宋瑞蘭， 羅冬梅， 謝 悅， 宿曉如

(佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院 土木工程系， 廣東 佛山 528000)

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直線型和彎曲型納米碳管特性對納米復(fù)合材料有效力學(xué)性能的影響

宋瑞蘭， 羅冬梅， 謝 悅， 宿曉如

(佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院 土木工程系， 廣東 佛山 528000)

在ANSYS平臺構(gòu)建直線型和彎曲型的實心和空心納米碳管增強陶瓷基復(fù)合材料的三維特征體積單元模型. 利用雙尺度漸近均質(zhì)化理論計算復(fù)合材料的有效力學(xué)性能， 分析納米碳管的幾何形狀和力學(xué)特性對復(fù)合材料有效剛度的影響. 分析結(jié)果表明， 隨著長度和直徑的變化， 實心納米碳管與空心納米碳管增強復(fù)合材料的有效力學(xué)性能效果差異較大， 兩者具有不可替代性. 而且納米碳管的各向異性明顯導(dǎo)致有效剛度降低， 忽略納米碳管的各向異性會高估復(fù)合材料的有效力學(xué)性能. 此外， 納米碳管的彎曲程度對橫向有效彈性模量和有效剪切模量有較顯著的影響. 正確構(gòu)建納米碳管模型， 合理選擇納米碳管的形狀和尺寸對準確評估納米碳管增強復(fù)合材料的有效力學(xué)性能有重要意義.

納米碳管； 納米復(fù)合材料； 有效剛度； 雙尺度均質(zhì)化法

0 引 言

近年來， 納米碳管以特殊的結(jié)構(gòu)和優(yōu)異的性能已成為新型材料的代表， 并成為復(fù)合材料增強相的理想選擇. 以納米碳管為增強相的復(fù)合材料， 已經(jīng)在金屬基、 高分子基的材料中取得了比較顯著的效果[1-2]， 目前國內(nèi)外學(xué)者圍繞納米碳管增強復(fù)合材料進行了一系列的研究. 利用經(jīng)典Mori-Tanaka理論[3-4]、 分子動力學(xué)與連續(xù)體力學(xué)相結(jié)合[5-6]以及多尺度均質(zhì)化[7-9]等方法， 已發(fā)現(xiàn)納米碳管的長徑比、 體積含量、 形狀、 排列方式以及彈性模量等都會對復(fù)合材料的有效力學(xué)性能產(chǎn)生不同程度的影響， 實際上這些研究大部分是利用連續(xù)介質(zhì)力學(xué)原理將納米碳管簡化為實心的納米碳纖維， 目前以空心的單壁納米碳管作為增強相的復(fù)合材料力學(xué)性能的研究相對較少. Preeti Joshi[10]等利用有限元法計算了多壁碳納米管增強復(fù)合材料的有效彈性模量， 證明多壁碳納米管在受壓情況下能取得較好的有效彈性模量， Shweta Paunikar和Surendra Kumar[11]基于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)與多相復(fù)合材料的微觀力學(xué)理論模型和能量法則， 計算了長短彎曲型納米碳管增強復(fù)合材料兩種情況的有效彈性常數(shù)， 證明納米碳管的彎曲程度會使納米碳管增強復(fù)合材料的縱向彈性模量降低， 橫向彈性模量增加， 且對較短的納米碳管影響更顯著. 本文以直線型和彎曲型的實心納米纖維和空心納米碳管增強陶瓷基復(fù)合材料為研究對象， 利用精確周期性邊界條件的均質(zhì)化法計算復(fù)合材料的有效彈性模量， 分析納米碳管的直徑、 長度、 彎曲特性、 各向異性等特征參數(shù)的變化對納米碳管增強復(fù)合材料有效力學(xué)性能的影響.

1 三維有限元模型的構(gòu)建

首先對所建模型做以下基本假設(shè)： ① 納米碳管完全分散在陶瓷基體中； ② 納米碳管規(guī)則排列且取向一致； ③ 納米碳管和基體的界面結(jié)合完美,不考慮界面的滑移和脫粘等損傷； ④ 對直線型和余弦波型實心納米纖維和空心納米碳管增強復(fù)合材料， 只考慮復(fù)合材料的彈性性能， 不考慮塑性性能及殘余熱應(yīng)力的影響.

利用ANSYS有限元軟件建模分析， 采用三維實體結(jié)構(gòu)八節(jié)點SOLID45單元， 建立納米碳管為直線型空心模型， 如圖 1(a) 所示； 采用SOLID185單元建立納米碳管為余弦波型空心模型， 如圖 1(b) 所示. 計算時取全模型進行模擬. 陶瓷基體的長度為L， 橫截面是邊長為t的正方形， 納米碳管的長度為l， 納米碳管的外徑為d. 主要材料參數(shù)參照文獻[12]： 納米碳管的彈性模量Ef=700 GPa， 泊松比vf=0.23； 陶瓷基體的彈性模量Em=402 GPa， 泊松比vm=0.23.

圖 1 特征體積單元有限元網(wǎng)格圖Fig.1 FEM mesh of RVE

2 精確周期性邊界條件的均質(zhì)化法

[7]所述的多尺度均質(zhì)化法， 假設(shè)圖 2 所示為具有周期性微結(jié)構(gòu)的線彈性體，Ω為線彈性體的三維宏觀部分，Γ為Ω的邊界，Y為周期性胞元，SY為Y的邊界.

考慮攝動參數(shù)η， 宏觀體的位移可表示為

式中：x=(x1,x2,x3)代表宏觀坐標系，y=(y1,y2,y3)代表微觀坐標系， 其關(guān)系可由攝動參數(shù)表示為

一般的均質(zhì)化法假設(shè)

Y.

Y.

圖 2 宏微觀坐標Fig.2 Macro-microscopic coordinates

為了提高求解效率， 文獻[9]通過假設(shè)一個新的特征函數(shù)張量將方程(5)轉(zhuǎn)化為齊次方程

式中：δij為Kronecker函數(shù)

給定k(k=1,2,3)和pq(p,q=1,2,3)， 將式(7)代入式(5)， 簡化后得到的齊次方程為

因此， 根據(jù)式(4)和(10)可得到均質(zhì)化彈性常數(shù)為

Y.

根據(jù)圖 3 所示的一般特征體積胞元， 周期性邊界條件可以簡化為式(11)所示的3個拉伸和3個剪切和6個簡單變形.

圖 3 含任意周期性纖維的長方體胞元Fig.3 A rectangular parallelepiped unit cell

|face3=-a,

不考慮外力作用的影響， 僅在周期性邊界條件(11)作用下， 運用有限元方法求方程(9)的解， 進而利用式(10)求出復(fù)合材料的有效彈性模量， 該方法適用于任何形狀的特征體積單元.

3 有限元計算結(jié)果和討論

在ANSYS平臺構(gòu)建直線型和彎曲型實心和空心納米碳管增強陶瓷基復(fù)合材料的有限元模型， 利用第2節(jié)描述的具有精確周期性邊界條件的均質(zhì)化法， 結(jié)合自編FORTRAN后處理程序預(yù)測復(fù)合材料的有效力學(xué)性能.

3.1 納米碳管的直徑對復(fù)合材料有效力學(xué)性能的影響

首先分析直線型和彎曲型納米碳管直徑對陶瓷基復(fù)合材料有效力學(xué)性能的影響. 為檢驗用實心納米碳管代替空心納米碳管的可靠性， 同時計算了直線型實心納米碳管的有效力學(xué)性能. 假設(shè)基體與納米碳管均為各向同性材料， 基體長度為150 nm， 寬為30 nm， 納米碳管長度為120 nm， 空心納米碳管的壁厚取1 nm， 外徑分別取8,12,16,20,24 nm， 其它材料參數(shù)不變.

圖 4～圖 7 是各有效彈性模量在不同納米碳管直徑變化情況下的分布規(guī)律.

圖 4 不同形狀時縱向彈性模量與納米碳管外徑的關(guān)系Fig.4 Relationship between longitudinal Young’s mdulus and outside diameter of carbon nanotubes for different shapes

圖 4～圖 7 結(jié)果表明， 對于空心納米碳管， 隨著納米碳管外徑的增大， 直線型和彎曲型復(fù)合材料的有效模量均呈減小的趨勢， 納米碳管的形狀變化對縱向彈性模量的影響非常小， 對橫向彈性模量的影響較明顯， 在相同直徑情況下， 彎曲型空心納米碳管增強復(fù)合材料的橫向彈性模量比直線型納米碳管略大一些， 剪切彈性模量比直線型納米碳管小， 由此推斷納米碳管的彎曲程度基本不會降低納米碳管復(fù)合材料的有效剛度. 但對圖中所示實心納米碳管而言， 所有的有效模量變化趨勢正好與空心情況相反， 隨著納米碳管直徑的增大， 縱橫向有效彈性模量和有效剪切模量均呈非線性增大趨勢， 而有效泊松比則保持基本保持常數(shù). 主要原因在于納米碳管的空心結(jié)構(gòu)削弱了它的承載能力， 降低了它作為增強相的增強效果， 因而復(fù)合材料的有效剛度呈遞減趨勢， 可見， 簡單地用實心納米碳管代替空心納米碳管是不可行的.

圖 5 不同形狀時橫向彈性模量與納米碳管外徑的關(guān)系Fig.5 Relationship between transverse Young’s modulus and outside diameter of carbon nanotubes for different shapes

圖 6 不同形狀時縱向剪切模量與納米碳管外徑的關(guān)系Fig.6 Relationship between longitudinal shear modulus and outside diameter of carbon nanotubes for different shapes

圖 7 不同形狀時泊松比與納米碳管外徑的關(guān)系Fig.7 Relationship between Poisson’s ratio and outside diameter of carbon nanotubes for different shapes

由圖 7 還可以看出， 空心情況下， 直線型納米碳管增強復(fù)合材料的泊松比隨著納米碳管外徑的增大而顯著增大， 具有明顯的泊松效應(yīng)； 對于彎曲型納米碳管來說， 復(fù)合材料的泊松比隨著納米碳管外徑的增大而減小， 納米碳管的彎曲特性有利于減小橫向變形. 與空心情況相比， 實心納米碳管的密實特性對橫向變形具有限制作用， 因而泊松比幾乎保持常數(shù)不變， 顯然， 實心納米碳管會高估復(fù)合材料的橫向剛度.

3.2 納米碳管的材料性質(zhì)對復(fù)合材料有效力學(xué)性能的影響

考慮到納米碳管材料的非均勻性， 本文將納米碳管按照各向同性和各向異性兩種材料情況進行分析. 仍然將納米碳管分為直線型和彎曲型兩種類型， 基體視為各向同性材料， 基體的彈性模量Em=402 GPa， 泊松比vm=0.23； 納米碳管設(shè)為各向異性， 其彈性常數(shù)分別取為[7]：C11=457.6 GPa，C12=C13=8.4 GPa，C22=C33=14.3 GPa，C23=5.5 GPa，C44=C66=27.0 GPa，C55=4.4 GPa， 泊松比vf=0.42， 空心納米碳管長度為120 nm， 壁厚為1 nm， 外徑分別取8,12,16， 20， 24 nm， 其它材料參數(shù)不變. 計算所得各有效彈性模量與納米碳管外徑的關(guān)系如圖 8～圖 11 所示.

圖 8 不同材料性質(zhì)時縱向彈性模量與納米碳管外徑的關(guān)系Fig.8 Relationship between longitudinal Young’s modulus and outside diameter of carbon nanotubes for different material properties

由圖8～圖10可以看出， 隨著納米碳管外徑的增大， 復(fù)合材料的有效彈性模量和剪切模量仍然呈遞減趨勢， 與納米碳管為各向同性所得結(jié)果的變化規(guī)律基本保持一致， 但各向異性納米碳管會導(dǎo)致有效彈性模量下降速度更快， 由此可見， 忽略納米碳管的各向異性會導(dǎo)致過高估計復(fù)合材料的有效剛度.

圖 9 不同材料性質(zhì)時橫向彈性模量與納米碳管外徑的關(guān)系Fig.9 Relationship between transverse Young’s modulus and outside diameter of carbon nanotubes for different material properties

圖 10 不同材料性質(zhì)時縱向剪切模量與納米碳管外徑的關(guān)系Fig.10 Relationship between longitudinal shear modulus and outside diameter of carbon nanotubes for different material properties

圖 11 不同材料性質(zhì)時泊松比與納米碳管外徑的關(guān)系Fig.11 Relationship between Poisson’s ratio and outside diameter of carbon nanotubes for different material properties

由圖 11 的結(jié)果可以看出， 當(dāng)納米碳管為各向異性材料時， 無論是直線型還是彎曲型納米碳管增強復(fù)合材料的泊松比變化規(guī)律基本一致， 但數(shù)值上均比納米碳管為各向同性時大很多， 納米碳管的各向異性增大復(fù)合材料的泊松比， 會使橫向變形增大. 納米碳管為彎曲型時， 泊松比隨納米碳管外徑的增大略呈減小趨勢， 納米碳管為直線型時， 泊松比隨著納米碳管外徑的增大而緩慢增大， 納米碳管的彎曲有利于減小泊松效應(yīng).

3.3 納米碳管的長度對復(fù)合材料有效力學(xué)性能的影響

本節(jié)通過改變納米碳管的長度來研究其對復(fù)合材料有效力學(xué)性能的影響. 納米碳管外徑6 nm， 壁厚為1 nm， 長度取30, 60, 90, 120, 150 nm. 其它材料參數(shù)不變. 復(fù)合材料的有效力學(xué)性能隨直徑變化的變化曲線如圖 12～圖 15 所示.

圖 12 不同形狀時縱向彈性模量與納米碳管長度的關(guān)系Fig.12 Relationship between longitudinal Young’s modulus and outside diameter of carbon nanotubes for different shapes

圖 13 不同形狀時橫向彈性模量與納米碳管長度的關(guān)系Fig.13 Relationship between transverse Young’s modulus and outside diameter of carbon nanotubes for different shapes

由圖12～圖14的結(jié)果可以看出， 隨著納米碳管長度的增大， 空心納米碳管增強復(fù)合材料的縱向彈性模量均隨納米碳管長度的增大而減小， 彎曲型納米碳管情況的縱向彈性模量比直線型要大， 說明納米碳管的彎曲不會降低縱向彈性模量的大小； 橫向有效彈性模量與有效剪切模量隨納米碳管的增大緩慢增加， 彎曲型納米碳管增強復(fù)合材料的增大趨勢稍弱于直線型情況，彈性模量較直線型的要小，可見，納米碳管的彎曲程度會影響橫向有效彈性模量和有效剪切模量. 由圖15可知，隨著納米碳管長度的增大，實心納米碳管復(fù)合材料的泊松比的變化趨勢最為平穩(wěn)， 幾乎不隨長度改變， 彎曲型納米碳管復(fù)合材料的泊松比緩慢減小， 最顯著的變化是直線型空心納米碳管的泊松比隨納米碳管長度的增大線性增加， 這意味著隨著納米碳管長度的增加， 空心范圍擴大， 削弱了復(fù)合材料抵抗橫向變形的能力， 利用實心納米碳管代替空心納米碳管無法體現(xiàn)這種效應(yīng)， 而納米碳管的彎曲特性可能能夠有效緩解泊松效應(yīng).

圖 14 不同形狀時縱向剪切模量與納米碳管長度的關(guān)系Fig.14 Relationship between effective shear modulus and outside diameter of carbon nanotubes for different shapes

圖 15 不同形狀時泊松比與納米碳管長度的關(guān)系Fig.15 Relationship between Poisson’s ratio and outside diameter of carbon nanotubes for different shapes

4 結(jié) 論

通過ANSYS平臺構(gòu)建三維納米碳管增強復(fù)合材料模型， 利用雙尺度均質(zhì)化理論計算直線型和彎曲型的實心與空心納米碳管增強陶瓷基復(fù)合材料的有效力學(xué)性能. 得到如下主要結(jié)論：

1) 實心直線型納米碳管增強復(fù)合材料的有效泊松比為常數(shù)， 基本不體現(xiàn)材料的泊松效應(yīng)， 而有效彈性模量和剪切模量隨納米碳管長度和外徑的增加均高于空心納米碳管情況， 且呈完全相反的變化趨勢， 證明復(fù)合材料的有效剛度受增強相形狀的影響較為顯著， 實心納米碳管與空心納米碳管作為增強相具有不可替代性.

2) 隨著納米碳管長度和直徑的變化，直線型和彎曲型空心納米碳管增強復(fù)合材料的縱向有效彈性模量和有效泊松比變化幅度不大，納米碳管的彎曲程度主要降低橫向有效模量和有效剪切模量.

3) 各向異性納米碳管增強復(fù)合材料的有效力學(xué)性能明顯低于各向同性納米碳管增強復(fù)合材料情況， 用各向同性納米碳管代替各向異性納米碳管會過高估計復(fù)合材料的有效力學(xué)性能.

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Influence of the Characteristic of Lined and Waved Nano-Tube on Effective Mechanical Properties of Nano-Composites

SONG Rui-lan, LUO Dong-mei, XIE Yue, SU Xiao-ru

(Dept. of Civil Engineering, Foshan University, Foshan 528000, China)

The model of three dimensional representative volume element for ceramic matrix composites reinforced by the lined and waved nano-tube with solid and tubular cylinder was constituted on the ANSYS platform. The double scale asymptotic homogenization theory was used to calculate the effective mechanical properties of ceramic composites with nano-tube, and the influence of the geometrical shape and mechanical characteristic of nano-tube on effective stiffness of nano composites was analyzed. The result shows that the difference between the effective stiffness of nano composites reinforced with solid and tubular nano-tube is obvious and non-substitutable. Moreover, the anisotropy of the nanotube decreases the effective stiffness of nano-composites, and the effective stiffness is over-estimated when the nanotube is taken as the isotropic material. The transverse effective stiffness and shear stiffness of nano-composites are influenced obviously by the waved nano-tube. It is significant to predict the effective stiffness accurately by constituting a correct three dimensional model, and selecting the nano-tube with reasonable shape and size.

nano-tube；nano-composites；effective elastic constants；two-scale homogenization method

1673-3193(2016)06-0659-07

2015-12-11

國家自然科學(xué)基金資助項目(10772047/A020206,11172066/A020305)； 廣東省自然科學(xué)基金資助項目(S2011010004874)

宋瑞蘭(1987-)， 女， 碩士， 主要從事土木工程的研究.

羅冬梅(1965-)， 女， 教授， 博士， 主要從事納微米復(fù)合材料的力學(xué)性能研究.

O345

A

10.3969/j.issn.1673-3193.2016.06.018