山東省棗莊市第二十中學(xué)(277000)

王 艷●

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用函數(shù)觀點看一元二次方程中考在線

山東省棗莊市第二十中學(xué)(277000)

王 艷●

二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系再次展示了函數(shù)與方程的聯(lián)系，一方面可以深化對一元二次方程的認識，另一方面又可以運用二次函數(shù)解決一元二次方程的有關(guān)問題．同時也是中考的熱點內(nèi)容.下面我們一起走進中考，看看都考了啥．

一、判斷二次函數(shù)與x軸交點的情況

例1 (2015年陜西中考)下列關(guān)于二次函數(shù)y=ax2-2ax+1(a>1)的圖象與x軸交點的判斷，正確的是( ).

A. 沒有交點

B. 只有一個交點，且它位于y軸右側(cè)

C. 有兩個交點，且它們均位于y軸左側(cè)

D. 有兩個交點，且它們均位于y軸右側(cè)

分析 根據(jù)函數(shù)值為零，可得相應(yīng)的方程，根據(jù)根的判別式，韋達定理或公式法求方程的根，可得答案．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點，利用了函數(shù)與方程的關(guān)系，方程的判別式與韋達定理．

二、解方程

例2 (2015年蘇州中考)若二次函數(shù)y=x2+bx的圖象的對稱軸是經(jīng)過點(2，0)且平行于y軸的直線，則關(guān)于x的方程x2+bx=5的解為( ).

A．x1=0,x2=4B．x1=1,x2=5

C．x1=1,x2=-5D． x1=-1,x2=5

解析 由題意得：二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線：x=2，而方程的兩根應(yīng)關(guān)于直線x=2對稱，只能選D.

點評 二次函數(shù)與一元二次方程綜合，考查二次函數(shù)的圖象性質(zhì)及解一元二次方程．是中考常考題型，難度不大.

三、解不等式

例3 (2015年瀘州中考)若二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a<0)的圖象經(jīng)過點(2，0)，且其對稱軸為x=-1，則使函數(shù)值y>0成立的x的取值范圍是( ).

A.x<-4或x>2B.-4≤x≤2

C.x≤-4或x≥2D. -4

分析 由拋物線與x軸的交點及對稱軸求出另一個交點坐標(biāo)，根據(jù)拋物線開口向下，根據(jù)圖象求出使函數(shù)值y>0成立的x的取值范圍即可．

解 ∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a<0)的圖象經(jīng)過點(2，0)，且其對稱軸為x=-1，∴二次函數(shù)的圖象與x軸另一個交點為(-4，0)，∵a<0，∴拋物線開口向下，則使函數(shù)值y>0成立的x的取值范圍是-4

點評 此題考查了二次函數(shù)與不等式(組)，求出拋物線與x軸另一個交點坐標(biāo)是解本題的關(guān)鍵．

四、求參數(shù)的取值范圍

例4 (2015年南通中考)關(guān)于x的一元二次方程ax2-3x-1=0的兩個不相等的實數(shù)根都在-1和0之間(不包括-1和0)，則a的取值范圍是 ____．

分析 首先根據(jù)根的情況利用根的判別式解得a的取值范圍，然后根據(jù)根兩個不相等的實數(shù)根都在-1和0之間(不包括-1和0)，結(jié)合函數(shù)圖象確定其函數(shù)值的取值范圍得a，易得a的取值范圍．

點評 本題主要考查了一元二次方程根的情況的判別及拋物線與x軸的交點，數(shù)形結(jié)合確定當(dāng)x=0和當(dāng)x=-1時函數(shù)值的取值范圍是解答此題的關(guān)鍵．

五、選擇圖象

例5 (2015年安徽中考)如圖2，一次函數(shù)y1=x與二次函數(shù)y2=ax2+bx+c圖象相交于P、Q兩點，則函數(shù)y=ax2+(b-1)x+c的圖象可能是( ).

解 由圖2知方程ax2+bx+c=x，即方程ax2+(b-1)x+c=0有兩個不等的正根.又c>0，故函數(shù)y=ax2+(b-1)x+c的圖象如A.

點評 本題考查了二次函數(shù)的圖象，直線和拋物線的交點，交點坐標(biāo)和方程的關(guān)系以及方程和二次函數(shù)的關(guān)系等，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

6.綜合性問題

例6 (2015年湖北荊州中考)已知關(guān)于x的方程kx2+(2k+1)x+2=0．

(1)求證：無論k取任何實數(shù)時，方程總有實數(shù)根；

(2)當(dāng)拋物線y=kx2+(2k+1)x+2圖象與x軸兩個交點的橫坐標(biāo)均為整數(shù)，且k為正整數(shù)時，若P(a，y1)，Q(1，y2)是此拋物線上的兩點，且y1>y2，請結(jié)合函數(shù)圖象確定實數(shù)a的取值范圍；

(3)已知拋物線y=kx2+(2k+1)x+2恒過定點，求出定點坐標(biāo)．

分析 (1)分類討論：該方程是一元一次方程和一元二次方程兩種情況．當(dāng)該方程為一元二次方程時，根的判別式Δ≥0，方程總有實數(shù)根；

(2)通過解kx2+(2k+1)x+2=0得到k=1，由此得到該拋物線解析式為y=x2+3x+2，結(jié)合圖象回答問題．

(3)根據(jù)題意得到kx2+(2k+1)x+2-y=0恒成立，由此列出關(guān)于x、y的方程組，通過解方程組求得該定點坐標(biāo)．

解 (1)①當(dāng)k=0時，方程為x+2=0，所以x=-2，方程有實數(shù)根.

②當(dāng)k≠0時，

∵Δ=(2k+1)2-4k×2=(2k-1)2≥0，即Δ≥0，

∴無論k取任何實數(shù)時，方程總有實數(shù)根.

∵二次函數(shù)的圖象與x軸兩個交點的橫坐標(biāo)均為整數(shù)，且k為正整數(shù)，∴k=1．

∴該拋物線解析式為y=x2+3x+2.

由圖象(圖3)得到：當(dāng)y1>y2時，a>1或a<-3．

所以該拋物線恒過定點(0，2)、(-2，0)．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點與判別式的關(guān)系及二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，解答(1)題時要注意分類討論．

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