高廣鑫，樊治平

東北大學(xué) 工商管理學(xué)院，沈陽 110167

考慮投標(biāo)者后悔的一級(jí)密封拍賣的最優(yōu)投標(biāo)策略

高廣鑫，樊治平

東北大學(xué) 工商管理學(xué)院，沈陽 110167

許多實(shí)驗(yàn)研究表明，投標(biāo)者在拍賣過程中表現(xiàn)出的預(yù)期后悔心理行為會(huì)對(duì)投標(biāo)策略產(chǎn)生影響，在這種情況下如何確定最優(yōu)投標(biāo)策略是一個(gè)值得關(guān)注的問題。

針對(duì)一級(jí)密封拍賣的最優(yōu)投標(biāo)策略確定問題，分別采用線性函數(shù)和非線性函數(shù)刻畫投標(biāo)者的獲勝者后悔和失敗者后悔心理行為，構(gòu)建非線性拍賣模型，通過模型求解分析最優(yōu)投標(biāo)策略；進(jìn)一步地，給出確定拍賣模型中描述投標(biāo)者后悔心理行為參數(shù)的實(shí)驗(yàn)方法，并通過一個(gè)關(guān)于SO2排污權(quán)拍賣的實(shí)例分析說明非線性拍賣模型及實(shí)驗(yàn)方法的可行性和潛在應(yīng)用。

研究結(jié)果表明，最優(yōu)投標(biāo)策略與投標(biāo)者價(jià)值和后悔行為有關(guān)；最優(yōu)投標(biāo)策略為獲勝者后悔參數(shù)的減函數(shù)，且為失敗者后悔參數(shù)的增函數(shù)；完全理性的最優(yōu)投標(biāo)策略是所得最優(yōu)投標(biāo)策略的特例；當(dāng)投標(biāo)者人數(shù)非常多時(shí)，完全理性的最優(yōu)投標(biāo)策略是報(bào)出自身的真實(shí)估價(jià)；在僅考慮投標(biāo)者獲勝后悔情形下，其最優(yōu)投標(biāo)策略與線性拍賣模型所得結(jié)果相同，且低于完全理性的最優(yōu)投標(biāo)策略；在僅考慮投標(biāo)者失敗后悔情形下，其最優(yōu)投標(biāo)策略高于完全理性的最優(yōu)投標(biāo)策略；與線性拍賣模型比較，由非線性拍賣模型得到的最優(yōu)投標(biāo)策略更接近于真實(shí)投標(biāo)報(bào)價(jià)。提出的非線性拍賣模型為解決現(xiàn)實(shí)拍賣中考慮投標(biāo)者心理行為的最優(yōu)投標(biāo)策略確定問題提供借鑒。

一級(jí)密封拍賣；預(yù)期后悔心理行為；非線性拍賣模型；投標(biāo)策略；實(shí)驗(yàn)方法

1 引言

在現(xiàn)實(shí)生活中，古董交易、農(nóng)畜產(chǎn)品買賣、礦產(chǎn)開采權(quán)轉(zhuǎn)讓等經(jīng)濟(jì)活動(dòng)大多是通過拍賣實(shí)現(xiàn)的[1]，此外，拍賣也常被用于定向購買商品或服務(wù)[2]。通常，拍賣有多種形式，如英式拍賣、荷式拍賣、一級(jí)密封拍賣和二級(jí)密封拍賣等[3]，不同拍賣形式下的投標(biāo)者價(jià)值、拍賣定價(jià)及配置效率均存在差異[4]。其中，一級(jí)密封拍賣是最為常見的拍賣形式[5]，是指投標(biāo)者以書面密封形式出價(jià)競(jìng)標(biāo)，且出價(jià)最高者以其報(bào)價(jià)獲取標(biāo)的物[6]。關(guān)于一級(jí)密封拍賣投標(biāo)策略的行為實(shí)驗(yàn)研究表明[7]，在拍賣過程中投標(biāo)者往往表現(xiàn)出預(yù)期后悔心理行為，并且投標(biāo)者的后悔心理行為會(huì)對(duì)投標(biāo)策略產(chǎn)生影響。因此，本研究在考慮投標(biāo)者預(yù)期后悔心理行為的情況下，通過構(gòu)建并求解考慮投標(biāo)者后悔心理行為的一級(jí)密封拍賣模型，對(duì)最優(yōu)投標(biāo)策略進(jìn)行分析，并給出確定拍賣模型中描述投標(biāo)者后悔心理行為的參數(shù)的實(shí)驗(yàn)方法。

2 相關(guān)研究評(píng)述

關(guān)于考慮投標(biāo)者后悔心理行為的一級(jí)密封拍賣問題的研究成果中，與本研究最直接相關(guān)的是ENGELBRECHT-WIGGANS et al.[7-8]針對(duì)一級(jí)密封拍賣中投標(biāo)者后悔心理行為對(duì)投標(biāo)策略影響的研究，他們認(rèn)為在現(xiàn)實(shí)拍賣中，出現(xiàn)偏離風(fēng)險(xiǎn)中性納什均衡投標(biāo)價(jià)(risk neutral Nash equilibrium, RNNE)的超投標(biāo)或低投標(biāo)現(xiàn)象是由投標(biāo)者的后悔心理行為引起的。ENGELBRECHT-WIGGANS[9]認(rèn)為在一級(jí)密封拍賣中，投標(biāo)者獲得的效用不僅依賴于其期望的貨幣收入，同時(shí)也依賴于獲勝者后悔和失敗者后悔兩方面的情感因素，也就是說投標(biāo)者的后悔心理行為將會(huì)對(duì)其投標(biāo)策略產(chǎn)生影響。通常情況下，當(dāng)投標(biāo)者對(duì)于獲勝者后悔敏感時(shí)會(huì)降低平均投標(biāo)價(jià)，而當(dāng)投標(biāo)者對(duì)于失敗者后悔更敏感時(shí)便會(huì)提高平均投標(biāo)價(jià)[8]。而FILIZ-OZBAY et al.[10]側(cè)重于研究預(yù)期失敗者后悔對(duì)于投標(biāo)策略的影響，認(rèn)為超投標(biāo)現(xiàn)象主要是由失敗者后悔導(dǎo)致的，而在投標(biāo)者獲勝的情形下，其一般不會(huì)預(yù)期后悔，并且不會(huì)出現(xiàn)明顯的低投標(biāo)現(xiàn)象。

此外，還有學(xué)者進(jìn)行投標(biāo)者后悔對(duì)投標(biāo)策略影響的實(shí)驗(yàn)研究。ENGELBRECHT-WIGGANS et al.[11]利用與后悔心理行為相關(guān)的反饋信息作為變化的實(shí)驗(yàn)條件，分析在不同實(shí)驗(yàn)條件下投標(biāo)者后悔與其投標(biāo)策略的關(guān)系；DU et al.[12]通過實(shí)驗(yàn)方法研究投標(biāo)者在投標(biāo)過程中預(yù)期后悔與實(shí)際經(jīng)歷的后悔之間的差異，分析預(yù)期后悔對(duì)投標(biāo)策略的影響，并得到預(yù)期后悔大于實(shí)際經(jīng)歷的后悔的結(jié)論；ASTOR et al.[13]從心理學(xué)的視角研究獲勝者和失敗者后悔，并通過心理學(xué)實(shí)驗(yàn)操縱投標(biāo)者情感進(jìn)程來驗(yàn)證ENGELBRECHT-WIGGANS et al.[8]研究工作中不同類型的后悔參數(shù)的準(zhǔn)確性。

綜上，已有研究解釋了在拍賣中出現(xiàn)的不等于RNNE的超投標(biāo)或低投標(biāo)等非理性現(xiàn)象，對(duì)考慮投標(biāo)者行為的一級(jí)密封拍賣的投標(biāo)策略研究做出了重要的貢獻(xiàn)。需要特別指出的是，ENGELBRECHT-WIGGANS et al.[8]是在投標(biāo)者對(duì)于后悔感知是風(fēng)險(xiǎn)中性的假設(shè)基礎(chǔ)上，通過采用線性函數(shù)刻畫投標(biāo)者的獲勝者后悔和失敗者后悔心理行為，并分析其對(duì)于投標(biāo)策略的影響，他們認(rèn)為次高價(jià)與投標(biāo)者獲勝價(jià)或獲勝價(jià)與投標(biāo)者價(jià)值的差值的增長(zhǎng)與投標(biāo)者后悔值的增長(zhǎng)均成等比關(guān)系。但是，已有研究表明[10]，在現(xiàn)實(shí)拍賣中，相對(duì)于投標(biāo)所獲得的期望效用，投標(biāo)者往往更關(guān)心自己是否獲勝，因此，其通常會(huì)事先預(yù)期失敗者后悔，而對(duì)于獲勝者后悔一般不會(huì)有所預(yù)期，且不會(huì)出現(xiàn)明顯的低投標(biāo)現(xiàn)象。也就是說，投標(biāo)者對(duì)于失敗者后悔是敏感的，而對(duì)于獲勝者后悔是相對(duì)不敏感的，這是由于獲勝者后悔影響的是投標(biāo)者獲得的期望效用大小，而失敗者后悔影響的則是投標(biāo)者的最終獲勝狀態(tài)[8]。進(jìn)一步地，投標(biāo)者認(rèn)為其對(duì)獲勝價(jià)與投標(biāo)者價(jià)值之間的差值愈大愈敏感[14]，即投標(biāo)者預(yù)期失敗者后悔值的變化程度要大于獲勝價(jià)與投標(biāo)者價(jià)值的差值的變化程度，在這種情況下，采用線性后悔函數(shù)刻畫投標(biāo)者的失敗者后悔行為是有局限性的。此外，在已有研究中，關(guān)于確定描述投標(biāo)者后悔心理行為參數(shù)的具體實(shí)驗(yàn)方法尚不多見。因此，有必要針對(duì)ENGELBRECHT-WIGGANS et al.[8]的工作進(jìn)行深入的擴(kuò)展研究。

基于上述分析，本研究進(jìn)一步研究針對(duì)考慮投標(biāo)者后悔心理行為情況下的一級(jí)密封拍賣的投標(biāo)策略確定問題，通過分別采用線性函數(shù)和非線性函數(shù)刻畫投標(biāo)者的獲勝者后悔和失敗者后悔心理行為，并通過構(gòu)建拍賣模型及模型求解，對(duì)最優(yōu)投標(biāo)策略進(jìn)行分析，同時(shí)給出確定拍賣模型中描述投標(biāo)者后悔心理行為的參數(shù)的實(shí)驗(yàn)方法。

3 問題描述

這里考慮不可分割的單物品一級(jí)密封拍賣最優(yōu)投標(biāo)策略確定問題。記A為參與投標(biāo)的n個(gè)投標(biāo)者的集合，A={A1,A2,…,An}，其中，Ai為第i個(gè)投標(biāo)者，且投標(biāo)者Ai與其他(n-1)個(gè)競(jìng)標(biāo)者同時(shí)參與投標(biāo)。令vi為投標(biāo)者Ai對(duì)標(biāo)的物的估價(jià)(即投標(biāo)者價(jià)值)，0≤vi≤1；bi為投標(biāo)者Ai針對(duì)標(biāo)的物的投標(biāo)價(jià)，且0≤bi≤vi，若投標(biāo)者Ai獲勝，則其收益為(vi-bi)。令v-i為除Ai外的其他(n-1)個(gè)競(jìng)標(biāo)者中的任一估價(jià)，b-i為除Ai外的其他(n-1)個(gè)競(jìng)標(biāo)者中任一估價(jià)的投標(biāo)價(jià)，v-i的分布函數(shù)為G(·)，z為其他(n-1)個(gè)競(jìng)標(biāo)者中針對(duì)標(biāo)的物的最高投標(biāo)價(jià)，假設(shè)z服從概率分布，其分布函數(shù)為F(·)，且密度函數(shù)為f(·)。

在做出決策時(shí)，人們通常會(huì)被一種反事實(shí)想法所困擾，即如果其選擇不同的決策方案，將可能會(huì)有更有利的結(jié)果，從而產(chǎn)生后悔的負(fù)面心理行為[15]。這里，考慮投標(biāo)過程中投標(biāo)者的兩種預(yù)期后悔心理行為，即獲勝者后悔行為[8]和失敗者后悔行為[16]，具體描述如下。

(1)獲勝者后悔。假設(shè)拍賣結(jié)束后，投標(biāo)者Ai不僅會(huì)得知獲勝狀態(tài)，當(dāng)其投標(biāo)獲勝時(shí)，還可以知道次高價(jià)信息。這種情況下，若該投標(biāo)者預(yù)期此次拍賣投標(biāo)獲勝，即P(bi>z)，則意味著投標(biāo)者Ai為了贏得標(biāo)的物將多支付(bi-z)個(gè)單位數(shù)量的貨幣。實(shí)際上，其只要出比z高最小單位數(shù)量的投標(biāo)價(jià)便可獲勝，并且支付將會(huì)減少。通過與次高價(jià)z比較得知，Ai會(huì)為可能多支付的不必要的貨幣而產(chǎn)生后悔預(yù)期，進(jìn)而在實(shí)際拍賣中，Ai便會(huì)相應(yīng)地降低投標(biāo)價(jià)，通過縮小與次高價(jià)之間的差距來增加自己的收益。

(2)失敗者后悔。假設(shè)拍賣結(jié)束后，投標(biāo)者Ai不僅會(huì)得知獲勝狀態(tài)，當(dāng)其投標(biāo)失敗時(shí)，還可以知道獲勝價(jià)信息。這種情況下，若該投標(biāo)者預(yù)期此次拍賣投標(biāo)失敗，且獲勝價(jià)是在其可承受的范圍內(nèi)，即P(bi

顯然，影響投標(biāo)者事前期望效用的因素體現(xiàn)在兩個(gè)方面，一個(gè)是投標(biāo)者獲勝的期望收益；另一個(gè)是投標(biāo)者的預(yù)期后悔感知，這里可能是獲勝者后悔或者是失敗者后悔。本研究要解決的問題是，在考慮影響投標(biāo)者事前期望效用的因素的情況下，如何構(gòu)建考慮投標(biāo)者后悔行為的一級(jí)密封拍賣模型，并通過模型求解確定最優(yōu)投標(biāo)策略。相應(yīng)地，還要考慮如何確定模型中的相關(guān)參數(shù)值。

4 拍賣模型

為了解決上述提及的問題，下面分別給出投標(biāo)者后悔心理行為刻畫、拍賣模型構(gòu)建以及最優(yōu)投標(biāo)策略確定的描述。

4.1 投標(biāo)者后悔心理行為刻畫

在實(shí)際拍賣過程中，投標(biāo)者并非是完全理性的[17]，其不僅關(guān)心獲勝的期望收益，而且關(guān)心選擇不同投標(biāo)策略時(shí)可能產(chǎn)生的相對(duì)效用，即投標(biāo)者預(yù)期后悔[18]。在這種不確定的決策環(huán)境下，相對(duì)效用值通?？梢酝ㄟ^不同方案之間的比較來測(cè)量[19]，即投標(biāo)者在投標(biāo)獲勝時(shí)的投標(biāo)價(jià)與可能的次高價(jià)之間的差值，或者其投標(biāo)失敗時(shí)的投標(biāo)者價(jià)值與可能的獲勝價(jià)之間的差值。為了便于分析，下面給出投標(biāo)者Ai的獲勝者后悔函數(shù)RW(ΔvW)和失敗者后悔函數(shù)RL(ΔvL)構(gòu)建過程的描述。

由上述獲勝者后悔行為和失敗者后悔行為的描述可知，獲勝者后悔將對(duì)投標(biāo)者獲得的期望效用大小產(chǎn)生影響，而失敗者后悔將對(duì)投標(biāo)者的最終獲勝狀態(tài)產(chǎn)生影響[8]。在現(xiàn)實(shí)拍賣中，投標(biāo)者通常更關(guān)注于自己的獲勝狀態(tài)，也就是說，相對(duì)失敗者后悔而言，投標(biāo)者對(duì)獲勝者后悔的預(yù)期感知并不敏感[10]。因此，這里考慮采用已有的線性后悔函數(shù)刻畫投標(biāo)者的獲勝者后悔心理行為[7]，即

RW(ΔvW)=αΔvW

ΔvW=z-bi

其中，ΔvW為次高價(jià)與投標(biāo)者獲勝價(jià)的差值，且ΔvW≤0；α為投標(biāo)者獲勝的后悔參數(shù)，0≤α≤1，且α越大，表示投標(biāo)者預(yù)期的獲勝者后悔程度越大。

RL(ΔvL)=1-exp(-βΔvL)

ΔvL=z-vi

其中，β為投標(biāo)者失敗的后悔參數(shù)，0≤β≤1，且β越大，表示投標(biāo)者預(yù)期的失敗者后悔程度越大[25]。失敗者后悔函數(shù)RL(ΔvL)的示意圖見圖1，由圖1可知，隨著β值的增大，|RL(ΔvL)|也隨之增大，且|RL(ΔvL)|增大的變化比例明顯大于|ΔvL|增大的變化比例。

圖1 失敗者后悔函數(shù)RL(ΔvL)Figure 1 The Loser′s Regret Function RL(ΔvL)

4.2 拍賣模型構(gòu)建

為了構(gòu)建考慮投標(biāo)者后悔行為的一級(jí)密封拍賣模型，做出如下假設(shè)。

假設(shè)1 拍賣者不設(shè)置保留價(jià)；

假設(shè)2 在拍賣過程中，投標(biāo)者Ai存在預(yù)期后悔心理行為，且其對(duì)于獲勝者后悔是風(fēng)險(xiǎn)中性的，而對(duì)于失敗者后悔是風(fēng)險(xiǎn)敏感的[10]，除Ai外的其他(n-1)個(gè)競(jìng)標(biāo)者是風(fēng)險(xiǎn)中性的[26]；

假設(shè)3 投標(biāo)者Ai預(yù)期后悔心理行為對(duì)其事前期望效用的影響與后悔值的大小成反比，即在投標(biāo)者獲勝收益一定時(shí)，后悔值越大，則投標(biāo)者的事前期望效用越小，反之亦然；

假設(shè)4 除Ai外的其他(n-1)個(gè)競(jìng)標(biāo)者的估價(jià)被視為私人信息，且相互獨(dú)立。同時(shí)，估價(jià)是對(duì)稱的，即其他(n-1)個(gè)競(jìng)標(biāo)者的估價(jià)在某一區(qū)間內(nèi)服從同一概率分布，其分布函數(shù)記為G(·)。

這里需要指出的是，依據(jù)經(jīng)典拍賣理論可知[27]，假設(shè)1與傳統(tǒng)拍賣假設(shè)一致；一級(jí)密封拍賣的行為實(shí)驗(yàn)表明[7]，投標(biāo)者在投標(biāo)過程中存在后悔心理行為，并且相對(duì)于獲勝者后悔，投標(biāo)者對(duì)于失敗者后悔更敏感，依據(jù)實(shí)際投標(biāo)情況可知，假設(shè)3意味著投標(biāo)者的期望效用與自身的后悔心理行為有關(guān)，因此假設(shè)2和假設(shè)3是合理的；某些拍賣物品并不存在確定的價(jià)值(如式樣唯一的手工藝品)，其對(duì)每個(gè)投標(biāo)者的價(jià)值都不相同，投標(biāo)者的報(bào)價(jià)只依賴于自身對(duì)于此拍賣物品的估價(jià)[28]，因此假設(shè)4不僅滿足獨(dú)立私人估價(jià)條件，而且符合拍賣實(shí)際。

F(bi)]

i=1,2,…,n

(1)

進(jìn)一步地，(1)式可以被簡(jiǎn)化為

(2)

(2)式就是本研究建立的考慮投標(biāo)者后悔心理行為的一級(jí)密封拍賣模型。在模型(2)式中，分布函數(shù)F(z)與其他(n-1)個(gè)競(jìng)標(biāo)者的估價(jià)分布函數(shù)G(v-i)相關(guān)，在關(guān)于最優(yōu)投標(biāo)策略的研究中，通常假設(shè)v-i服從[0,1]范圍內(nèi)的均勻分布[8]，即G(v-i)=v-i。在一級(jí)密封拍賣環(huán)境下，每個(gè)投標(biāo)者僅根據(jù)自己的私人信息對(duì)拍賣品進(jìn)行估價(jià)，與其他競(jìng)標(biāo)者的私人信息無關(guān)，因此，有限個(gè)投標(biāo)者的估價(jià)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)擁有相同的概率，即假設(shè)其他(n-1)個(gè)競(jìng)標(biāo)者的估價(jià)服從均勻分布符合拍賣實(shí)際。此外，投標(biāo)價(jià)與估價(jià)(投標(biāo)者價(jià)值)之間存在增函數(shù)關(guān)系[29]，為了便于分析，這里考慮其他(n-1)個(gè)競(jìng)標(biāo)者的投標(biāo)價(jià)b-i與v-i之間呈線性正比關(guān)系，令θ為相關(guān)性系數(shù)，則存在b-i(v-i)=θv-i，顯然b-i(v-i)∈[0,θ]。若記x為n個(gè)投標(biāo)者中的任一投標(biāo)價(jià)，則關(guān)于x的分布函數(shù)F(x)可以寫成

F(x)=P(z≤x)=P(θv-i≤x)n-1

(3)

4.3 最優(yōu)投標(biāo)策略確定

針對(duì)模型(2)式，可以確定最優(yōu)投標(biāo)策略，即貝葉斯-納什均衡投標(biāo)策略[30]，為此，有如下結(jié)論。

證明：依據(jù)bi的取值范圍，下面就3種情況分別討論投標(biāo)者Ai的最優(yōu)投標(biāo)策略。

(1)當(dāng)bi≤0時(shí)，意味著其他(n-1)個(gè)投標(biāo)者給出的投標(biāo)價(jià)均不低于投標(biāo)者Ai的投標(biāo)價(jià)，即投標(biāo)者Ai投標(biāo)失敗，則Ai的獲勝概率為0，因此，Ai在投標(biāo)前僅能感知到失敗者后悔。在這種情況下，由(2)式表示的投標(biāo)者Ai期望效用可變?yōu)?/p>

(4)

由(4)式可知，期望效用與投標(biāo)價(jià)bi無關(guān)，且在現(xiàn)實(shí)中bi是非負(fù)的，因此可將bi=0視為期望效用最大化時(shí)的投標(biāo)價(jià)，即投標(biāo)者Ai選擇不參與競(jìng)拍是占優(yōu)策略。

(2)當(dāng)bi≥1時(shí)，意味著投標(biāo)者Ai給出的投標(biāo)價(jià)大于或等于其他(n-1)個(gè)投標(biāo)者所給出的投標(biāo)價(jià)，即投標(biāo)者Ai獲勝，則Ai的獲勝概率為1，其投標(biāo)獲勝收益為(vi-bi)，因此，投標(biāo)者Ai在投標(biāo)前會(huì)產(chǎn)生獲勝者后悔預(yù)期。在這種情況下，由(2)式表示的投標(biāo)者Ai期望效用可變?yōu)?/p>

(5)

若將(3)式代入(5)式，則(5)式可變?yōu)?/p>

(6)

(3)當(dāng)bi∈(0,1)時(shí)，意味著投標(biāo)者Ai投標(biāo)可能獲勝也可能失敗，在這種情況下，投標(biāo)者Ai的期望效用是由(2)式所表述的。若將(3)式代入(2)式，Ai的期望效用函數(shù)可表示為

vi)]}zn-2dz

(7)

(8)

為方便起見，(8)式可以寫成

(9)

(10)

由(10)式可推導(dǎo)出：當(dāng)如下不等式

(11)

根據(jù)定理1，可得到如下5個(gè)推論。

推論1 投標(biāo)者的最優(yōu)投標(biāo)策略為獲勝者后悔參數(shù)α的減函數(shù)，且為失敗者后悔參數(shù)β的增函數(shù)。

針對(duì)(8)式兩邊分別對(duì)α求導(dǎo)，可得

故投標(biāo)者的最優(yōu)投標(biāo)價(jià)為獲勝者后悔參數(shù)的減函數(shù)。

類似地，針對(duì)(8)式兩邊分別對(duì)β求導(dǎo)，可得

故投標(biāo)者的最優(yōu)投標(biāo)價(jià)為失敗者后悔參數(shù)的增函數(shù)。證畢。

推論2 當(dāng)bi∈(0,1)時(shí)，由(8)式可以看出，投標(biāo)者Ai關(guān)于最優(yōu)投標(biāo)策略bi的確定不僅與投標(biāo)者價(jià)值vi有關(guān)，而且與描述投標(biāo)者心理行為的后悔參數(shù)α和β有關(guān)。

推論3 在考慮投標(biāo)者是完全理性的情況下，即投標(biāo)者后悔值R(Δv)=0(α=β=0)，由(8)式可知投標(biāo)者Ai的最優(yōu)投標(biāo)策略為

這一結(jié)果與VICKREY[27]得到的風(fēng)險(xiǎn)中性納什均衡投標(biāo)策略(RNNE)相同，推論3意味著本研究的拍賣模型能夠推廣到完全理性的假設(shè)條件下，即完全理性投標(biāo)策略是考慮后悔行為的投標(biāo)策略的特例。

5 拍賣模型中后悔參數(shù)確定的實(shí)驗(yàn)方法

由(8)式可以看出，后悔參數(shù)α和β對(duì)最優(yōu)投標(biāo)策略是有影響的，并且后悔參數(shù)的確定取決于投標(biāo)者的投標(biāo)者價(jià)值和投標(biāo)價(jià)。在投標(biāo)者價(jià)值既定的情況下，投標(biāo)者的投標(biāo)價(jià)通?？梢酝ㄟ^實(shí)驗(yàn)方法來確定[31]。因此，為了確定后悔參數(shù)，這里給出獲取投標(biāo)者投標(biāo)價(jià)的實(shí)驗(yàn)方法，該實(shí)驗(yàn)方法是一個(gè)拍賣模擬實(shí)驗(yàn)方法。為了進(jìn)行拍賣模擬實(shí)驗(yàn)，可事先運(yùn)用面向?qū)ο蟮某绦蛟O(shè)計(jì)開發(fā)一級(jí)密封拍賣系統(tǒng)[32]。在完成系統(tǒng)開發(fā)后，讓參與實(shí)驗(yàn)的被試使用該系統(tǒng)進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn)。具體地，參與實(shí)驗(yàn)的被試進(jìn)入實(shí)驗(yàn)室后首先領(lǐng)取實(shí)驗(yàn)說明，并根據(jù)隨機(jī)分配的計(jì)算機(jī)編號(hào)，找到相應(yīng)機(jī)位以等待實(shí)驗(yàn)的進(jìn)行。每個(gè)被試登陸系統(tǒng)后需在計(jì)算機(jī)上獨(dú)立完成所有操作，在實(shí)驗(yàn)過程中，將采用真實(shí)的貨幣激勵(lì)方式，付給被試一定的出場(chǎng)費(fèi)；此外，如果被試嚴(yán)格按照實(shí)驗(yàn)要求進(jìn)行投標(biāo)且所提供數(shù)據(jù)均為有效數(shù)據(jù)，那么其還將會(huì)獲得額外獎(jiǎng)勵(lì)。實(shí)驗(yàn)方法由被試、實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)、實(shí)驗(yàn)程序等3個(gè)部分組成，下面分別對(duì)這3個(gè)部分給予說明。

5.1 被試

以某一個(gè)特定的物品作為拍賣標(biāo)的物進(jìn)行一級(jí)密封拍賣的模擬實(shí)驗(yàn)，該模擬實(shí)驗(yàn)由一名實(shí)驗(yàn)組織者或?qū)嶒?yàn)操作者組織完成。在實(shí)驗(yàn)過程中，選取40名被試參與模擬拍賣實(shí)驗(yàn)，并要求被試事先了解拍賣和投標(biāo)的相關(guān)知識(shí)，并熟悉該標(biāo)的物的拍賣過程。

5.2 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

本研究的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)參照ENGELBRECHT-WIGGANS et al.[8]針對(duì)考慮投標(biāo)者心理行為的投標(biāo)策略研究中給出的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，依據(jù)實(shí)驗(yàn)組織者對(duì)被試提供或不提供獲勝者和失敗者后悔反饋信息，設(shè)計(jì)如下4種實(shí)驗(yàn)條件。

實(shí)驗(yàn)條件1 拍賣組織者對(duì)被試不提供其投標(biāo)獲勝時(shí)的次高價(jià)信息和投標(biāo)失敗時(shí)的獲勝價(jià)信息；

實(shí)驗(yàn)條件2 拍賣組織者對(duì)被試提供其投標(biāo)獲勝時(shí)的次高價(jià)信息，不提供其投標(biāo)失敗時(shí)的獲勝價(jià)信息；

實(shí)驗(yàn)條件3 拍賣組織者對(duì)被試提供其投標(biāo)失敗時(shí)的獲勝價(jià)信息，不提供其投標(biāo)獲勝時(shí)的次高價(jià)信息；

實(shí)驗(yàn)條件4 拍賣組織者對(duì)被試提供其投標(biāo)獲勝時(shí)的次高價(jià)信息和投標(biāo)失敗時(shí)的獲勝價(jià)信息。

針對(duì)上述每個(gè)實(shí)驗(yàn)條件，均要求隨機(jī)選擇10個(gè)被試參與拍賣模擬實(shí)驗(yàn)，且每個(gè)被試僅在一種實(shí)驗(yàn)條件下進(jìn)行拍賣模擬實(shí)驗(yàn)。

5.3 實(shí)驗(yàn)程序

實(shí)驗(yàn)程序主要由實(shí)驗(yàn)操作和參數(shù)確定兩部分組成，實(shí)驗(yàn)操作是指拍賣模擬實(shí)驗(yàn)的具體操作要求和實(shí)驗(yàn)過程，參數(shù)確定是指依據(jù)通過實(shí)驗(yàn)獲取的數(shù)據(jù)并運(yùn)用計(jì)算公式來確定具體的后悔參數(shù)值。

5.3.1 實(shí)驗(yàn)操作

在實(shí)驗(yàn)前，事先設(shè)定5個(gè)較大的投標(biāo)者價(jià)值取值水平(如50、60、70、80、90，這里投標(biāo)者價(jià)值的最大取值設(shè)定為100)。實(shí)驗(yàn)中，要求每個(gè)被試在每個(gè)設(shè)定的投標(biāo)者價(jià)值取值水平下，依據(jù)自身對(duì)標(biāo)的物的心理出價(jià)水平重復(fù)投標(biāo)20次，但要求被試的出價(jià)水平不能高于設(shè)定的投標(biāo)者價(jià)值，這樣，一個(gè)被試共需要進(jìn)行100次投標(biāo)出價(jià)決策；在每一次投標(biāo)過程中，設(shè)計(jì)每個(gè)被試與兩個(gè)計(jì)算機(jī)模擬投標(biāo)者競(jìng)標(biāo)(即n=3)，實(shí)驗(yàn)組織者將告知被試，計(jì)算機(jī)模擬投標(biāo)者采取的是使其預(yù)期收益最大化的投標(biāo)策略(即納什均衡投標(biāo)策略)，但具體投標(biāo)價(jià)對(duì)于被試是未知的，從而為所有被試創(chuàng)造一個(gè)相同的信息環(huán)境。本實(shí)驗(yàn)為被試提供了一個(gè)大量拍賣的環(huán)境，這樣能使被試進(jìn)一步理解自身投標(biāo)決策對(duì)拍賣結(jié)果的影響，從而在進(jìn)行每次投標(biāo)出價(jià)決策之前會(huì)更加慎重，同時(shí)通過重復(fù)實(shí)驗(yàn)也能夠使被試加速學(xué)習(xí)。下面給出實(shí)驗(yàn)操作中的兩點(diǎn)說明。

(1)實(shí)驗(yàn)前事先設(shè)定5個(gè)較大投標(biāo)者價(jià)值取值水平的原因在于：一方面，拍賣中投標(biāo)獲勝者通常具有較大投標(biāo)者價(jià)值，通過設(shè)定較大的投標(biāo)者價(jià)值，能夠更加明確后悔心理行為對(duì)拍賣結(jié)果的影響；另一方面，具有較小投標(biāo)者價(jià)值的投標(biāo)者，通常意味著其投標(biāo)價(jià)也相對(duì)較低，這樣其投標(biāo)獲勝的概率就會(huì)較小，繼而一些投標(biāo)者將不認(rèn)真進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，從而對(duì)實(shí)驗(yàn)產(chǎn)生干擾數(shù)據(jù)。因此，設(shè)定較大的投標(biāo)者價(jià)值能夠很好地避免干擾數(shù)據(jù)的產(chǎn)生。

(2)實(shí)驗(yàn)中，設(shè)計(jì)每個(gè)被試與兩個(gè)計(jì)算機(jī)模擬的競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手競(jìng)標(biāo)的原因在于：首先，是能夠有效消除其他外源變量(如相互勾結(jié)、圍標(biāo)等)的影響；其次，利用計(jì)算機(jī)模擬投標(biāo)者能夠滿足與被試競(jìng)標(biāo)的其他投標(biāo)者是風(fēng)險(xiǎn)中性和獨(dú)立估價(jià)的假設(shè)。

5.3.2 后悔參數(shù)確定

(12)

(13)

6 實(shí)例分析

為了說明上文給出的考慮投標(biāo)者后悔心理行為的一級(jí)密封拍賣最優(yōu)投標(biāo)策略確定方法，這里給出確定SO2排污權(quán)拍賣的最優(yōu)投標(biāo)策略的一個(gè)實(shí)例。

SO2排污權(quán)交易或拍賣在中國的發(fā)展還處于起步階段[33]，排污權(quán)拍賣是應(yīng)用經(jīng)濟(jì)手段優(yōu)化環(huán)境容量資源配置、控制環(huán)境污染的一種新型的環(huán)境政策[34]，是控制企業(yè)排污量、預(yù)防環(huán)境污染的一種有效措施[35]。在排污權(quán)交易中，政府環(huán)境監(jiān)管部門依據(jù)對(duì)環(huán)境的監(jiān)測(cè)和環(huán)境質(zhì)量目標(biāo)，推算出環(huán)境允許污染物的最大排放量，并將最大排放量劃分為若干規(guī)定的排放量，通常稱為若干的排污權(quán)，政府可將一定比例的排污權(quán)進(jìn)行拍賣交易[36]，而不同的企業(yè)可根據(jù)自身實(shí)際利益和對(duì)環(huán)境的污染程度決定是否買入相應(yīng)的排污權(quán)[37]。由于企業(yè)對(duì)于排污權(quán)的估價(jià)是與自身的治污能力相關(guān)的，所以不同企業(yè)對(duì)于排污權(quán)的估價(jià)和出價(jià)是不同且相互獨(dú)立的，并且每個(gè)企業(yè)是密封投標(biāo)的，因此可將此種交易機(jī)制視為一種一級(jí)密封拍賣交易機(jī)制。這里，考慮中國東北地區(qū)S市政府?dāng)M將SO2排污權(quán)按一級(jí)密封價(jià)格拍賣方式向該地區(qū)的n個(gè)廠商進(jìn)行暗標(biāo)拍賣，即要求各廠商根據(jù)自身對(duì)于排污權(quán)的估價(jià)將其報(bào)價(jià)寫下來裝入信封，以密封的形式交給政府，最高投標(biāo)價(jià)者將獲得排污權(quán)并支付其投標(biāo)價(jià)。環(huán)境監(jiān)管部門在對(duì)S市SO2排污權(quán)交易市場(chǎng)調(diào)查研究后，發(fā)現(xiàn)共有15個(gè)廠商準(zhǔn)備參與投標(biāo)。假設(shè)廠商(投標(biāo)者)Ai以外的其他14個(gè)廠商對(duì)排污權(quán)估價(jià)的累積分布函數(shù)為G(v-i)=v-i，投標(biāo)價(jià)范圍為[0,1](單位：10萬元/噸)；投標(biāo)者Ai對(duì)于排污權(quán)的估價(jià)為0.800/10萬元/噸。這里，考慮如何確定投標(biāo)者Ai的最優(yōu)投標(biāo)策略，首先進(jìn)行投標(biāo)者的后悔參數(shù)的確定，然后通過求解拍賣模型確定最優(yōu)投標(biāo)策略。

6.1 后悔參數(shù)的確定

根據(jù)上文給出確定后悔參數(shù)的實(shí)驗(yàn)方法，這里針對(duì)SO2排污權(quán)拍賣為實(shí)際背景進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn)，以便確定影響SO2排污權(quán)拍賣最優(yōu)投標(biāo)策略的后悔參數(shù)值。下面簡(jiǎn)要給出模擬實(shí)驗(yàn)的相關(guān)說明。

(1)實(shí)驗(yàn)環(huán)境

在實(shí)驗(yàn)之前，通過雅奇MIS設(shè)計(jì)開發(fā)了專用的一級(jí)密封拍賣系統(tǒng)[38]，利用Access 2003存儲(chǔ)數(shù)據(jù)。本次實(shí)驗(yàn)在東北大學(xué)工商管理學(xué)院實(shí)驗(yàn)室進(jìn)行，被試為40人，均為該學(xué)院管理科學(xué)與工程專業(yè)的博士研究生和碩士研究生，男生22人，女生18人，年齡在22歲～27歲之間(M=23.760，SD=1.360)。被試進(jìn)入實(shí)驗(yàn)室后首先領(lǐng)取實(shí)驗(yàn)說明(見附錄A)，并根據(jù)隨機(jī)分配的計(jì)算機(jī)編號(hào)找到相應(yīng)機(jī)位，然后按照實(shí)驗(yàn)說明在一級(jí)密封拍賣系統(tǒng)中獨(dú)立進(jìn)行拍賣模擬實(shí)驗(yàn)。

(2)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析

利用最小二乘法[39]分析可知，在提供獲勝者后悔反饋信息條件下平均投標(biāo)價(jià)隨時(shí)間而降低(p值為0.001)，在提供失敗者后悔反饋信息條件下平均投標(biāo)價(jià)隨時(shí)間升高(p值為0.005)；然而，在其他實(shí)驗(yàn)條件下則不會(huì)出現(xiàn)這種情況，可見重復(fù)實(shí)驗(yàn)的過程也是被試逐漸學(xué)習(xí)的過程。

依據(jù)上文給出參數(shù)確定中的數(shù)據(jù)處理方法，將不同實(shí)驗(yàn)條件下被試的投標(biāo)價(jià)進(jìn)行均值規(guī)范化處理，結(jié)果見表1。由表1可知，在4種實(shí)驗(yàn)條件下，提供兩種后悔反饋信息實(shí)驗(yàn)條件下的平均投標(biāo)價(jià)低于提供失敗者后悔反饋信息條件下的平均投標(biāo)價(jià)，且高于提供獲勝者后悔反饋信息條件下的平均投標(biāo)價(jià)；類似地，不提供后悔反饋信息實(shí)驗(yàn)條件下的平均投標(biāo)價(jià)同樣低于提供失敗者后悔反饋信息條件下的平均投標(biāo)價(jià)，且高于提供獲勝者后悔反饋信息條件下的平均投標(biāo)價(jià)。

圖2 在4種實(shí)驗(yàn)條件下相同投標(biāo)者價(jià)值水平時(shí)的投標(biāo)價(jià)與投標(biāo)者價(jià)值比值的均值Figure 2 Average Bid Prices in Line with the Same Bidder′s Value under Four Different Experimental Conditions

表1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的規(guī)范化處理結(jié)果Table 1 Normalization Treatment Results of the Experiment Data

在拍賣模擬實(shí)驗(yàn)過程中，一些被試認(rèn)為，除非他們獲勝，否則他們將不會(huì)獲得任何收益，而另一些被試則從獲勝概率的角度認(rèn)為低的投標(biāo)價(jià)可能會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)失一個(gè)以合適的價(jià)格贏得標(biāo)的物的良好機(jī)會(huì)，但幾乎很少有人在實(shí)驗(yàn)中會(huì)預(yù)期獲勝者后悔的概率。因此，可以看出被試趨向于考慮失敗者后悔，直到被試經(jīng)歷了很多次投標(biāo)以后才會(huì)趨向于考慮獲勝者后悔，所以投標(biāo)者在提供獲勝者后悔反饋信息條件下將會(huì)隨著時(shí)間的推移降低投標(biāo)價(jià)。同時(shí)，投標(biāo)者在提供失敗者后悔反饋信息條件下也會(huì)隨著時(shí)間的推移提高投標(biāo)價(jià)。通過圖2和表1可以看出，在提供獲勝者后悔反饋信息和提供失敗者后悔反饋信息兩種實(shí)驗(yàn)條件下投標(biāo)價(jià)確實(shí)按著預(yù)期的方向發(fā)展。但是，如果獲勝者后悔反饋信息隨著時(shí)間推移有更強(qiáng)的影響作用，那么在提供兩種后悔反饋信息實(shí)驗(yàn)條件下投標(biāo)價(jià)則會(huì)隨著時(shí)間降低，但沒有在單純提供獲勝者后悔反饋信息實(shí)驗(yàn)條件下降低的多。

已有研究中，F(xiàn)ILIZ-OZBAY et al.[10]認(rèn)為投標(biāo)者在投標(biāo)之前一般會(huì)預(yù)測(cè)失敗者后悔，而對(duì)于獲勝者后悔一般不會(huì)預(yù)測(cè)，也不會(huì)出現(xiàn)明顯的低投標(biāo)現(xiàn)象。這一結(jié)論與本研究上述實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析結(jié)果相一致，即被試在實(shí)驗(yàn)中更趨向于考慮失敗者后悔，直到被試經(jīng)歷了很多次實(shí)驗(yàn)以后才會(huì)趨向于考慮獲勝者后悔。因此，為了便于分析和計(jì)算，這里設(shè)定在不提供后悔反饋信息條件下，α=0；將處理后的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)代入(13)式可得，在不提供后悔反饋信息條件下，β=0.157。α=0的含義是投標(biāo)者在不能獲取與后悔相關(guān)的反饋信息情況下，其不會(huì)預(yù)期獲勝者后悔；β=0.157的含義是投標(biāo)者在這種實(shí)驗(yàn)條件下會(huì)對(duì)失敗者后悔有所預(yù)期，且后悔感知程度較小。該參數(shù)估計(jì)值對(duì)制定投標(biāo)策略的影響是，投標(biāo)者在這種信息條件下會(huì)在一定程度上提高實(shí)際投標(biāo)價(jià)。特別地，在提供失敗者后悔反饋信息條件下，β′為投標(biāo)者失敗時(shí)的后悔參數(shù)，β′=0.549，其含義是投標(biāo)者在可以得知投標(biāo)的獲勝價(jià)情況下，會(huì)對(duì)失敗者后悔有比較高的心理預(yù)期。該參數(shù)估計(jì)值對(duì)制定投標(biāo)策略的影響是，投標(biāo)者在這種信息條件下會(huì)顯著提高實(shí)際投標(biāo)價(jià)。類似地，依據(jù)(12)式可計(jì)算得到在提供獲勝者后悔反饋信息條件下，α′為投標(biāo)者獲勝時(shí)的后悔參數(shù)，α′=0.216，其含義是投標(biāo)者在可以得知投標(biāo)的次高價(jià)情況下，會(huì)對(duì)獲勝者后悔有一定的心理預(yù)期。該參數(shù)估計(jì)值對(duì)制定投標(biāo)策略的影響是，投標(biāo)者在這種信息條件下會(huì)在一定程度上降低實(shí)際投標(biāo)價(jià)。

6.2 參數(shù)分析

6.3 最優(yōu)投標(biāo)策略的確定

通過本研究實(shí)驗(yàn)分析可知，在考慮拍賣者是否對(duì)投標(biāo)者提供獲勝者后悔反饋信息的情況下，投標(biāo)者獲勝時(shí)的后悔參數(shù)值不同；類似地，在是否為投標(biāo)者提供失敗者后悔反饋信息的情況下，投標(biāo)者失敗時(shí)的后悔參數(shù)值也是不同的。因此，針對(duì)本節(jié)給出的實(shí)例，將從提供4種不同反饋信息的拍賣機(jī)制角度進(jìn)行分析計(jì)算。

(1)拍賣結(jié)束后，拍賣者對(duì)投標(biāo)者除提供獲勝狀態(tài)外同時(shí)提供失敗時(shí)的獲勝價(jià)和投標(biāo)者獲勝時(shí)的次高價(jià)信息(即向投標(biāo)者提供兩種后悔反饋信息)，這時(shí)投標(biāo)者Ai的事前期望效用為

(14)

此時(shí)，投標(biāo)者的最優(yōu)投標(biāo)策略為

(15)

(2)拍賣結(jié)束后，拍賣者對(duì)投標(biāo)者除提供獲勝狀態(tài)外同時(shí)提供投標(biāo)者獲勝時(shí)的次高價(jià)信息(即向投標(biāo)者提供獲勝者后悔反饋信息)，這時(shí)投標(biāo)者Ai的事前期望效用為

表2 針對(duì)不同實(shí)驗(yàn)條件和參數(shù)取值水平的非線性投標(biāo)模型和線性投標(biāo)模型的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比分析Table 2 The Comparative Analysis of the Non-linear and Linear Auction Model under Different Experimental Conditions and Parameter

注：相對(duì)獲勝者后悔，投標(biāo)者在拍賣中對(duì)失敗者后悔更加敏感，在同一實(shí)驗(yàn)條件下參數(shù)取值設(shè)置為α≤β，參照已有研究和本研究實(shí)驗(yàn)得到的后悔參數(shù)值，設(shè)置獲勝者后悔參數(shù)α(α′)和失敗者后悔參數(shù)β(β′)分別以0.100為步長(zhǎng)從0.000增加到0.500進(jìn)行靈敏度分析。

(16)

此時(shí)，投標(biāo)者的最優(yōu)投標(biāo)策略為

(17)

(3)拍賣結(jié)束后，拍賣者對(duì)投標(biāo)者除提供獲勝狀態(tài)外同時(shí)提供投標(biāo)者失敗時(shí)的獲勝價(jià)信息(即向投標(biāo)者提供失敗者后悔反饋信息)，這時(shí)投標(biāo)者Ai的事前期望效用為

(18)

此時(shí)，投標(biāo)者的最優(yōu)投標(biāo)策略為

(19)

從上述提供不同反饋信息的結(jié)果中可以看出，當(dāng)提供與失敗者后悔相關(guān)的獲勝價(jià)信息時(shí)，投標(biāo)者的最優(yōu)投標(biāo)價(jià)為7.660萬元/噸，其投標(biāo)價(jià)是最高的；當(dāng)提供與獲勝者后悔相關(guān)的次高投標(biāo)價(jià)信息時(shí)，投標(biāo)者的最優(yōu)投標(biāo)價(jià)為7.440萬元/噸，其投標(biāo)價(jià)是最低的；而同時(shí)提供與獲勝者后悔相關(guān)的次高價(jià)和與失敗者后悔相關(guān)的獲勝價(jià)信息時(shí)，其投標(biāo)價(jià)介于上述兩個(gè)結(jié)果之間，為7.590萬元/噸；拍賣之后不提供任何與后悔相關(guān)的反饋信息時(shí)，投標(biāo)者的最優(yōu)投標(biāo)價(jià)為7.540萬元/噸。由此可以看出，提供與失敗者后悔相關(guān)的信息后，投標(biāo)者的投標(biāo)價(jià)確實(shí)比不提供任何后悔相關(guān)信息時(shí)的最優(yōu)投標(biāo)價(jià)高；而提供與獲勝者后悔相關(guān)的信息后，投標(biāo)者的投標(biāo)價(jià)確實(shí)比不提供任何后悔相關(guān)信息時(shí)的最優(yōu)投標(biāo)價(jià)低。這也進(jìn)一步解釋了現(xiàn)實(shí)中出現(xiàn)的超投標(biāo)和低投標(biāo)的現(xiàn)象。盡管上述投標(biāo)者對(duì)于SO2排污權(quán)最優(yōu)投標(biāo)價(jià)單位價(jià)格相差不是很大，但當(dāng)考慮到具體的拍賣量時(shí)，投標(biāo)者最終支付的金額會(huì)有相當(dāng)大的差異，這對(duì)于投標(biāo)者(廠商)來說將會(huì)是相當(dāng)可觀的一筆“收入”。

最后，從拍賣者的角度來說，根據(jù)上述4種不同反饋信息實(shí)驗(yàn)條件下產(chǎn)生的最優(yōu)投標(biāo)價(jià)的大小關(guān)系，可以選擇合適的拍賣機(jī)制，通過選擇為投標(biāo)者提供不同的反饋信息來使自身的收益最大化?？梢钥闯?，拍賣者對(duì)投標(biāo)者僅提供與失敗者后悔相關(guān)的獲勝價(jià)信息時(shí)能夠使自身的收益最大化，這對(duì)于實(shí)際拍賣中連續(xù)拍賣機(jī)制的設(shè)計(jì)具有很強(qiáng)的指導(dǎo)意義。

7 結(jié)論

本研究針對(duì)一級(jí)密封拍賣的最優(yōu)投標(biāo)策略確定問題，將投標(biāo)者后悔心理行為與傳統(tǒng)拍賣理論相結(jié)合，給出一種考慮投標(biāo)者后悔心理行為的最優(yōu)投標(biāo)策略確定方法。在該方法中，分別采用線性函數(shù)和非線性函數(shù)刻畫投標(biāo)者的獲勝者后悔和失敗者后悔心理行為，并在此基礎(chǔ)上構(gòu)建綜合考慮投標(biāo)者預(yù)期獲勝后悔和失敗后悔的非線性拍賣模型，同時(shí)通過模型求解分析最優(yōu)投標(biāo)策略，進(jìn)一步地，給出確定模型參數(shù)的實(shí)驗(yàn)方法，并通過一個(gè)實(shí)例分析說明本研究給出方法的潛在應(yīng)用價(jià)值。

理論研究結(jié)果表明，投標(biāo)者的最優(yōu)投標(biāo)策略不僅與投標(biāo)者價(jià)值有關(guān)，而且與投標(biāo)者的后悔心理行為有關(guān)；投標(biāo)者的最優(yōu)投標(biāo)策略為獲勝者后悔參數(shù)的減函數(shù)，且為失敗者后悔參數(shù)的增函數(shù)；在僅考慮投標(biāo)者預(yù)期獲勝后悔時(shí)，最優(yōu)投標(biāo)策略與線性拍賣模型所得結(jié)果相同，并且將低于完全理性的最優(yōu)投標(biāo)策略，而在僅考慮投標(biāo)者預(yù)期失敗后悔時(shí)，最優(yōu)投標(biāo)策略將高于完全理性的最優(yōu)投標(biāo)策略；完全理性的最優(yōu)投標(biāo)策略是考慮投標(biāo)者后悔行為的投標(biāo)策略的特例，且當(dāng)投標(biāo)者人數(shù)非常多時(shí)，完全理性的最優(yōu)投標(biāo)策略是報(bào)出自身的真實(shí)估價(jià)。

實(shí)驗(yàn)研究結(jié)果表明，與線性拍賣模型比較，由非線性拍賣模型得到的最優(yōu)投標(biāo)策略更接近于真實(shí)投標(biāo)報(bào)價(jià)，并且將非線性后悔函數(shù)引入到拍賣模型中能夠較好地反映實(shí)際拍賣中投標(biāo)者的心理行為。

通過本研究得到如下管理啟示和現(xiàn)實(shí)意義。投標(biāo)者在制定投標(biāo)策略時(shí)，需要綜合考慮自身對(duì)預(yù)期后悔的感知，特別是對(duì)失敗者后悔的敏感性；拍賣組織者在拍賣機(jī)制設(shè)計(jì)時(shí)，若選擇僅向投標(biāo)者提供與失敗者后悔相關(guān)的獲勝價(jià)信息，則能夠增加自身收益，而若選擇僅向投標(biāo)者提供與獲勝者后悔相關(guān)的次高價(jià)信息，則將使自身收益減少。

本研究?jī)H針對(duì)一級(jí)密封拍賣機(jī)制下考慮投標(biāo)者后悔心理行為的最優(yōu)投標(biāo)策略確定方法進(jìn)行研究，今后將探討針對(duì)二級(jí)密封拍賣、組合拍賣等其他拍賣機(jī)制下的情形；另外，還可以關(guān)注不同拍賣機(jī)制對(duì)考慮投標(biāo)者心理行為的最優(yōu)投標(biāo)策略的影響。

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附錄A：實(shí)驗(yàn)說明

(1)實(shí)驗(yàn)概要

您將參加一個(gè)關(guān)于SO2排污權(quán)的拍賣模擬實(shí)驗(yàn)。如果您按照本實(shí)驗(yàn)說明并進(jìn)行投標(biāo)決策，那么依據(jù)您的良好實(shí)驗(yàn)結(jié)果，得到相應(yīng)的貨幣獎(jiǎng)勵(lì)。在實(shí)驗(yàn)過程中，如果有問題可以隨時(shí)舉手提問，屆時(shí)實(shí)驗(yàn)操作者會(huì)及時(shí)回答您所提出的問題。在實(shí)驗(yàn)室操作過程中，請(qǐng)不要相互交談，獨(dú)立進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。

在實(shí)驗(yàn)過程中，您將會(huì)與計(jì)算機(jī)模擬的兩個(gè)投標(biāo)者進(jìn)行投標(biāo)，即共有3個(gè)投標(biāo)者。計(jì)算機(jī)模擬的投標(biāo)對(duì)手將采取使其期望收益最大化的策略進(jìn)行投標(biāo)，整個(gè)實(shí)驗(yàn)?zāi)枰M(jìn)行100次投標(biāo)出價(jià)決策。實(shí)驗(yàn)桌上有一張實(shí)驗(yàn)表格，需要您在每次投標(biāo)出價(jià)之后將實(shí)驗(yàn)結(jié)果填入相對(duì)應(yīng)的實(shí)驗(yàn)表格(見附表1)。

附表1要求被試填寫的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表格

Appendix1TheExperimentalFormRequiredtoBeFilledinbySubjects

投標(biāo)次數(shù)獲勝收益獲勝者后悔失敗者后悔12?99100

(2)如何獲得收益

在每次投標(biāo)決策開始時(shí)，系統(tǒng)會(huì)自動(dòng)顯示您本次投標(biāo)決策的投標(biāo)者價(jià)值(單位：千元/噸)。同時(shí)，計(jì)算機(jī)模擬的競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手的投標(biāo)者價(jià)值由系統(tǒng)自動(dòng)隨機(jī)產(chǎn)生，并服從[0, 100]的分布，所有投標(biāo)者的投標(biāo)者價(jià)值是相互獨(dú)立的，計(jì)算機(jī)模擬的競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手的投標(biāo)策略(即如何出價(jià))是由系統(tǒng)事先設(shè)定的，不會(huì)受到您投標(biāo)決策的影響。

對(duì)于本次關(guān)于SO2排污權(quán)拍賣模擬實(shí)驗(yàn)的投標(biāo)者價(jià)值(單位：千元/噸)有50、60、70、80、90共5個(gè)取值水平，每個(gè)投標(biāo)者價(jià)值會(huì)連續(xù)循環(huán)20次，在這20次投標(biāo)決策中，您的投標(biāo)者價(jià)值是不變的，唯一變化的是計(jì)算機(jī)模擬投標(biāo)者的投標(biāo)者價(jià)值和投標(biāo)價(jià)，以上5個(gè)投標(biāo)者價(jià)值的順序不是固定的，是由計(jì)算機(jī)隨機(jī)產(chǎn)生的。在每一次投標(biāo)決策中，您的投標(biāo)者價(jià)值和輸入的投標(biāo)價(jià)會(huì)與計(jì)算機(jī)模擬的競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手進(jìn)行博弈，在博弈的過程中，競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手的投標(biāo)者價(jià)值和投標(biāo)價(jià)是變化的。因此，請(qǐng)慎重確定您的投標(biāo)價(jià)，本實(shí)驗(yàn)規(guī)定您輸入的投標(biāo)價(jià)應(yīng)該大于零且不超過您的投標(biāo)者價(jià)值。您獲得收益的方式是贏得SO2排污權(quán)。

(3)拍賣實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)的操作說明

本實(shí)驗(yàn)條件下主要包括輸入界面、確認(rèn)界面和結(jié)果反饋界面3個(gè)操作界面，即分別用來進(jìn)行投標(biāo)價(jià)的輸入、投標(biāo)信息的確認(rèn)、投標(biāo)結(jié)果的反饋。

在“輸入界面”顯示相關(guān)控件的意義和操作說明如下。

投標(biāo)者價(jià)值：系統(tǒng)會(huì)自動(dòng)顯示您本次投標(biāo)決策的投標(biāo)者價(jià)值；

清空按鈕：完成數(shù)據(jù)指針的動(dòng)態(tài)移動(dòng)，實(shí)現(xiàn)投標(biāo)者價(jià)值的動(dòng)態(tài)改變(注：再次進(jìn)入輸入界面需點(diǎn)擊該按鈕)；

請(qǐng)輸入您的投標(biāo)價(jià)：在此編輯框輸入您的投標(biāo)價(jià)；

更改投標(biāo)價(jià)：更改已輸入的投標(biāo)價(jià)；

確認(rèn)投標(biāo)：確認(rèn)本次投標(biāo)決策。

在點(diǎn)擊“確認(rèn)投標(biāo)”之后進(jìn)入“信息確認(rèn)界面”，在該界面同樣顯示了相關(guān)信息和操作要求，具體如下。

投標(biāo)者價(jià)值：與輸入界面的投標(biāo)者價(jià)值相同；

您已輸入的投標(biāo)價(jià)：顯示您在輸入界面所輸入的投標(biāo)價(jià)；

如果獲勝，您的收益：投標(biāo)獲勝時(shí)您的收益來自投標(biāo)者價(jià)值與投標(biāo)價(jià)之間的差值；

如果失敗，您的收益：投標(biāo)失敗時(shí)收益設(shè)定為0；

點(diǎn)擊“確認(rèn)信息”按鍵之后進(jìn)入“信息反饋界面”，該界面上顯示本次投標(biāo)決策的信息如下。

獲勝狀態(tài)：是或否；

收益：投標(biāo)者價(jià)值-投標(biāo)價(jià)；

獲勝價(jià)：所有投標(biāo)者中最高投標(biāo)價(jià)；

次高價(jià)：所有投標(biāo)者中第二高投標(biāo)價(jià)；

獲勝者后悔：當(dāng)您投標(biāo)的獲勝狀態(tài)為“是”時(shí)，次高價(jià)與您的投標(biāo)價(jià)之間的差值；

失敗者后悔：當(dāng)您投標(biāo)的獲勝狀態(tài)為“否”時(shí)，獲勝價(jià)與您的投標(biāo)者價(jià)值之間的差值，反映了您錯(cuò)失了一個(gè)以合適的投標(biāo)價(jià)贏得該虛擬資產(chǎn)的良好機(jī)會(huì)。

點(diǎn)擊“繼續(xù)投標(biāo)”按鈕，在關(guān)閉確認(rèn)界面和結(jié)果反饋界面的同時(shí)回到輸入界面，進(jìn)行下一次投標(biāo)決策循環(huán)試驗(yàn)。

附錄B：實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

4種實(shí)驗(yàn)條件下被試針對(duì)設(shè)定的投標(biāo)者價(jià)值水平的平均投標(biāo)價(jià)分別見附表2～附表5。

附表2 實(shí)驗(yàn)條件1下被試針對(duì)設(shè)定的投標(biāo)者價(jià)值水平的平均投標(biāo)價(jià)

附表3 實(shí)驗(yàn)條件2下被試針對(duì)設(shè)定的投標(biāo)者價(jià)值水平的平均投標(biāo)價(jià)

附表4 實(shí)驗(yàn)條件3下被試針對(duì)設(shè)定的投標(biāo)者價(jià)值水平的平均投標(biāo)價(jià)

附表5 實(shí)驗(yàn)條件4下被試針對(duì)設(shè)定的投標(biāo)者價(jià)值水平的平均投標(biāo)價(jià)

OptimalBiddingStrategyinFirst-priceSealedAuctionConsideringtheBidder′sRegret

GAO Guangxin，F(xiàn)AN Zhiping

School of Business Administration, Northeastern University, Shenyang 110167, China

Numerous experimental studies have shown that the bidders usually exhibit the anticipated regret psycological behaviors in first-price sealed auctions and such behaviors will have impacts on the final bidding strategies. Thus, how to determine the optimal bidding strategy with consideration of the bidder′s anticipated regret is a noteworthy topic.

For the problem of the optimal bidding strategy in first-price sealed auction, a linear function and a non-linear function are adopted to describe the winner regret with respect to paying much higher price than the second highest bid price and the loser regret with respect to missing opportunities to win at a favorable price respectively. On such bases, a non-linear auction model is constructed. Then, the optimal bidding strategy is analyzed based on the above model. Further, an experimental method is carried out to determine the corresponding parameters for describing the bidder′s regret behavior. Moreover, a case study in the field of the auctions of SO2emission permits is introduced to illustrate the feasibility and its potential application of the study.

Through the theoretical analysis, we find that the optimal bidding strategy is related to not only the bidder′s value but also the bidder′s regret, which bridges the gap between the bidding strategy and the bidder′s psychological behavior. The optimal bidding strategy is the descending function of the winner regret parameter and the increasing function of the loser regret parameter. In addition, when the bidder′s regret behavior is not considered, the optimal bidding strategy is the same as the one under the perfect rationality. It means that the optimal bidding strategy under the perfect rationality is a special case of the one determined by the non-linear auction model. In particularly, when the number of bidders is large enough, the optimal bidding strategy under the perfect rationality is just the bidder's true value. In the situation where the winner regret is considered only but the loser regret is ignored, the optimal bidding strategy is the same as the one determined by the linear auction model and is lower than the one under the perfect rationality. Otherwise, the optimal bidding strategy is higher than the one under the perfect rationality. Compared with the optimal bidding strategy determined by the linear auction model, the one determined by the non-linear auction model is much closer to the real auction bid price. The non-linear auction model proposed in this paper provides guidance for determining the optimal bidding strategy in the real auction considering the bidder′s regret.

first-price sealed auction；anticipated regret psycological behavior；non-linear auction model；bidding strategy；experimental method

Date:June 29th, 2015

DateNovember 19th, 2015

FundedProject:Supported by the National Natural Science Foundation of China(71271051) and the Fundamental Research Funds for the Central Universities(N140607001)

Biography:GAO Guangxin is a Ph.D candidate in the School of Business Administration at Northeastern University. His research interests cover bidding decision analysis and operations management. His research work was published in international journals such asKybernetesandJournalofSystemsEngineeringandElectronics. E-mail：guangxin_gao@126.com

FAN Zhiping, doctor in engineering, is a professor in the School of Business Administration at Northeastern University. His research interests include management decision analysis and operations management. His research work can be referred in academic journals such asEuropeanJournalofOperationalResearch,InternationalJournalofProductionEconomicsandJournaloftheOperationalResearchSociety. E-mail：zpfan@mail.neu.edu.cn

F713.359

A

10.3969/j.issn.1672-0334.2016.01.001

1672-0334(2016)01-0001-14

2015-06-29修返日期2015-11-19

國家自然科學(xué)基金(71271051)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)經(jīng)費(fèi)專項(xiàng)資金(N140607001)

高廣鑫，東北大學(xué)工商管理學(xué)院博士研究生，研究方向?yàn)橥稑?biāo)決策分析和運(yùn)作管理等，曾在《Kybernetes》和《Journal of Systems Engineering and Electronics》等期刊發(fā)表論文，E-mail：guangxin_gao@126.com

樊治平，工學(xué)博士，東北大學(xué)工商管理學(xué)院教授，研究方向?yàn)楣芾頉Q策分析和運(yùn)作管理等，曾在《European Journal of Operational Research》《International Journal of Production Economics》和《Journal of the Operational Research Society》等期刊發(fā)表論文，E-mail：zpfan@mail.neu.edu.cn

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