劉鳳琴，聶志平，劉利莉

（浙江財經(jīng)大學 信息管理與工程學院，杭州 310018）

復(fù)合實物期權(quán)視角的企業(yè)R&D項目評價模擬計算

劉鳳琴，聶志平，劉利莉

（浙江財經(jīng)大學 信息管理與工程學院，杭州 310018）

文章基于美式復(fù)合實物期權(quán)視角，運用美式期權(quán)最小二乘蒙特卡羅模擬方法對企業(yè)多階段R&D項目評價問題進行深入分析。研究結(jié)論認為，多階段多投資時點的企業(yè)R&D投資項目一般具有很強的復(fù)合實物期權(quán)特征和美式期權(quán)價值結(jié)構(gòu)；實證結(jié)果表明，相對于常用的Geske兩階段評價美式期權(quán)計算模型，本文提出的評價方法具有更強的收斂穩(wěn)定性。

R&D項目；跳躍擴散；復(fù)合實物期權(quán)；美式期權(quán)定價；最小二乘蒙特卡羅模擬

0 引言

R&D項目在企業(yè)決策中占據(jù)不容忽視的地位，新產(chǎn)品或新戰(zhàn)略的設(shè)計和開發(fā)往往是一個企業(yè)生存的關(guān)鍵因素，因此對R&D項目做出正確評估就成為企業(yè)投資決策的重要內(nèi)容。由于R&D項目是一種平臺投資，具有彈性可調(diào)性、創(chuàng)造性、周期長、風險大和投資額巨大等特點，傳統(tǒng)方法由于忽視其靈活性會低估或錯估R&D項目價值，在80年代就陸續(xù)受到了學者們的質(zhì)疑。因為期權(quán)估值理論能很好地適應(yīng)管理柔性等特點，所以被認為是比較貼合R&D項目真實價值的評估方法。同時，由于R&D項目具有多階段投資的復(fù)雜性，因此，將其看作復(fù)合實物期權(quán)形式并進行定價評估更符合實際情況。

目前,學者對R&D項目進行復(fù)合實物期權(quán)模擬時多看成多階段集合形式，方法理念其實還是以Geske的兩階段模型為主。本文把蒙特卡羅模擬方法和復(fù)合實物期權(quán)理念結(jié)合起來，在多階段復(fù)合實物期權(quán)定價方案的基礎(chǔ)上，針對項目周期內(nèi)期權(quán)執(zhí)行時間重疊的情況，給出一個較完備的R&D項目估值方案。

1 R&D項目的復(fù)合實物期權(quán)特征分析

復(fù)合實物期權(quán)的內(nèi)涵在于它描述了未知環(huán)境下投資決策中一系列前后緊密關(guān)聯(lián)的權(quán)利，這些權(quán)利的意義在于使決策過程更具柔性，因此復(fù)合實物期權(quán)估值方法在分析多階段序列決策問題方面有優(yōu)勢。復(fù)合實物期權(quán)反映了一種全新的投資思維模式和企業(yè)戰(zhàn)略思想。在含有較大技術(shù)風險和市場風險的環(huán)境下制定投資策略時，復(fù)合實物期權(quán)可以賦予投資決策過程更多的選擇性。復(fù)合實物期權(quán)內(nèi)會有期權(quán)交叉重疊的情況，期權(quán)間相互作用的過程也是較復(fù)雜的，Brosch R(2001)[1]通過研究實物期權(quán)的組合特性，對期權(quán)間的復(fù)合關(guān)系進行了分類和定義，把復(fù)合實物期權(quán)分為平行復(fù)合、因果復(fù)合和項目間復(fù)合。其中，平行復(fù)合應(yīng)用最為廣泛，本文研究將以此為基礎(chǔ)來進行。

實物期權(quán)標的資產(chǎn)是現(xiàn)金流收益的現(xiàn)值,資產(chǎn)價格過程主要包括Poisson過程、Merton跳躍以及均值回復(fù)資產(chǎn)模型等形式。事實上,均值回復(fù)模型比幾何布朗運動更符合實際情況，尤其是跳躍均值回復(fù)模型。但在實踐中因為計算有難度，更傾向于選擇簡單模型。為此，本文將泊松跳躍資產(chǎn)價格模型作為基準模型，對復(fù)合實物期權(quán)定價加以分析。

假如有高新技術(shù)研發(fā)企業(yè)在T時刻有一項投資，投資與否取決于在該時刻企業(yè)的價值。若T時刻企業(yè)價值為P(T)，它是T時刻投資產(chǎn)生的現(xiàn)金流的貼現(xiàn)值，K為T時的投資成本。整個企業(yè)當前價值為不考慮該期權(quán)靜態(tài)NPV和該看漲期權(quán)價值之和。進一步假設(shè)如下：（1）在[0,T]期間，隨著研發(fā)工作的進行，P(T)會以指數(shù)形式穩(wěn)定增長，直到有新的技術(shù)發(fā)現(xiàn)而產(chǎn)生非預(yù)期的跳躍。（2）因為競爭者的進入，這項新技術(shù)所帶來的經(jīng)濟利益該企業(yè)不能完全獨占。（3）從長遠考慮，無論價值增值還是吸引競爭者進入，新技術(shù)發(fā)現(xiàn)產(chǎn)生的影響將會逐步消失。因此，項目在(0,T)時間內(nèi)資產(chǎn)價格變化可以采用Piosson過程來描述：

在無套利和完全市場下，該看漲期權(quán)的價值為e-rTE[max(0，P-k)]。

2 復(fù)合實物期權(quán)的蒙特卡羅模擬

2.1 跳躍擴散模型的蒙特卡羅模擬

在時間區(qū)間[0,T]內(nèi)，假設(shè)標的資產(chǎn)價格變量S(t)遵循Possion跳躍擴散過程，即：

為簡單起見，假設(shè)跳躍擴散是一維泊松過程，同時跳躍強度為λ=1。利用蒙特卡洛模擬方法對資產(chǎn)價格進行時間離散化，如果知道初始時刻S值，根據(jù)隨機抽取的ε，則能得出Δt時刻的S值，那么2Δt時刻的值就能從Δt時刻算出來。通過N個正態(tài)分布抽樣就可以得到一個價格路徑的蒙特卡洛模擬樣本，并得到在時刻T的回報值；把這種模擬方法重復(fù)至足夠大次數(shù)，通過計算所有回報值的平均值，然后折現(xiàn)，就得到了期權(quán)的期望值：

其中取N個獨立樣本路徑，SG表示S(t)在時間到期日T時的近似值。在復(fù)合實物期權(quán)中，既含有歐式實物期權(quán)類型，也含有美式期權(quán)類型。由于其前向性特點，會導(dǎo)致類似美式期權(quán)類型計算的不可行性，LSM方法可確定美式期權(quán)最佳執(zhí)行點，從而計算美式期權(quán)價值。

2.2 美式復(fù)合實物期權(quán)定價的最小二乘蒙特卡羅模擬

根據(jù)Longstaff F A,Schwarts E S(2001)[2]，本文假設(shè)美式期權(quán)執(zhí)行點是在K個離散的時間點上0＜t1≤t2≤t3≤...≤tk=T，并且在每一個離散時間點都考慮它的最佳停止策略。在期權(quán)到期日，如果美式期權(quán)是處于實值情況，那么投資者就會執(zhí)行期權(quán)，反之則放棄執(zhí)行。由于美式期權(quán)可提前執(zhí)行特性，那么在到期日之前的tk時刻，投資者必須做出選擇，如果計算得出期權(quán)立即執(zhí)行的價值要大于持有這一期權(quán)的價值，投資者毫無疑問會選擇立即執(zhí)行期權(quán)。在時間點tk，選擇立即執(zhí)行期權(quán)獲得現(xiàn)金流為已知，而繼續(xù)持有可能產(chǎn)生現(xiàn)金流卻是未知。根據(jù)無套利定價假設(shè)，持有期權(quán)價值為風險中性測度下C(ω，s;tK，T)折現(xiàn)后的條件期望值：

式（4）中r(ω，s)表示無風險折現(xiàn)率。LSM算法目標就是通過最小二乘法在時刻點tk-1，tK-2，...，t1逼近期權(quán)繼續(xù)持有的條件期望值；由于依賴樣本路徑的現(xiàn)金流函數(shù)C(ω，s;t，T)是由遞歸定義期權(quán)而產(chǎn)生，因此具有后向迭代性，需要進行后向式計算。Longstaff F A和Schwarts E S (2001)[2]研究表明，用3個基函數(shù)可獲得足夠收斂度。在計算過程中，由于投資者只會在期權(quán)價值大于零時刻執(zhí)行，因此可以只考慮期權(quán)價值大于零的路徑，如此就大大減小了期望函數(shù)估計范圍。

2.3 實物期權(quán)的模型求解

本文主要分析延遲期權(quán)，其他類型期權(quán)可相應(yīng)分析，假設(shè)延遲期權(quán)的延遲期為[0，T0]，延遲期權(quán)可以在延遲期內(nèi)任意時間執(zhí)行。在求解時，需要比較每個時間點上的立即執(zhí)行期權(quán)獲得價值和繼續(xù)持有期權(quán)價值，將較大值作為該時間點上的期權(quán)價值。將[0，T0]分為N1個長度相等的時間區(qū)間，記為在To時刻，第p條路徑上的期權(quán)價值為：

ti時點p條路徑上立即執(zhí)行項目價值為-I1，步驟為：

①求得在To處的期權(quán)價值，記為，并且把每條路徑上的期權(quán)執(zhí)行時間都記為

②選取tN1-1時刻所有期權(quán)執(zhí)行價值大于零的路徑，設(shè)共L條，標記為p1，p2，…，pL。計算出這些路徑上繼續(xù)持有期權(quán)的價值的現(xiàn)值為：

運用最小二乘法求解方程，得到a0，a1，a2的值；這里用3個基函數(shù)可以獲得足夠收斂效果。

在此基礎(chǔ)上，運用以下方法確定每條路徑上的期權(quán)是否應(yīng)該在tN1-1時刻執(zhí)行。若在某條路徑上期權(quán)的立即執(zhí)行價值為零，則期權(quán)肯定是繼續(xù)持有，不會執(zhí)行。而在L條執(zhí)行價值大于零的路徑上，利用上面LSM方法得到參數(shù)來重新計算此路徑上期權(quán)的持有價值，為：

如果計算出的持有價值大于這條路徑上此點的執(zhí)行價值，期權(quán)就會繼續(xù)持有；若持有價值小于執(zhí)行價值，期權(quán)將會在此點執(zhí)行。記tN1-1時刻每條路徑上期權(quán)執(zhí)行時間為有反之

③假定求得ti+1時刻期權(quán)在每條路徑上的執(zhí)行時間為，欲確定在ti期權(quán)執(zhí)行時間首先選取執(zhí)行價值大于零的所有路徑，假設(shè)有L'條，標記為 p1，p2，...，pL'，計算在這些路徑上期權(quán)持有價值折現(xiàn)到ti時刻的價值為

求解出a0，a1，a2的值。

④計算出期權(quán)的價值為：

第一步：在[T3,T]期間運用計算轉(zhuǎn)換期權(quán)價值方法計算期權(quán)價值。首先，運用上述轉(zhuǎn)換期權(quán)價值計算式得到轉(zhuǎn)換期權(quán)在每條路徑上的價值其次，在項目擴張投資規(guī)模的情況下，運用轉(zhuǎn)換期權(quán)價值計算方法得出轉(zhuǎn)換期權(quán)在每條路徑上的價值：最后擴張期權(quán)在T3處的價值為

3 案例計算

3.1 案例描述

基于Cassimon D,Engelen P J(2010)[3]案例數(shù)據(jù)，分別給出基本現(xiàn)金流和成本數(shù)據(jù)以及內(nèi)含復(fù)合實物期權(quán)相關(guān)數(shù)據(jù)。移動支付系統(tǒng)在2010年至未來時間里損益值如表1所示，2012年開始市場化推廣之后才有了現(xiàn)金流產(chǎn)生。

表1 移動支付系統(tǒng)開發(fā)損益值

其中，Ii，t表示在每一階段開始時的投資支出，Vi，t是預(yù)期現(xiàn)金流產(chǎn)生值，僅僅在進入到推廣階段時才會產(chǎn)生，在市場化推廣階段開始的時刻估算而得。在提出軟件開發(fā)項目商業(yè)概念之后，由于商業(yè)環(huán)境極度不明朗，管理者不會馬上進入移動支付系統(tǒng)開發(fā)，而是等待有利信息出現(xiàn)，以確定此移動支付系統(tǒng)有很大可能會帶來商業(yè)價值，或者避免不必要的后期投入，這就是延遲期權(quán)價值內(nèi)涵。此軟件系統(tǒng)最遲會在T0=0.5，以投資額I1=12.4（百萬）開始移動支付系統(tǒng)研發(fā)。此外，延遲期權(quán)有類似于美式期權(quán)特征，投資者可以根據(jù)市場環(huán)境在T0之前的任意時間內(nèi)進入到設(shè)計階段研發(fā)。在設(shè)計階段結(jié)束即將進入到編碼階段時點上，管理者可以根據(jù)移動支付系統(tǒng)商業(yè)前景，選擇在T1=0.8時刻是否徹底放棄移動支付系統(tǒng)的繼續(xù)開發(fā)；如果不放棄，則將以I2=21.6（百萬）投資額進入到軟件編碼階段的研發(fā)。

3.2 模型參數(shù)估計

模型參數(shù)主要包括波動率參數(shù)、跳躍強度λ以及跳躍值Yj等，其中關(guān)于波動率估計，主要運用Park C,Kang J M, Min B(2013)[4]里的專家咨詢評價方法；而對模型中的跳躍強度λ以及跳躍值服從的正態(tài)分布函數(shù)參數(shù)運用MCMC方法加以解決。

3.2.1 波動率σ估計

專家咨詢評價方法是將專家小組的主觀概率和對數(shù)正態(tài)累計概率相結(jié)合，得出最佳波動率估值。采用階段波動率法，需將此波動率的范圍分為四個區(qū)間值，分別是第一階段波動率取值范圍為50%～60%，接下來的三個階段依次為38%～48%，35%～45%以及32%～42%?？梢钥吹剿碾A段波動率估值也大致落在32%～60%之間。因為本文對參數(shù)波動率的處理方法是分階段取值的，根據(jù)Richard和Shockley(2007)[5]方法，得出有關(guān)波動率數(shù)據(jù)如表2所示。第四列Ii表示每階段投入成本，S0表示預(yù)期現(xiàn)金流折現(xiàn)到初始時刻的值，折現(xiàn)率r是5.32%，采用的是2012年發(fā)行的3A級五年期國債利率近似作為無風險貼現(xiàn)因子。

表2 軟件開發(fā)項目案例數(shù)據(jù)及波動率估計

3.2.2 MCMC參數(shù)估計

根據(jù)軟件開發(fā)項目實際數(shù)據(jù)可得，資產(chǎn)價格初始值為S0=85.9（百萬）；運用蒙特卡羅模擬方法，得出資產(chǎn)價格歷史軌跡。其中，模型參數(shù)部分運用歷史數(shù)據(jù)來運算，再從中選取一部分資產(chǎn)價格數(shù)據(jù)，作為參數(shù)估計輸入數(shù)據(jù)。根據(jù)資產(chǎn)價格模擬過程的MATLAB程序運行所得數(shù)據(jù)，選取其中60組數(shù)據(jù)，每兩個取平均值，作為MCMC參數(shù)估計方法中S0的基準數(shù)據(jù)。MCMC方法各個參數(shù)先驗分布值來源于劉昭文（2011）里相同參數(shù)先驗分布，即：λ～Beta(2，100)，Yj～N（ψ，γ2）中，期望和方差的先驗分布為1/γ2～IGa(2.5，0.025)。根據(jù)MCMC方法估值步驟，人工迭代4000次，可得到各個參數(shù)路徑迭代軌跡以及后驗分布，參數(shù)估計相關(guān)指標如表3所示：

表3 模型參數(shù)統(tǒng)計結(jié)果

從表3可以得到：λ=0.05349，ψ=-7.498，γ2=1.772E-4，并可得：μ0=5.5419E-4。則：

其中Yj～N（-7.498，1.772E-4）,Nt為 λ=0.05349的泊松分布，初始值S0=85.9（百萬）。

3.3 復(fù)合實物期權(quán)價值模擬

第一步：利用最小二乘蒙特卡羅模擬方法，運用MATLAB計算軟件，分別模擬出了1000次至10000次中的10次均值結(jié)果，圖1描述了延遲期權(quán)價值隨模擬次數(shù)變化的軌跡，取模擬4000次的MATLAB運算結(jié)果，可以得到Vp(tT3/Δt)=70.38（百萬）。

圖1 延遲期權(quán)模擬值變化曲線

在時間區(qū)間[T3,T]即[2.5,7]年內(nèi)，擴張投資情況下，計算出2.5年時刻轉(zhuǎn)換期權(quán)價值在擴張投資情況下，在2.5年時點項目初始價值變?yōu)?6.6（1+e）=115.2(百萬)。用MATLAB程序計算可得到2.5年時刻的轉(zhuǎn)換期權(quán)的價值取4000次程序計算結(jié)果可得出2.5年時刻的轉(zhuǎn)換期權(quán)的價值=128.7（百萬），運用最小二乘法得到的項目收縮且擴張下第2.5年時點處的期權(quán)價值模擬結(jié)果如圖2所示。

圖2 項目收縮且擴張下第2.5年時點處的期權(quán)價值模擬圖

第二步：擴張投資和不擴張投資期權(quán)價值的計算區(qū)別在于標的資產(chǎn)的計算公式和初始投資值的不同，若在2.5年時擴張投資，則資產(chǎn)價格在此刻的初始值將改變，得到2.5年時刻擴張期權(quán)價值為：

在時間區(qū)間[T′2，T3]即[2,2.5]年內(nèi)，同樣運用計算轉(zhuǎn)換期權(quán)價值公式算出在2年時點的轉(zhuǎn)換期權(quán)價值，通過程序計算可得到結(jié)果為110.5（百萬）。利用以上計算結(jié)果減去第2年時的初始投資，也就是在收縮投資的情況下，轉(zhuǎn)換期權(quán)價值為：

將此值以無風險利率r=0.052折現(xiàn)到T2=1.5年末再減去測試階段的初始投資，同時將收縮投資額考慮進去，便得到軟件開發(fā)項目收縮投資情況下期權(quán)價值，記為

第三步：在項目不收縮投資情況下，計算出1.5年末項目的期權(quán)價值。步驟與第二步一樣。同樣把1.5年時此軟件開發(fā)項目在不收縮投資情況下的期權(quán)價值記為Vp(tT2/Δt)-I3。運用第二步中同樣的計算步驟可得到最終的不收縮情況下第1.5年時點的期權(quán)價值Vp(tT2/Δt)-I3= 88.7（百萬）。

第四步：比較第二步和第三步的計算結(jié)果，得出1.5年時點收縮期權(quán)的價值。記為即可得到此軟件開發(fā)項目在第

1.5年時點的收縮期權(quán)的價值為88.7（百萬）。

第五步：將第四步得出的收縮期權(quán)價值折現(xiàn)到T1=0.8年末，利用放棄期權(quán)價值計算公式來計算此時點下的放棄期權(quán)的價值：

第六步：將第五步計算而出的結(jié)果折現(xiàn)到T0=0.5年末，得出此點的期權(quán)價值，記

第七步：運用前述推遲期權(quán)價值計算方法中第一步至第三步的方法確定出推遲期權(quán)在每條路徑上的最佳執(zhí)行點，然后從起始時刻開始，沿著每一條路徑尋找出第一個最佳執(zhí)行點，將此點的期權(quán)價值折現(xiàn)到起始時刻，得出每條路徑上起始時刻推遲期權(quán)的價值，對所有路徑上得出的期權(quán)價值V″

p取平均值，便得出此軟件開發(fā)項目復(fù)合實物期權(quán)總價值。

對最后的結(jié)果取模擬4000次下的平均值，得到推遲期權(quán)的價值為38.64（百萬），也是整個復(fù)合實物期權(quán)的價值，再減去軟件開發(fā)項目起初的概念投資I0=1.4，可以得到最終的項目價值為37.54(百萬)。

4 結(jié)論

本文針對傳統(tǒng)估值方法的缺陷，運用復(fù)合實物期權(quán)理論，并借助蒙特卡羅模擬數(shù)值解法重新探究了R&D項目的價值評估問題，研究結(jié)論歸納為：

（1）由于R&D投資項目是階段性投資，同時具有多個投資時點，因此復(fù)合實物期權(quán)更適合分析其價值結(jié)構(gòu)和估值計算問題。

（2）雖然實物期權(quán)理論來源于金融期權(quán)，但其傳統(tǒng)金融解析方法不再適用于實物期權(quán)求解，數(shù)值解法會更先進方便，通過借助MATLAB等模擬軟件，可以得出較準確的結(jié)果。

（3）在實證分析中，對波動率和跳躍因子的參數(shù)估計做了詳細的分析，結(jié)果得出，對于風險性較大，投資階段性特征明顯的R&D項目，運用復(fù)合實物期權(quán)思想，并采用解析方法，可以得出更靈活、更貼合真實價值的評估結(jié)果。

[1]Brosch R.Portfolio-aspects in Real Options Management[J].Plant Cell Reports,2001,15(12).

[2]Longstaff F A,Schwarts E S.Valuing American Options by Simula?tion:A Simple Least-Squares Approach[J].The Review of Financial Studies,2001,14(1).

[3]Cassimon D,Engelen P J,Yordanov V.Compound Real Option Valua?tion With Phase-Specific Volatility:A Multi-phase Mobile Payments Case Study[J].Technovation,2010(31).

[4]Park C,Kang J M,Min B.Compound Real Options Incorporated With a Stochastic Approach for Evaluating an Uncertainty in Petroleum Ex?ploration[J].Energy Sources,2013,PartB:Economics,Planning,and Pol?icy,8(3).

[5]Richard L.,Shockley Jr.A Real Option in a Jet Engine Maintenance Contract[J].Journal of Applied Corporate Finance,2007,19(2).

（責任編輯/劉柳青）

F273

A

1002-6487（2016）23-0166-04

國家自然科學基金資助項目（71271190）；教育部人文社會科學研究項目（15JYA630037）

劉鳳琴(1966—)，女，浙江杭州人，博士，副教授，研究方向：金融工程與金融管理。