江蘇省高郵市第一中學(225600)

耿廣祥●

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數(shù)學歸納思想在高中數(shù)學教學中的應用

江蘇省高郵市第一中學(225600)

耿廣祥●

正如我們所知，歸納與推理是創(chuàng)造能力的基礎，對歸納思想進行培養(yǎng)，既是使學生獲得新知識的有效途徑，也是對學生演繹思維進行培養(yǎng)的重要手段.高中數(shù)學課程中，歸納思維的形成與培養(yǎng)尤為重要，但許多一線教師對歸納思維的培養(yǎng)方式依然不夠了解，接下來筆者將就教學案例談談自己的看法.

一、完全歸納法

在高中階段的數(shù)學學習過程中，完全歸納法有著相當高的使用頻率，其核心理念在于對問題進行分類并依此進行研究.接下來筆者將以“同弧所對圓周角的大小是其所對圓心角的一半”這一命題為例進行說明.

如圖1所示，在圓O中，對于弧AC而言，∠AOC與∠ABC分別代表了與其相對應的圓心角與圓周角，那么命題就相當于是證明∠AOC=2∠ABC.從圖中我們可以看出，隨著B點位置的不同，圓周角與圓心的關系可以分為三種情況，即圓心分別在圓周角一條邊上、圓周角內部和圓周角外部.通過這種方式，我們將問題分成了三類，只要分別驗證這三種情況下∠AOC的大小均為∠ABC的兩倍，即證明了命題的成立.

證明過程如下：當圓心在圓周角一條邊上時(如圖a)，連接AO，此時∠AOC相當于是△AOB的外角，因此∠AOC=∠BAO+∠ABC=2∠ABC.

當圓心在圓周角內部時(如圖b)，分別連接CO與AO，并過B作直徑BE.在這種情況下，∠AOE與∠ABE分別成為了弧AE所對的圓心角和圓周角.同理，∠EOC與∠EBC也分別是弧EC所對的圓心角和圓周角，這實際上與圖(a)類似，能夠得到∠AOC=∠EOC+∠AOE=2∠EBC+2∠ABE=2∠ABC.

當圓心在圓周角外部時(如圖c)，分別連接CO與AO，并過B作直徑BE，這一情況實際上與圓心在圓周角內部時類似，能夠得到∠AOC=∠AOE-∠EOC=2∠ABE-2∠CBE=2∠ABC的結論.

到這里，我們就完成了“同弧對所圓周角的大小是其所對圓心角的一半”這一命題的證明.

二、簡單枚舉法

簡單枚舉法是與完全歸納法相比更一般的方法：設A是含有可數(shù)元素或有限元素的集合，若發(fā)現(xiàn)其中每個經(jīng)過了驗證的元素都有同樣的性質P，那么就認為A集合中所有元素都有性質P.這一結論顯然是經(jīng)不起推敲的.簡單枚舉法的特殊性就在于此：并不是A集合中的每個元素都能夠被驗證.盡管這一區(qū)別似乎有些不起眼，但實際上卻是本質性的區(qū)別，哪怕其中只有一個未經(jīng)驗證的元素，就無法排除“該元素不具備P性質”的可能性.

當然，推論正確的可能性是隨著集合中得到驗證的元素數(shù)量的增加而提高的，這種推理實際上是對可能性的一種依賴.盡管這種推理有一定的道理，但其結論卻沒有必然性，這種推理就是所謂的歸納推理.

三、數(shù)學歸納法

一般情況下，在對與正整數(shù)n相關聯(lián)的命題進行證明時，主要有以下兩個步驟：①當n=k0時，驗證命題成立；②若n=k(k0k)的情況下命題成立，則證明n=k+1時命題也成立即可，這種方法就叫做數(shù)學歸納法.在這其中，推理的基礎是步驟①，而推理的依據(jù)是步驟②，二者互相依存，不可或缺.

綜上所述，命題在n為正整數(shù)時均成立.

四、主次變量轉化

歸納題目中必然存在主次關系，通過轉化主變量與參變量的主次關系，就能將問題轉化為另一種形式，進而得到答案.例如，函數(shù)f(x)=x2+(a-4)x+4-2a恒大于0，且a值域為[-1,1]，求x范圍.就題目來看，這是關于x的一個函數(shù)，若直接進行變形，然后將值代入求解，題目就會變得十分繁瑣，這時就可以適當?shù)夭捎弥鞔巫兞哭D化的方法，將原來的函數(shù)轉變?yōu)榕ca有關的函數(shù)，隨后進行求解.令g(a)=(x-2)a+(x-2)2為與a相關的一次函數(shù)，其中x≠2.通過繪制一次函數(shù)圖象我們可以得出g(-1)>0，且g(1)>0進而可以得到x>3或x<1.這樣我們就能得到原式中x的值域為{x|x<1，x>3}.

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