王洪彬,武怡宏(淄博師范高等?？茖W校, 山東 淄博 255130)

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Littlewood-Paley算子交換子的Lipschitz估計

王洪彬,武怡宏(淄博師范高等?？茖W校, 山東 淄博 255130)

本文應用變指標Herz型Hardy空間上的原子分解定理, 證明了由Littlewood-Paley算子和Lipschitz函數(shù)生成的交換子在變指標Herz型Hardy空間上的有界性.

Littlewood-Paley算子；交換子；Herz型Hardy空間；變指標；Lipschitz估計

一、預備知識和記號

賦予如下Luxemburg-Nakano范數(shù)

‖f‖Lp(?)(Ω)=

則Lp(?)(Ω)是Banach空間, 稱之為變指標Lebesgue空間, 或者可以簡單地看作是變指標Lp空間, 因為它們推廣了標準的Lp空間: 如果p(x)=p是常數(shù), 那么Lp(?)(Ω)與Lp(Ω)是等距同構的. 變指標Lp空間是Musielak-Orlicz空間的一種特殊情形.

Lipβ(n)=

定義 1.1[5]令α∈, 0

在此基礎上我們給出變指標Herz型Hardy空間的定義及其原子分解特征. 用S(n)表示n上的Schwartz空間, 它是由無窮可微且在無窮遠處迅速遞減的函數(shù)所構成的,S'(n)表示S(n)的對偶空間. 令GNf(x)為f(x)的grand極大函數(shù), 其定義為

定義 1.2[7]令α∈, 0n+1.

定義 1.3[7]令nδ2α<,

q(·)∈Ρ(n)且非負整數(shù)s≥[α-nδ2].

(2) ‖a‖Lq(·)(n).

(1)' 對某個r≥1有suppa?B(0,r).

引理 1.1[7]令nδ2α<, 0

其中下確界是對f的所有上述分解而取的.

其中下確界是對f的所有上述分解而取的.

在主要結論的證明中，我們還需要下面的幾個引理.

引理 1.2[1]令p(·)∈Ρ(n). 若f∈Lp(·)(n)且g∈Lp'(·)(n), 則fg在n上可積并且

其中rp=1+1/p--1/p+. 上述不等式被稱為廣義H?lder不等式.

引理 1.3[5]令p(·)∈Β(n). 則存在正常數(shù)C使得對所有n中的球B和所有可測子集S?B, 都有

其中δ1,δ2是常數(shù)且滿足0<δ1,δ2<1(注意在整篇論文中δ1, δ2都同引理1.3中的一樣).

引理 1.4[5]設p(·)∈Β(n). 則存在常數(shù)C>0使得對所有n中的球B, 都有

二、主要結論及證明

給定ε>0和函數(shù)ψ滿足下面三個條件：

(1)∫nψ(x)dx=0,

定義Littlewood-Paley算子為

且ψt(x)=t-nψ(x/t),t>0.

令b∈Lipβ(n), 由Littlewood-Paley算子和b生成的交換子[b,Sψ]定義為

[b,Sψ]f(x)=

其中Fb,t(f)(x,y)=

∫nψt(y-z)f(z)(b(x)-b(z))dz.

下面我們給出交換子[b,Sψ]在變指標Herz型Hardy空間中的有界性.

定理 令b∈Lipβ(n),

0

因此, 我們得

=:I1+I2.

(1)

我們首先估計I1. 由aj的消失矩條件和廣義H?lder不等式, 我們得

所以由Iβ的(Lq1(?)(n),Lq2(?)(n))有界性, 上式以及引理1.2-1.4, 我們有

‖[b,Sψ](aj)χk‖Lq2(·)(n)C2jε+kβ-k(n+ε)‖aj‖Lq1(·)(n)‖χBj‖Lq1'(·)(n)‖χk‖Lq2(·)(n)

(2)

I1=

(3)

I1

(4)

現(xiàn)在我們來估計I2. 類似于I1, 我們可得

‖[b,Sψ](aj)χk‖Lq2(·)(n)C2j(β-n)‖aj‖Lq1(·)(n)‖χBj‖Lq1'(·)(n)‖χk‖Lq2(·)(n)

I2=

(5)

I2

(6)

結合(1)和(3)-(6), 我們有

因此, 定理得證.

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(責任編輯：胡安波)

By using the atomic decomposition characterizations of Herz-type Hardy spaces with variable exponent, some boundedness of the commutators generated by Littlewood-Paley operators and Lipschitz functions on the Herz-type Hardy spaces with variable exponent is obtained.

Littlewood-Paley operator；commutator；Herz-type Hardy space；variable exponent；Lipschitz estimate

2015-11-05

王洪彬(1981-)男，博士，山東淄博人，淄博師范高等專科學校數(shù)理系教師，主要從事調和分析方向研究；武怡宏(1986-)女，碩士，山東濰坊人，淄博師范高等?？茖W校招生就業(yè)處教師，主要從事英語教育研究。

O174.2

A

(2016)02-0045-04