金艷玲

(山西大學(xué)商務(wù)學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部,山西 太原 030031)

?

含雙參變量(θ,t)的廣義Cantor塵的Hausdorff測(cè)度

金艷玲

(山西大學(xué)商務(wù)學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部,山西 太原 030031)

研究在剪切和壓縮變換作用下所得到的廣義Cantor塵的Hausdorff測(cè)度問(wèn)題．利用自然覆蓋及圖形的幾何結(jié)構(gòu)獲得此類廣義Cantor塵的Hausdorff測(cè)度精確計(jì)算公式．推廣已有結(jié)論．

廣義Cantor塵;Hausdorff測(cè)度;自相似集

自相似分形集的Hausdorff測(cè)度研究是分形幾何中的一個(gè)困難問(wèn)題．文獻(xiàn)[1]對(duì)經(jīng)典的分形集的Hausdorff測(cè)度的性質(zhì)進(jìn)行了討論,文獻(xiàn)[2,3]在經(jīng)典Cantor集基礎(chǔ)上通過(guò)單位正方形生成了Cantor集類,稱為Cantor塵,討論其性質(zhì),并得到一類Cantor塵的Hausdorff測(cè)度的計(jì)算公式,文獻(xiàn)[4,5]則改變Cantor塵的生成方法,得到了另外一類Cantor塵的Hausdorff測(cè)度,文獻(xiàn)[6]在[3]的基礎(chǔ)上,加入了夾角變量,討論了更廣泛的Cantor塵的Hausdorff測(cè)度．本文則在[3]的基礎(chǔ)上,研究在剪切和壓縮變換作用下所得到的廣義Cantor塵,即含雙參變量的Cantor塵的Hausdorff測(cè)度精確計(jì)算公式．

1 圖形的生成

圖1 含雙參變量的廣義Contor塵

2 特殊點(diǎn)的坐標(biāo)

為了討論含雙參變量(θ,t)的廣義Cantor塵的Hausdorff測(cè)度,我們計(jì)算一些特殊點(diǎn)的坐標(biāo).

對(duì)于A點(diǎn),討論其坐標(biāo)

3 引理

引理1 如果開(kāi)集U可以包含任意兩個(gè)相鄰兩類的p級(jí)拷貝,則

經(jīng)過(guò)計(jì)算可知,|sl|>|gq|

引理2 如果U可以包含任意兩個(gè)相對(duì)兩類的p級(jí)拷貝,則

4 主要結(jié)論

定理1 設(shè)Uj是包含E的nj個(gè)p級(jí)拷貝的開(kāi)集,則

其中s=logm4(m≥4)

證明:以下對(duì)p采用數(shù)學(xué)歸納法．

第一步:驗(yàn)證當(dāng)p=1時(shí),對(duì)nj=1,2,3,4都有結(jié)論成立．

顯然,|Uj|>H(1,1)

a≥H(1,2)?|Uj|≥H(1,2)

經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算可得|Uj|≥H(1,4)

第二步:假設(shè)p=n時(shí),有

以下證明p=n+1時(shí),有

當(dāng)1≤nj≤4n時(shí),若Uj僅可包含nj個(gè)同類n+1級(jí)拷貝,則由歸納法可得

當(dāng)4n

經(jīng)計(jì)算,此項(xiàng)分子差小于f(k,θt).

故,|Uj|>c>H(n+1,nj)成立．

2) 若平面開(kāi)集Uj可包含相對(duì)兩類的n+1級(jí)拷貝,由引理2可得

定理2 設(shè)Hs(E)為含雙參變量(θ,t)的廣義Cantor塵E的Hausdorff測(cè)度,

證明:一方面,利用自然覆蓋,由Hs(E)的定義有

故

特別地,

與已知結(jié)論均一致．

[1] 何偉弘,羅 俊,賈保國(guó).Cantor塵和Sierpinski地毯[J].中山大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),1999,38(4):117-119

[2] 曾超益,許紹元.Cantor塵的Hausdorff 測(cè)度的初等證明[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2003,33(6):78-82

[3] 曾超益,袁德輝.m分Cantor塵的Hausdorff測(cè)度[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2009,25(2):356-362

[4] 金艷玲,魏毅強(qiáng).一類非齊次Moran集的Hausdorff測(cè)度[J].中北大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2011,32(1):63-66

[5] 金艷玲.一類m分Cantor塵的Hausdorff測(cè)度[J].太原科技大學(xué)學(xué)報(bào),2012,33(4):317-320

[6] 曾超益,袁德輝.含參變量Cantor集的Hausdorff測(cè)度[J].數(shù)學(xué)雜志,2011,31(4):729-736The Hausdorff Measure of a Class of Cantor Dust with Parameter(θ,t)

JIN Yanling

(Dept.Public Foundation,Business College of Shanxi University, Taiyuan 030031, China)

To sdudy the problem of the hausdorff measure of a class of cantor dust which is obtained by shear transformation and compressed transformation, using natural cover theory and its geometric construction,to obtain the exact value of the hausdorff measure of this set which is extention about this class of cantor dust.

generalized cantor dust; hausdorff measures; self-similar set

2016-08-17

山西大學(xué)商務(wù)學(xué)院科研基金項(xiàng)目(2014029).

金艷玲(1981-)，女，吉林通化人,碩士,山西大學(xué)商務(wù)學(xué)院講師，主要從事分形幾何研究.

1672-2027(2016)03-0001-05

O174.12

A