(半負(fù)定)矩陣，A?指矩陣A的廣義逆，G(s)=C(sI-A)-1B+D是系統(tǒng)的轉(zhuǎn)換函數(shù)。

1 預(yù)備知識(shí)

引理2(非嚴(yán)格消除引理)[8]給定矩陣G∈Rn×n,U∈Rn×m,V∈Rn×p使得U的值域和V的值域是線性獨(dú)立的。則存在X∈Rm×p使得G+UXVT+VXTUT≤0成立，當(dāng)且僅當(dāng)U⊥GU⊥T≤0且V⊥GV⊥T≤0成立。其中U⊥、V⊥分別是U、V的正交矩陣。

引理3(非嚴(yán)格有界實(shí)引理)[9]令H(s)=C(sI-A)-1B+D、

引理4[10]假設(shè)X=XT∈Rn×n,Y=YT∈Rn×n，r是一個(gè)正數(shù)，則下面的描述是等價(jià)的：

AP+PAT+BBT=0,

(1a)

ATQ+QA+CTC=0。

(1b)

AP+PAT+BBT≤0，

(2a)

ATQ+QA+CTC≤0。

(2b)

引理5[11]對(duì)于任意的秩最大為r的矩陣X，其譜范數(shù)、Frobenius范數(shù)、核范數(shù)三者之間滿足：

(3)

推論2[12]對(duì)于任意滿足‖X‖2≤1的矩陣，則‖X‖*≤rank(X)，即在譜范數(shù)定義的單位球上核范數(shù)是矩陣秩的一個(gè)凸下界。

引理6[11]Z是m×n維矩陣，若其譜范數(shù)小于等于常數(shù)t，則可表示成一個(gè)線性矩陣不等式：

(4)

(5)

(6)

圖1 帶有裝置H和控制器K的 標(biāo)準(zhǔn)H∞控制器設(shè)計(jì)框架Fig.1 The standard H∞ controller design framework with device H and controller K

2 H∞控制器設(shè)計(jì)

為使從輸入ω到輸出z的H∞范數(shù)變小，利用帶有線性矩陣不等式的H∞控制器設(shè)計(jì)框架，找到一個(gè)控制器K。裝置H和控制器K之間的關(guān)系如圖1所示。

利用狀態(tài)空間形式，裝置H可以被分為下面的形式：

(7)

假定系統(tǒng)是可控和可觀的，該裝置可解決一系列的控制器設(shè)計(jì)問題。線性矩陣不等式方法可以用來(lái)解決控制器的設(shè)計(jì)問題。根據(jù)(7)式的劃分，狀態(tài)空間形式變?yōu)椋?/p>

z=C1x+D11ω+D12u；

y=C2x+D21ω+D22u。

u=KCxK+KDy。

其中，KA∈Rk×k保證了性能界限γ，在指數(shù)K下，令D22=0，則閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)空間矩陣可表示為：

(8)

其中，AK∈R(n+k)×(n+k)。

由引理3可知，如果該閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則存在正數(shù)γ和0

(9)

將(8)式代入(9)式，再結(jié)合引理4中的第二個(gè)條件可得：

(10a)

(10b)

(10c)

(10d)

3 模型降階

3.1 原始模型

圖2 原始系統(tǒng)Gn與降階系統(tǒng)k關(guān)系圖Fig.2 The relationship between the originalsystemGn and the reduced order

假設(shè)原始系統(tǒng)階數(shù)為n，降階系統(tǒng)的階數(shù)為k，則系統(tǒng)的降階問題可描述為以下模型：

minγ

(11a)

(11b)

k

(11c)

其中，γ是模型降階誤差的上界，根據(jù)圖2，模型降階問題可以被看成是H∞控制器設(shè)計(jì)問題，問題(11)中H(s)可以被定義為下列形式：

(12)

令Q=γX,P=γY，由舒爾實(shí)現(xiàn)定理(引理1)可知，降階問題可描述為下列形式：

minγ

(13a)

s.t QA+ATQ+CTC≤0

(13b)

AP+PAT+BBT≤0

(13c)

(13d)

rank(QP-γ2I)≤k

(13e)

γ>0,P,Q∈Sn

(13f)

(13)式中，秩約束條件是非凸的，難以用線性矩陣不等式求解。用凸約束來(lái)近似秩約束，一般有兩種方法：一是容許一部分不可行解存在，擴(kuò)大可行域；二是減少部分解，承認(rèn)優(yōu)化解可能不存在，縮小可行域。本文采取第二種方法，利用秩函數(shù)、核范數(shù)、譜范數(shù)與線性矩陣不等式的相互關(guān)系，將秩約束條件轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式，縮小可行域。

3.2 凸優(yōu)化降階模型

定理3[13]設(shè)A,B為n階正定矩陣，矩陣A的n個(gè)特征值為0<λ1≤λ2≤…≤λn,矩陣B的n個(gè)特征值為0<μ1≤μ2≤…≤μn,則矩陣AB的特征值λ∈[λ1μ1,λnμn]。

推論5[13]設(shè)A,B為n階半正定矩陣，矩陣A的n個(gè)特征值為0≤λ1≤λ2≤…≤λn,矩陣B的n個(gè)特征值為0≤μ1≤μ2≤…≤μn,則矩陣AB的特征值λ∈[0,λnμn]。

(trace(P)+trace(Q))2

令P,Q為常數(shù)矩陣，則模型(13)轉(zhuǎn)化為下列凸優(yōu)化問題：

minγ;

(14a)

s.tQA+ATQ+CTC≤0;

(14b)

AP+PAT+BBT≤0;

(14c)

(14d)

(14e)

γ>0,P,Q≥0。

(14f)

4 模型算法

2) 確定降價(jià)后的系統(tǒng)階數(shù)k；

3) 根據(jù)模型(14)求出誤差γ；

5 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

考慮如下系統(tǒng)[3]，系數(shù)矩陣為：

計(jì)算可得，系統(tǒng)的Hankel奇異值為σ1=2.175 4,σ2=0.105 2,σ3=0.099 3。利用YALMIP[14]軟件編寫程序，得到結(jié)果如表1所示。

表1 降階誤差對(duì)比Tab.1 Reduced order error contrast

根據(jù)上述算法，當(dāng)系統(tǒng)降為1階、2階時(shí)，降階系統(tǒng)分別為：

例2：

。

系統(tǒng)的Hankel奇異值為σ1=0.874 3,σ2=0.030 4,σ3=0.020 2,σ4=0.019 7,σ5=0.005 2。利用YALMIP[14]軟件編寫程序，得到結(jié)果如表2所示。

根據(jù)上述算法，當(dāng)系統(tǒng)降為4階時(shí)，降階系統(tǒng)為：

，其中,。 表2 降階誤差對(duì)比Tab.2 Reduced order error contrast

系統(tǒng)的Hankel奇異值為σ1=1.757 2,σ2=1.196 8,σ3=0.988 3,σ4=0.277 2,σ5=0.105 7,σ6=0.100 1。利用YALMIP[14]軟件編寫程序，得到結(jié)果如表3所示。

表3 降階誤差對(duì)比Tab.3 Reduced order error contrast

根據(jù)上述算法，當(dāng)系統(tǒng)降為3階時(shí)，降階系統(tǒng)分別為：

6 結(jié)論

利用秩函數(shù)、核范數(shù)、譜范數(shù)與線性矩陣不等式的相互關(guān)系，將秩約束條件轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式約束，得到凸優(yōu)化模型。該優(yōu)化模型求解簡(jiǎn)便，彌補(bǔ)了秩約束條件不連續(xù)不可微的缺點(diǎn)。通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)，將改進(jìn)后的模型與文獻(xiàn)[3]中的降階模型進(jìn)行誤差比較，得到的降階誤差小于文獻(xiàn)[3]中的誤差，說明改進(jìn)后的模型降階效果良好。

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(責(zé)任編輯：傅 游)

System Model Order Reduction Based on Rank Constraints Approximation

LI Jiuqin, YANG Hongli

(College of Mathematics and Systems Science, Shandong University of Science and Technology, Qingdao, Shandong 266590, China)

To improve the reduced order model proposed by Daniel Ankelhed in 2007 according to the controller design principle, the rank constraint was transformed into a linear matrix inequality and the reduced order model was transformed into a convex optimization model by using rank function, the nuclear norm, spectral norm and linear matrix inequality in relation to each other. Results of numerical tests indicate that the effect of this model is favorable.

system order reduction; rank constraint; linear matrix inequality; convex optimization model

2016-04-15

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11241005)

李久芹(1990—)，女，山東濟(jì)南人，碩士研究生，主要從事最優(yōu)控制理論與應(yīng)用方面的研究。 楊洪禮(1974—)，男，山東臨沂人，副教授，博士，主要從事優(yōu)化理論與算法、最優(yōu)控制理論與應(yīng)用、非負(fù)矩陣與張量分解等方面的研究，本文通信作者. E-mail:yhlmath@126.com

O231.1

A

1672-3767(2016)06-0114-09