周奇才,吳青龍,熊肖磊

(同濟(jì)大學(xué)機(jī)械與能源工程學(xué)院,上海 201804)

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基于拓?fù)鋬?yōu)化和骨架提取的桿系結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法

周奇才,吳青龍,熊肖磊

(同濟(jì)大學(xué)機(jī)械與能源工程學(xué)院,上海 201804)

以二值圖像細(xì)化算法為基礎(chǔ),提出了基于有限單元8-鄰域網(wǎng)格模型的骨架提取算法.通過(guò)SKO(Soft Kill Option)拓?fù)鋬?yōu)化方法獲得連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果.應(yīng)用網(wǎng)格模型骨架提取算法,提取拓?fù)鋬?yōu)化模型的網(wǎng)格骨架,找到反映拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)特征的傳力關(guān)鍵點(diǎn),再基于傳力關(guān)鍵點(diǎn)連接桿件形成桿系結(jié)構(gòu).以該方法得到的桿系結(jié)構(gòu)具有優(yōu)化的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和力學(xué)特性,因而桿件布置合理,結(jié)構(gòu)應(yīng)力分布均勻.

桿系結(jié)構(gòu); 拓?fù)鋬?yōu)化; 骨架提取; SKO算法; 有限單元

ZHOU Qi-cai,WU Qing-long,XIONG Xiao-lei

(School of Mechanical Engineering,Tongji University,Shanghai 201804,China)

桿系結(jié)構(gòu)是對(duì)結(jié)構(gòu)拓?fù)浜托螤罘浅Ｃ舾械慕Y(jié)構(gòu)體系[1].傳統(tǒng)的桿系結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)多是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)、參考相關(guān)設(shè)計(jì)手冊(cè)和規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)或借鑒現(xiàn)有產(chǎn)品來(lái)進(jìn)行的程式化設(shè)計(jì),而桿系結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)也多是在人為給定了初步方案之后,借助計(jì)算機(jī)軟件進(jìn)行力學(xué)分析與驗(yàn)證,再根據(jù)分析結(jié)果進(jìn)行優(yōu)化與改進(jìn),且多是對(duì)桿件進(jìn)行尺寸優(yōu)化和形狀優(yōu)化,而對(duì)于結(jié)構(gòu)優(yōu)化中較高層次的拓?fù)鋬?yōu)化[2],傳統(tǒng)的桿系結(jié)構(gòu)優(yōu)化算法則難以實(shí)現(xiàn).因此,按傳統(tǒng)思路設(shè)計(jì)出來(lái)的結(jié)構(gòu)雖然符合標(biāo)準(zhǔn)規(guī)范的要求,但往往局限于傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)形式和工程師的經(jīng)驗(yàn),設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)在應(yīng)力、應(yīng)變等方面具有較大的冗余.這是因?yàn)樵诮o定了拓?fù)錁?gòu)型的結(jié)構(gòu)方案上進(jìn)行優(yōu)化,可優(yōu)化的空間很小,難以獲得最佳方案.為此,本文提出了一種新的桿系結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)思路,將桿系結(jié)構(gòu)的優(yōu)化從設(shè)計(jì)的后期向初期發(fā)展.將桿系結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)與連續(xù)體的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)相結(jié)合,先將給定的桿系空間填滿材料,施加上約束和載荷;然后對(duì)該充滿材料的區(qū)域進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì),找到具有最佳傳力路徑的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu);接著對(duì)該拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)進(jìn)行骨架提取,找到傳力關(guān)鍵點(diǎn);最后連接傳力關(guān)鍵點(diǎn)即得到桿系結(jié)構(gòu).用該方法得到的桿系可視為具有優(yōu)化拓?fù)錁?gòu)型的桿系結(jié)構(gòu),可在此基礎(chǔ)上進(jìn)行進(jìn)一步的尺寸優(yōu)化和形狀優(yōu)化.

本文首先簡(jiǎn)要介紹SKO拓?fù)鋬?yōu)化算法,然后詳細(xì)說(shuō)明基于二值圖像細(xì)化算法的有限單元網(wǎng)格模型骨架提取算法,最后以算例對(duì)算法進(jìn)行說(shuō)明.

1 連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化

1.1 結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化簡(jiǎn)介

結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化包括連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化和離散結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化.連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化方法主要有均勻化方法、密度法和漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法等;離散結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法主要有Michell解析法、基結(jié)構(gòu)法等[3,4].本文所使用的方法是SKO算法,它是基于生物自適應(yīng)生長(zhǎng)規(guī)律而提出的一種啟發(fā)式結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法,最早是由德國(guó)的Karlsruhe 研究中心提出[5-7].SKO法的核心思想是通過(guò)迭代計(jì)算不斷“硬化”高應(yīng)力區(qū)域的材料,同時(shí)“軟化”低應(yīng)力區(qū)域的材料,從而獲得應(yīng)力均勻的輕質(zhì)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)[8,9].本文對(duì)傳統(tǒng)SKO方法進(jìn)行了改進(jìn),提出了拋物線型權(quán)重系數(shù)并加入了結(jié)構(gòu)位移約束,提高了算法的性能并增強(qiáng)了算法實(shí)用性.

1.2 SKO算法

1.2.1 算法流程

SKO算法的程序流程框圖如圖1所示.

圖1 SKO算法流程圖

1.2.2 算法迭代關(guān)系式及收斂條件

SKO算法中,單元溫度迭代關(guān)系式及彈性模量更新算子如式(1)—(6)所示.

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

式中:Emax和Emin是彈性模量的最大和最小值.

(6)

(7)

ΔV(n)<ε

(8)

2 拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果骨架提取算法

在使用SKO算法完成連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化,得到優(yōu)化結(jié)構(gòu)之后,希望能夠?qū)υ搩?yōu)化拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)進(jìn)行簡(jiǎn)化,找到其傳力關(guān)鍵點(diǎn),進(jìn)而連接傳力關(guān)鍵點(diǎn)形成桿系結(jié)構(gòu).但目前,在結(jié)構(gòu)優(yōu)化領(lǐng)域未見有對(duì)有限單元拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果進(jìn)行簡(jiǎn)化進(jìn)而提取其關(guān)鍵傳力點(diǎn)的相關(guān)文獻(xiàn).本文借鑒了圖像處理中圖形骨架提取算法的思想[11,12],結(jié)合拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果特有的有限單元網(wǎng)格特性,提出一種用于結(jié)構(gòu)有限元模型的骨架提取算法.

對(duì)完成拓?fù)鋬?yōu)化后的有限元模型,其模型中有優(yōu)化單元(優(yōu)化后保留下的單元)和背景單元(優(yōu)化后刪除的單元),如圖2所示.有限元模型骨架提取即是提取優(yōu)化單元的中心骨架線,去除冗余單元,進(jìn)而找到優(yōu)化模型的傳力路徑及傳力關(guān)鍵點(diǎn),為在有限元模型中,每一個(gè)單元周圍都有8個(gè)單元與之相鄰接(邊界上的單元可假設(shè)背景單元與之鄰接),此8個(gè)單元稱為該單元的8-鄰域,如圖3所示.

圖2 拓?fù)鋬?yōu)化有限元模型

圖3 單元8-鄰域

3.1 骨架提取算法流程

圖4 骨架提取算法流程

3.2 8-鄰域單元查找模型

要判斷當(dāng)前單元8-鄰域的單元是否為骨架點(diǎn),需要先找出這8-鄰域單元及其相對(duì)于當(dāng)前單元的位置,并獲取其單元信息.如圖4所示,假設(shè)當(dāng)前單元ec的8-鄰域單元按圖5所示的ec1—ec8的順序排列,則需要依次判斷出ec1—ec8所在的8個(gè)有限元網(wǎng)格模型中,約定以下基本定義.

圖5 8-鄰域單元查找模型

定義1 網(wǎng)格、單元、線的表達(dá)形式為:G(E,L,N)表示網(wǎng)格由單元、線、節(jié)點(diǎn)組成;E(L,N)表示單元由線、節(jié)點(diǎn)組成;L(N)表示線由節(jié)點(diǎn)組成:

G(E,L,N),E(L,N),L(N)

(9)

定義2E,L,N表示網(wǎng)格中所有單元、線、節(jié)點(diǎn)的集合.

(10)

定義3 若構(gòu)成四節(jié)點(diǎn)平面單元ex的線集為{lx1,lx2,lx3,lx4},節(jié)點(diǎn)集為{nx1,nx2,nx3,nx4},則ex可表示為:

ex=(lx1,lx2,lx3,lx4),ex=

(nx1,nx2,nx3,nx4)

(11)

定義4 單元中同時(shí)含有線li,lj,…或節(jié)點(diǎn)ni,nj,…的單元的集合表示為:

Ex(li,lj,…),Ex(ni,nj,…)

(12)

定義5 單元ec的8-鄰域:單元ec的上下左右4個(gè)單元及對(duì)角線上的4個(gè)單元組成的集合為單元ec的8-鄰域單元:

Eec={ec1,ec2,…,ec8}

(13)

在上述定義的基礎(chǔ)上,當(dāng)前單元ec的8-鄰域單元查找方法如下:

(1) 對(duì)當(dāng)前單元ec,首先找到其節(jié)點(diǎn)集{nx1,nx2,nx3,nx4};

(2) 通過(guò)以下算法定位ec1,ec3,ec5,ec7所在位置的單元:

(14)

式中:Ec={ec},表示當(dāng)前單元,∩,為集合的交、差運(yùn)算符.

(3) 通過(guò)以下算法定位ec2,ec4,ec6,ec8所在位置的單元:

(15)

通過(guò)以上算法即可獲得當(dāng)前單元ec的8-鄰域單元Eec={ec1,ec2,…,ec8}.為8-鄰域單元的判斷做準(zhǔn)備.

3.3 骨架單元判斷算法

對(duì)于當(dāng)前單元ec,判斷其是否為骨架點(diǎn)的方法有兩種:

3.3.1 單元保留法

保留法的思想是判斷某單元為骨架單元,將其保留.保留法判斷模型如圖5所示,其中C表示當(dāng)

前所判斷的單元,周圍是其8-鄰域單元,0表示該單元為背景單元,1表示該單元為骨架單元,X表示該單元可以為背景單元也可以為骨架單元.由物體的形狀旋轉(zhuǎn)不變性可知,圖中6種判斷模型旋轉(zhuǎn)90°,180°,270°的情況也符合骨架點(diǎn)的判斷要求,對(duì)6種情況進(jìn)行旋轉(zhuǎn)并整理,一共有19種情況.將3.2節(jié)中得到的8-鄰域模型與該19中情況一一比對(duì),即可判斷該單元是否為骨架單元.

圖6 骨架單元判斷模型

3.3.2 單元?jiǎng)h除法

與單元保留法不同,刪除法的思想是判斷某單元為非骨架單元,將其抹去成為背景單元.其判斷算法如下:

首先,作以下定義:

定義6 若單元ex為骨架單元,則有ex=1;若ex為非骨架單元,則有ex=0.

定義7定義A(ec)為當(dāng)前單元ec的8-鄰域單元中優(yōu)化單元的數(shù)目:

eci

(16)

定義8 定義B(ec)為當(dāng)前單元ec的8-鄰域單元,按從ec1-ec2-……-ec8-ec1的順序轉(zhuǎn)一周,從背景單元變?yōu)閮?yōu)化單元的次數(shù):

(17)

在上述定義的基礎(chǔ)上,若當(dāng)前單元的ec的8-鄰域的單元滿足條件式(18)或者式(19),則認(rèn)為ec為非骨架單元:

(18)

(19)

其中,條件2≤A(ec)≤6用于保證刪除的單元為邊界單元,同時(shí)保證骨架的端點(diǎn)不會(huì)被刪除;條件B(ec)=1保證刪除單元不會(huì)破壞骨架的連通性;式(18)的后兩個(gè)條件保證刪除的單元處于模型的右側(cè)邊界、下側(cè)邊界和左上角邊界;式(19)的后兩個(gè)條件保證刪除的單元處于模型的左側(cè)邊界、上冊(cè)邊界和右下角邊界.在上述條件約束下,即可保證從邊緣向內(nèi)部逐步刪除非骨架點(diǎn).

4 算例

以懸臂桿系結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)為例說(shuō)明本文所述桿系結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法.步驟如下:

(1) 給定桿系結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)區(qū)域、約束及載荷并建立有限元模型,如圖6所示.

圖7 受力簡(jiǎn)圖及有限元模型

(2) 對(duì)該設(shè)計(jì)區(qū)域采用SKO方法進(jìn)行連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì),得到優(yōu)化模型及其應(yīng)力云圖,如圖7所示.

圖8 拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果及von Mises應(yīng)力云圖

(3) 對(duì)優(yōu)化結(jié)構(gòu)應(yīng)用基于有限單元的骨架提取算法,提取傳力骨架,如圖8所示.

(4) 提取骨架中的傳力關(guān)鍵點(diǎn),如圖9所示.

(5) 依據(jù)圖7所示的優(yōu)化拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),連接傳力

圖9 提取傳力骨架

關(guān)鍵點(diǎn),形成桿系結(jié)構(gòu),如圖10所示.

圖10 找到傳力關(guān)鍵點(diǎn)

圖11 桿系結(jié)構(gòu)及其von Mises應(yīng)力云圖

(6)采用滿應(yīng)力法對(duì)桿件的截面尺寸進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì),得到拓?fù)浜统叽鐑?yōu)化的桿系結(jié)構(gòu),結(jié)構(gòu)應(yīng)力均勻性高,趨向于滿應(yīng)力條件,如圖11所示.

圖12 初步尺寸優(yōu)化后von Mises應(yīng)力云圖

5 結(jié)論

文章從連續(xù)體出發(fā),首先使用SKO拓?fù)鋬?yōu)化方法進(jìn)行連續(xù)體的拓?fù)鋬?yōu)化,得到連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果;然后基于圖像細(xì)化算法提出了有限元網(wǎng)格8-鄰域單元查找算法和骨架提取算法對(duì)該拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果進(jìn)行骨架提取,找到其傳力路徑骨架及傳力關(guān)鍵點(diǎn);連接傳力關(guān)鍵點(diǎn)形成桿系結(jié)構(gòu);最后,采用滿應(yīng)力準(zhǔn)則法對(duì)桿系結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化.所得到的桿系結(jié)構(gòu)具有優(yōu)化的拓?fù)錁?gòu)型和桿件截面尺寸,應(yīng)力分布均勻,符合結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中的滿應(yīng)力準(zhǔn)則,為桿系結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)提供了一種新的思路.

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Designmethodology for bar system based on topology optimization and skeleton extraction

Based on the detailed algorithm of binary images,a skeleton extraction algorithm is applied for the eight-neighborhood finite-element grid model.By using Soft Kill Option (SKO) for topological optimization model,the results from successive bodies are obtained.Due that the grid skeletons are extracted to topological features of force transmission key-points,the bar system is formed via connection bars.Therein,the optimized topologies and mechanical properties are attained with reasonable bar layout and even stress distribution.

bar system; topological optimization; skeleton extraction; SKO algorithm; finite element

國(guó)家自然科學(xué)基金(51375345)

周奇才(1962-),男,工學(xué)博士,教授.E-mail:qczhou@#edu.cn

TH 11

A

1672-5581(2016)01-0032-06