薛 紅，董瑩瑩

(西安工程大學(xué)理學(xué)院，陜西 西安 710048)

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雙分?jǐn)?shù)Vasicek利率下重置期權(quán)定價(jià)

薛 紅，董瑩瑩

(西安工程大學(xué)理學(xué)院，陜西 西安 710048)

假定股票價(jià)格滿足雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)微分方程，利率滿足雙分?jǐn)?shù)Vasicek利率模型，根據(jù)雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)隨機(jī)分析理論及保險(xiǎn)精算方法，討論了重置期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題，建立相應(yīng)的金融市場(chǎng)模型并獲得了雙分?jǐn)?shù)Vasicek利率下重置期權(quán)定價(jià)公式.

雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)；Vasicek利率；保險(xiǎn)精算；重置期權(quán)

重置期權(quán)是現(xiàn)代金融市場(chǎng)中廣泛應(yīng)用的一種新型期權(quán)[1],其敲定價(jià)格可以按照一定的規(guī)則作出調(diào)整,以便使持有者擁有更多的獲利機(jī)會(huì)，深受投資者喜愛(ài)重視.文獻(xiàn)[2-5]是在常數(shù)利率下對(duì)重置期權(quán)進(jìn)行研究得到的結(jié)果.但大量實(shí)證研究表明，在實(shí)際金融市場(chǎng)中，利率具有均值回復(fù)的特征，長(zhǎng)期利率的波動(dòng)會(huì)小于短期利率的波動(dòng)，在利率水平較高時(shí)，其波動(dòng)也較大.文獻(xiàn)[6]假設(shè)股票價(jià)格滿足布朗運(yùn)動(dòng)，利率滿足擴(kuò)展的Vasicek模型，運(yùn)用鞅理論及Gisanov定理，獲得了重置看漲期權(quán)的定價(jià)公式.文獻(xiàn)[7]假設(shè)股票價(jià)格滿足布朗運(yùn)動(dòng)，利率滿足Vasicek模型，借助多元正態(tài)分布函數(shù)與無(wú)套利理論，得到了重置期權(quán)的一組顯示定價(jià)公式和近似計(jì)算方法.文獻(xiàn)[8]假設(shè)股票價(jià)格遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，利率滿足Vasicek模型，利用偏微分方程方法，獲得了重置期權(quán)的定價(jià)公式.近幾年，不少學(xué)者提出了雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)，文獻(xiàn)[9-12]給出了雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的定義、性質(zhì)及其在期權(quán)定價(jià)中的應(yīng)用.文獻(xiàn)[13-17]是隨機(jī)利率下幾種金融衍生產(chǎn)品的定價(jià).本文是在股票價(jià)格服從雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)、利率滿足Vasicek模型、建立雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下的金融市場(chǎng)數(shù)學(xué)模型，利用保險(xiǎn)精算方法推導(dǎo)出重置期權(quán)的定價(jià)公式.

1 金融市場(chǎng)數(shù)學(xué)模型

考慮如下模型(A):利率rt和股票價(jià)格St分別滿足如下隨機(jī)微分方程：

(1)

(2)

(3)

(4)

引理3 {St,t≥0}在[t,T]上的期望回報(bào)率滿足βu=μ,u∈[t,T].

證明 由引理2可知

由定義2可得

再由

2 隨機(jī)Vasicek利率下重置期權(quán)定價(jià)

定理1 標(biāo)準(zhǔn)歐式看漲期權(quán)在t時(shí)刻保險(xiǎn)精算價(jià)格為

證明 由定義3得

綜上，定理得證.

定義5 重置看漲期權(quán)在t(t

定理2 用CRS(t,T1,T)表示重置看漲期權(quán)在時(shí)刻t的價(jià)格，重置時(shí)間為T1的重置看漲期權(quán)在時(shí)刻t的保險(xiǎn)精算定價(jià)為

1)當(dāng)t∈[T1,T]時(shí)，CRS(t,T1,T)=C(t,T,Y)I{ST1≥Y}+C(t,T,ST1)I{ST1

2)當(dāng)t∈[0,T1]時(shí)，有

證明 1)當(dāng)T1≤t≤T時(shí)，根據(jù)定理1易得結(jié)論.

由引理1，引理2和引理3可知，

再由A∩B={η1-η2>d1,η2+η4d3,η2+η4>d2},

合并上述Π1,Π2,Π3,Π4的計(jì)算式即證定理2.

注1 1)當(dāng)K=1時(shí)，可得分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下重置期權(quán)定價(jià)公式(見文獻(xiàn)[5])；

2)當(dāng)T1=T時(shí)，可得雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下標(biāo)準(zhǔn)歐式看漲期權(quán)的保險(xiǎn)精算定價(jià)公式(見定理1).

3 結(jié) 論

本文將重置期權(quán)定價(jià)理論作了進(jìn)一步的推廣.由于雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)是一種比分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)更一般的高斯過(guò)程，它不僅無(wú)獨(dú)立增量性，也不具有平穩(wěn)增量性，即雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)可以描述分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)描述不了的股價(jià)變化非平穩(wěn)的情形，所以雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)較之于幾何布朗運(yùn)動(dòng)和分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)能更好地描述股票價(jià)格的波動(dòng)；而且隨機(jī)Vasicek利率較常數(shù)利率更貼近實(shí)際的金融市場(chǎng)環(huán)境.故本文在雙分?jǐn)?shù)Vasicek利率下對(duì)重置期權(quán)進(jìn)行研究得到的定價(jià)公式更具有實(shí)際意義，同時(shí)豐富了重置期權(quán)定價(jià)研究的理論.

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Reset Option Pricing in Bi-fractional Vasicek Rate Environment

XUE Hong, DONG Yingying

(School of Science, Xi’an Polytechnic University, Xi’an 710048, China)

Assume that stock price follows the stochastic differential equation driven by bi-fractional Brownian motion, and interest rate satisfies Vasicek rate model which driven by bi-fractional Brownian motion, the pricing problem of reset option is discussed using the stochastic analysis theory of bi-fractional Brownian motion and the actuarial approach. The mathematical model of financial markets in the bi-fractional Vasicek rate environment is established. The pricing formula of reset option in bi-fractional Vasicek rate environment is obtained.

bi-fractional Brownian motion; Vasicek rate model; actuarial approach; reset option

2016-03-08

陜西省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(2016JM1031)；陜西省自然科學(xué)基礎(chǔ)研究計(jì)劃資助項(xiàng)目(2015JM1034)；西安工程大學(xué)研究生創(chuàng)新基金項(xiàng)目(CX201613)；陜西省教育廳專項(xiàng)科研基金項(xiàng)目(14JK1299).

薛 紅(1964—),男,教授,博士,主要從事隨機(jī)分析及金融工程等研究.E-mial:xuehonghong@sohu.com

10.3969/j.issn.1674-232X.2016.06.016

O211 MSC2010: 91G20; 91G30; 91G80

A

1674-232X(2016)06-0650-06