山東省單縣希望中學(xué)(274300)秦令忠

幾何計(jì)算題的基本方法和策略

山東省單縣希望中學(xué)(274300)秦令忠

近年來,在以圓為背景的圖形中求線段長,是各地中考的高頻考題,是圓與相似、解直、方程的聯(lián)系題目,學(xué)生對(duì)于此類問題中的第二問的解決上還存在困難.我在多年的教學(xué)中重點(diǎn)這樣指導(dǎo)學(xué)生:學(xué)會(huì)尋找?guī)缀卧刂g的聯(lián)系,用綜合分析法建立圓與相似、解直、方程的聯(lián)系,從而應(yīng)用求線段長的基本方法.下面我從幾個(gè)例題中與同行們交流:

例1.已知:如圖,A是⊙O上一點(diǎn),半徑OC的延長線與過點(diǎn)A的直線交于B點(diǎn),OC=BC,

圖1

(1)求證:AB是⊙O的切線;

(2)若∠ACD=45℃,OC=2,求弦CD的長.

【分析】(1)連半徑證垂直是證明切線的一種常用方法,此題中根據(jù)所給線段的數(shù)量關(guān)系,可以直接證得∠OAB=90℃;(2)由于已知45℃,學(xué)生很容易聯(lián)想到過點(diǎn)A作垂線這條輔助線,在△ACE中可求出CE和AE,DE可在△ADE中求得,為了使△ADE可解,還需要一個(gè)條件,因此,此題的關(guān)鍵是從∠O=60℃轉(zhuǎn)化到∠D=30℃,運(yùn)用解直求線段長.

圖2

解:(1)證明:如圖,連結(jié)OA

∴AB是⊙O的切線.

(2)解:作AE⊥CD于E點(diǎn).

∵OC=OA=OC

∴△ACO是等邊三角形

∴∠O=60℃∴∠D=30℃

又∠ACD=45℃,AC=OC=2,

在Rt△ACE中,∵∠D=30℃,

【設(shè)計(jì)意圖】

1.體會(huì)圓是轉(zhuǎn)化角的一個(gè)工具,此題中將等邊三角形提供的圓心角與圓周角聯(lián)系起來,易知∠D=30℃.

2.鞏固上節(jié)課的解三角形求線段長的思路

3.圓與解直的聯(lián)系,此題中在解△ACD時(shí),可以用化斜為直的方法.

例2.已知:如圖,在△ABC中,AB=AC,AE是角平分線, BM平分∠ABC交AE于點(diǎn)M,經(jīng)過B、M兩點(diǎn)的⊙O交BC于點(diǎn)G,交AB于點(diǎn)F,FB恰為⊙O的直徑.

圖3

(1)求證:AE與⊙O相切;

【分析】(1)題應(yīng)用等腰三角形三線合一易證出∠AEB=90℃,為了證∠AMO=90℃,只需要證明OM//BC,由角平分線和等腰三角形轉(zhuǎn)化角易得(2)題中經(jīng)過推理將條件集中在Rt△AEB中,由于已知BE和cos∠CBA的值,因此,Rt△AEB可解,將所求的半徑放入Rt△AMO中,用設(shè)參法表示出Rt△AMO的邊長,然后通過這兩個(gè)三角形相似構(gòu)造比例式方程解決;或通過轉(zhuǎn)化角,將Rt△AEB中的條件轉(zhuǎn)化到Rt△AMO中,運(yùn)用銳角三角函數(shù)的知識(shí)解決.

解:(1)證明:連結(jié)OM,則OM=OB.

圖4

在△ABC中,AB=AC,AE是角平分線,

∴AE⊥BC.∠AEB=90℃.

∴∠AMO=90℃.∴OM⊥AE.∴AE與⊙O相切.

(2)解:在△ABC中,AB=AC,AE是角平分線,

【設(shè)計(jì)意圖】

1.圓與相似的聯(lián)系,此題中通過已知條件找到可解的三角形,將未知線段所在的三角形與可解的三角形建立聯(lián)系,通過相似求線段長是一種常見方法,此題中兩個(gè)相似的三角形是直角三角形,因此也可以用三角法解決.

2.設(shè)參法的應(yīng)用,體會(huì)方程的工具性.

例3.已知:如圖,AB是⊙O的直徑,C是⊙O上的一點(diǎn),且∠BCE=∠CAB,CE交AB的延長線于點(diǎn)E,AD⊥AB,交EC的延長線于點(diǎn)D.

圖5

(1)判斷直線DE與⊙O的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論;

(2)若CE=3,BE=2,求CD的長.

【答案】

此題(1)可通過已知條件∠BCE=∠CAB和圖形條件(圓中等腰——半徑轉(zhuǎn)化角)將∠OCE與直徑所對(duì)的圓周角∠ACB建立聯(lián)系,從而證明∠OCE=90℃.(2)中CD=AD,找到含有它們的三角形,且能與其它三角形建立聯(lián)系求解,因此,找到△ADE與△COE相似,求出半徑就解出了△COE,從而能解得

【設(shè)計(jì)意圖】

1.圓與方程的聯(lián)系,此題中用勾股定理建立方程求解圓的半徑,用相似或三角法建立方程求出未知線段長.

2.一題多解,變式訓(xùn)練,提高思維的靈活性,學(xué)會(huì)優(yōu)化選擇.

3.用問題串引導(dǎo)學(xué)生深入思考.

問題串:(1)為了證明切線,根據(jù)已知條件,可證哪個(gè)角為直角,這個(gè)思路是否可行,為什么?

(2)含未知線段的三角形不可解?怎樣與其它三角形建立聯(lián)系?

(3)與它相似的三角形是否可解,為什么?

(4)還可以用什么方法求半徑長?

(5)如果不先求出半徑長,能否解決此題?

(6)哪種方法更優(yōu)化,為什么?

此題求半徑的方法多樣,可在Rt△OCE中通過勾股定理建立方程求半徑,也可通過公邊共角圖△ACE與△CBE相似求半徑,還可建立Rt△OCE與Rt△DAE之間的相似關(guān)系,通過方程組同時(shí)求半徑和未知線段長,大家不妨一試.另外,此題中求出半徑長之后,結(jié)合切線長定理可以在Rt△DAE中應(yīng)用勾股定理求解,但相比而言,所列方程是二次方程,就不如一次方程簡單.

例4.如圖,AB、CD是⊙O的兩條弦,它們相交于點(diǎn)P,聯(lián)結(jié)AD、BD.已知AD=BD=4,PC=6,求CD的長.

圖6

【答案】通過連結(jié)AC可將所求線段CD置于△ACD中,這個(gè)三角形不可解,因此,可以找相似三角形,雖然△APC～△DPB,但求不出PD,因此,需要找別的相似三角形,通過標(biāo)記圓中的等角,易發(fā)現(xiàn)△DPA～△DAC,從而求出CD=8.

【設(shè)計(jì)意圖】當(dāng)找不到可解的三角形時(shí),可以建立兩個(gè)三角形之間的聯(lián)系,應(yīng)用相似求線段長.此題中有公邊共角的圓中相似,在公邊共角這個(gè)基本圖形的相似中,通過夾公共角兩邊的邊長的對(duì)應(yīng)關(guān)系列出方程求線段長.

(三)練習(xí)

圖7

圖8

1.如圖7,在△ABC中,∠C=90℃,AD是∠BAC的平分線,O是AB上一點(diǎn),以O(shè)A為半徑的⊙O經(jīng)過點(diǎn)D.

(1)求證:BC是⊙O切線;

(2)若BD=5,DC=3,求AC的長.

2.如圖8,已知AB為⊙O的弦,C為⊙O上一點(diǎn),∠C=∠BAD,且BD⊥AB于B.

(1)求證:AD是⊙O的切線;

(2)若⊙O的半徑為3,AB=4,求AD的長.

3.已知:如圖9,在Rt△ABC中,∠ABC=90℃,D為AB上一點(diǎn),以BD為直徑作半圓O,與AC相切于點(diǎn)E,若BD=BC=6,求AC的長.

圖9

圖10

4.如圖10,AB、BC、CD分別與⊙O切于E、F、G,且AB//CD.連接OB、OC,延長CO交⊙O于點(diǎn)M,過點(diǎn)M作MN//OB交CD于N.

(1)求證:MN是⊙O的切線;

(2)當(dāng)0B=6cm,OC=8cm時(shí),求⊙O的半徑及MN的長.

5.如圖11,已知⊙O是△ABC的外接圓,AB是⊙O的直徑,D是AB延長線的一點(diǎn),AE⊥CD交DC的延長線于E,CF⊥AB于F,且CE=CF.

圖11

(1)求證:DE是⊙O的切線;

(2)若AB=6,BD=3,求AE和BC的長.

6.問題背景:在某次活動(dòng)課中,甲、乙、丙三個(gè)學(xué)習(xí)小組于同一時(shí)刻在陽光下對(duì)校園中一些物體進(jìn)行了測量.下面是他們通過測量得到的一些信息:

甲組:如圖12,測得一根直立于平地,長為80cm的竹竿的影長為60cm.

乙組:如圖13,測得學(xué)校旗桿的影長為900cm.

丙組:如圖14,測得校園景燈(燈罩視為球體,燈桿為圓柱體,其粗細(xì)忽略不計(jì))的高度為200cm,影長為156cm.

圖12

圖13

圖14

任務(wù)要求

(1)請(qǐng)根據(jù)甲、乙兩組得到的信息計(jì)算出學(xué)校旗桿的高度;

(2)如圖14,設(shè)太陽光線NH與⊙O相切于點(diǎn)M.請(qǐng)根據(jù)甲、丙兩組得到的信息,求景燈燈罩的半徑(友情提示:如圖3,景燈的影長等于線段NG的影長;需要時(shí)可采用等式1562+2082=2602).