陳龍法

(石獅市第一中學(xué) 福建 泉州 362700)

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物塊在有摩擦豎直圓軌道上的滑動速度*

陳龍法

(石獅市第一中學(xué) 福建 泉州 362700)

研究物塊在有摩擦豎直圓平面內(nèi)軌道上滑動時(shí)，用動力學(xué)方法列出的非線性微分方程，通常含時(shí)間變量，求解困難．經(jīng)過系列變換消除時(shí)間變量后，得到了任意位置物塊速度的一般解，并獲得特殊值的驗(yàn)證．

摩擦 豎直平面內(nèi)圓軌道 消除時(shí)間變量 滑動速度

圖1

如圖2，令物塊滑動到C點(diǎn)時(shí)速度大小為v，OC連線與水平線夾角為θ，設(shè)滑動摩擦力f與軌道對滑塊的彈力N成正比，即

f=μN(yùn)

(1)

圖2

在徑向應(yīng)用牛頓第二定律

(2)

在切向應(yīng)用牛頓第二定律

mgcos θ-f=mat

(3)

即

(4)

將這些關(guān)系式代入式(4)，得

將上式兩邊同除以r得

(5)

這是θ對t的非線性微分方程，難以直接求解．下面用消除時(shí)間變量的方法來簡化方程．

因

代入式(5)得

(6)

此方程中的ω是作為θ的函數(shù)，并且有

于是

(7)

兩邊乘以積分因子e2μθ，由于

所以式(7)可以化為

即

兩邊從0到θ積分

因物塊初速度為零，即θ=0時(shí)，y=ω2=0

所以

(8)

應(yīng)用積分公式

和

于是，式(8)變?yōu)?/p>

化簡為

(9)

(10)

(11)

*福建省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2015年度常規(guī)課題“高中物理教材二次開發(fā)案例研究”，項(xiàng)目編號：FJJK15-454

陳龍法(1961- )，男，中教高級，主要從事高中物理教學(xué)和研究.

2015-12-04)