【摘 要】“備課”作為教學(xué)的前置環(huán)節(jié)，其深度對于課堂教學(xué)至關(guān)重要。高中數(shù)學(xué)教學(xué)備課要注重?cái)?shù)學(xué)的“整體性”，學(xué)生的“可塑性”和教法的“互通性”。本文以“極坐標(biāo)系”一節(jié)的備課過程為例，探討深度備課的具體策略和方法。

【關(guān)鍵詞】深度備課；教學(xué)設(shè)計(jì)；高中數(shù)學(xué)

【中圖分類號】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A 【文章編號】1005-6009（2016）54-0030-02

【作者簡介】李凈，南京市第九中學(xué)（南京，210018）教師，一級教師。

如果說課堂是師生間思維相互碰撞，情感彼此交流的舞臺，那備課就是教師進(jìn)行創(chuàng)作、反復(fù)彩排、不斷調(diào)試的過程。好的創(chuàng)作離不開對素材（學(xué)科知識）的研究，對觀眾（學(xué)生）的了解和對表現(xiàn)方式（教法）的琢磨。“備課”作為教學(xué)的前置環(huán)節(jié)，其深度對于課堂教學(xué)而言非常重要。那么如何才能在備課的過程中體現(xiàn)深度呢？筆者認(rèn)為有以下三個基本原則。

一、舒經(jīng)通絡(luò)知全貌——備出數(shù)學(xué)的“整體性”

數(shù)學(xué)具有整體性的特征。它不僅體現(xiàn)在數(shù)學(xué)學(xué)科知識之間的關(guān)聯(lián)性和系統(tǒng)化，更體現(xiàn)在數(shù)學(xué)核心概念所反映的數(shù)學(xué)思想方法的一致性上。因此，深度備課不僅僅局限于所教內(nèi)容本身，還應(yīng)包括其所在章節(jié)的系統(tǒng)知識框架，與所教知識相關(guān)的數(shù)學(xué)學(xué)科知識、相關(guān)數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)發(fā)展的前沿動態(tài)，與其他學(xué)科相關(guān)聯(lián)的知識和應(yīng)用范圍。所以，當(dāng)教師備課時(shí)不僅僅局限于所教學(xué)科知識本身，而是以整體的觀點(diǎn)全局考慮問題，融會各方面相關(guān)知識形成系統(tǒng)時(shí)，才能更有效地培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)，為學(xué)生綜合能力的生成提供學(xué)科支持，實(shí)現(xiàn)真正的深度學(xué)習(xí)。

二、追根溯源明學(xué)情——備出學(xué)生的“可塑性”

學(xué)情是教學(xué)設(shè)計(jì)的珍貴源泉，它理應(yīng)成為教師備課的首要參考。學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律如何，思維方式怎樣，情感需求有哪些，對已學(xué)過的相關(guān)知識的掌握情況如何……這些內(nèi)容應(yīng)當(dāng)作為教師備課時(shí)進(jìn)行教學(xué)預(yù)設(shè)的一個重要方面。通過傾聽學(xué)生的問題，觀察學(xué)生的課堂行為表現(xiàn)，檢測學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，根據(jù)學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”設(shè)定恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)目標(biāo)，安排適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)內(nèi)容，選擇合適的教學(xué)方法，盡可能地達(dá)到目標(biāo)讓學(xué)生明確，問題讓學(xué)生提出，過程讓學(xué)生參與，規(guī)律讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)的要求。

三、教、學(xué)合一講方法——備出教法的“互通性”

在實(shí)際教學(xué)中，許多教師都會陷入短期學(xué)習(xí)效果和長期能力培養(yǎng)的矛盾。教學(xué)中應(yīng)更側(cè)重知識，還是更關(guān)注方法？華東師范大學(xué)葉瀾教授認(rèn)為：一門學(xué)科對學(xué)生發(fā)展的價(jià)值，除了學(xué)科領(lǐng)域的知識以外，從更深的層次看，還應(yīng)該為學(xué)生認(rèn)識世界和解決問題提供獨(dú)特的視角、思維的方法和特有的邏輯。傳統(tǒng)的“一個定義、三項(xiàng)注意、幾道例題、大量練習(xí)”式的教學(xué)或許可以“授之以魚”，卻無法“授之以漁”。殊不知“磨刀不誤砍柴工”，對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力和學(xué)習(xí)方法的培養(yǎng)可以促進(jìn)學(xué)生舉一反三、融會貫通，甚至做到一通百通。從這個意義來說，教學(xué)教的不僅僅是知識，更是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法。因此，備教法首先要備學(xué)法，學(xué)法與教法應(yīng)當(dāng)是互通的。為促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)而教的教法才是最為科學(xué)有效的。

明確了深度備課的原則，那么在教師日常的備課中，該如何將這些原則加以應(yīng)用呢？下面以“極坐標(biāo)系”一課為例談?wù)劸唧w的應(yīng)用策略。

數(shù)學(xué)家哈爾莫斯說：問題是數(shù)學(xué)的心臟。只有感受心臟的跳動，才能感受數(shù)學(xué)的活力。在我看來，問題不僅僅是學(xué)生學(xué)習(xí)的動力之源，更是教師教學(xué)和研究的命脈。而備課的過程事實(shí)上是教師以所教內(nèi)容為載體，以學(xué)生的認(rèn)知現(xiàn)狀為起點(diǎn)，以提高學(xué)生學(xué)力為目標(biāo)，不斷提出問題并解決問題的過程?？梢哉f，備課的深度取決于教師提問的高度和解答問題厚度。那么“極坐標(biāo)系”一課我們可以提出哪些問題，又該如何回答呢？

問題1：什么是極坐標(biāo)系？它的知識體系是怎樣的？

單節(jié)知識只有放在學(xué)科知識的整體中才能更宏觀地了解它的來龍去脈，知曉脈絡(luò)方能形成體系。通過研讀教材，我們可以得出：極坐標(biāo)系是以“距離”和“角度”對平面內(nèi)的點(diǎn)進(jìn)行定位的建系方式。本節(jié)源于蘇教版高中數(shù)學(xué)選修4-4的第一章。這一章包括三塊內(nèi)容：（1）直角坐標(biāo)系；（2）極坐標(biāo)系；（3）球坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系（不作要求）。三塊內(nèi)容屬于并列關(guān)系。其中“極坐標(biāo)系”起著承上啟下的作用。它一方面是“平面解析幾何初步”和“圓錐曲線與方程”的拓展和延續(xù)，和“平面向量”“三角函數(shù)”等知識有著千絲萬縷的聯(lián)系；另一方面，它也是下一章學(xué)習(xí)“曲線的極坐標(biāo)方程”的基礎(chǔ)。

問題2：為什么要學(xué)習(xí)極坐標(biāo)系？

高二的學(xué)生已經(jīng)具有了解析幾何等知識儲備，但是由于學(xué)生對平面直角坐標(biāo)系已經(jīng)有了較為深入的認(rèn)識和學(xué)習(xí)依賴，很可能對突如其來的“極坐標(biāo)系”產(chǎn)生心理上的排斥，會產(chǎn)生“為什么要學(xué)習(xí)一種新的坐標(biāo)系？”，“這樣建系有什么作用？”，“比起直角坐標(biāo)系，極坐標(biāo)系有什么優(yōu)點(diǎn)？”等一系列疑問，從而無法領(lǐng)悟到學(xué)習(xí)多種坐標(biāo)系的必要性，更無法進(jìn)行有意義的深度學(xué)習(xí)。

通過對教材的研讀和極坐標(biāo)系相關(guān)資料的研究，我們可以看出極坐標(biāo)系與其他坐標(biāo)系（比如直角坐標(biāo)系）一樣，也是數(shù)學(xué)中確定平面上點(diǎn)的位置的重要參照系統(tǒng)。是利用“方向”和“距離”來表示平面上點(diǎn)的位置，這在數(shù)學(xué)、物理、工程、航海、航空等許多領(lǐng)域上都有應(yīng)用，十分貼近生活。對于數(shù)學(xué)中的運(yùn)動問題來說，參照系的選擇對于運(yùn)算的難易程度影響很大。直角坐標(biāo)包含著到兩坐標(biāo)軸的距離等信息，更適合解決函數(shù)問題和點(diǎn)的平移變換。極坐標(biāo)則包含著極徑和極角等信息，在一些與長度、角度有關(guān)的旋轉(zhuǎn)問題或點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)變換中更能體現(xiàn)出優(yōu)勢。

問題3：怎樣學(xué)習(xí)極坐標(biāo)系？使用哪些方法？

學(xué)習(xí)方法的重要性往往勝于知識本身。與其他學(xué)科相比，數(shù)學(xué)這一學(xué)科具有很強(qiáng)的整體性，許多新知識就是在學(xué)生已有的知識基礎(chǔ)上形成和不斷發(fā)展起來的，這就需要我們建立知識間的聯(lián)系。而建立的方法可以利用兩個極其重要的思想方法：類比和化歸。

類比是利用知識間類型的相似性來研究問題的方法。事實(shí)上，學(xué)生在學(xué)習(xí)極坐標(biāo)之前已經(jīng)有數(shù)軸、平面直角坐標(biāo)系、空間直角坐標(biāo)系等多個知識的儲備。這些知識的研究內(nèi)容和研究方法均是可以借鑒、利用的寶庫。比如我們研究數(shù)軸，要制定數(shù)軸的基本規(guī)則，諸如原點(diǎn)、正方向和單位長度；要知道如何用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示實(shí)數(shù)；要能夠通過數(shù)軸來刻畫區(qū)間……我們研究平面直角坐標(biāo)系，要確定建系的規(guī)則；知道如何用有序?qū)崝?shù)對來表示平面內(nèi)的點(diǎn)，學(xué)會用方程來表示曲線，用不等式組來刻畫平面區(qū)域……同樣的，我們可以類比得到，我們研究極坐標(biāo)系要制定出合乎要求的建系規(guī)則；能夠用極坐標(biāo)表示平面內(nèi)的點(diǎn)；可以用極坐標(biāo)方程表示平面內(nèi)的曲線……正如在學(xué)習(xí)了平面直角坐標(biāo)系以后，我們很多的研究方法和結(jié)論都可以推廣到空間直角坐標(biāo)系中去一樣，極坐標(biāo)系的研究方法也是有共通性的。

所謂“化歸”可理解為轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的意思。在數(shù)學(xué)方法論中所論及的化歸方法，是指數(shù)學(xué)中把待解決或未解決的問題，通過轉(zhuǎn)化過程，歸結(jié)到一類已經(jīng)解決或者比較容易解決的問題中去，最終獲得原問題的解答的一種手段和方法。坐標(biāo)系是運(yùn)用代數(shù)方法解決幾何問題的橋梁。它的發(fā)明為解決幾何問題尋找了一種普遍有效的方法，并且把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，體現(xiàn)化歸的思想。第二節(jié)“極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)的互化”更是體現(xiàn)了將極坐標(biāo)這一新知識轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)這一舊知識來解決問題的化歸策略。

備課不僅要“備其然”（所教知識的表面內(nèi)容），還要“備其所以然”（所教知識的本質(zhì)內(nèi)容及產(chǎn)生原因），更要“備其何以所以然”（學(xué)生學(xué)習(xí)所教知識的方法）。通過融會知識，明悉學(xué)情，貫通方法，針對所教內(nèi)容和學(xué)生學(xué)情進(jìn)行深度備課，才能打造出真正的精品課堂。