朱賢良 付朝華●

安徽省樅陽縣會(huì)宮中學(xué)(246740)

識(shí)別模型特征 選準(zhǔn)概率公式

朱賢良 付朝華●

安徽省樅陽縣會(huì)宮中學(xué)(246740)

法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯曾言：“生活中最重要的問題，絕大部分其實(shí)只是概率問題．”意即概率問題在現(xiàn)實(shí)生活中廣泛存在．在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，概率與統(tǒng)計(jì)也是六大核心知識(shí)板塊之一，分布在必修3與選修2-3(理科)、選修1-2(文科)兩冊(cè)書中．在數(shù)學(xué)高考中，概率與統(tǒng)計(jì)作為年年都考的穩(wěn)定考點(diǎn)，一“大”一“小”的模式幾乎成為一種標(biāo)準(zhǔn)配置．

綜觀歷年全國各地高考試題，概率與統(tǒng)計(jì)部分的熱點(diǎn)與難點(diǎn)在于概率的計(jì)算．能否識(shí)別各種概率模型的典型特征，選擇適當(dāng)?shù)母怕使竭M(jìn)行計(jì)算，直接決定著解題的成?。疚慕Y(jié)合部分典型問題對(duì)高中概率模型與公式作一整理，力求更準(zhǔn)確、更有效地求解概率問題．

一、古典概型

例1 (2011年高考陜西卷·理10)甲乙兩人一起去游“2011西安世園會(huì)”，他們約定，各自獨(dú)立地從1到6號(hào)景點(diǎn)中任選4個(gè)進(jìn)行游覽，每個(gè)景點(diǎn)參觀1小時(shí)，則最后一小時(shí)他們同在一個(gè)景點(diǎn)的概率是( )

點(diǎn)評(píng) 在解古典概型問題時(shí)，準(zhǔn)確、合理地利用分類加法、分步乘法計(jì)數(shù)原理與排列組合知識(shí)計(jì)數(shù)是正確計(jì)算概率的關(guān)鍵所在．

二、幾何概型

例2 (2012年高考遼寧卷·理10)在長為12 cm的線段AB上任取一點(diǎn)C．現(xiàn)作一矩形，鄰邊長分別等于線段AC,CB的長，則該矩形面積小于32 cm2的概率為 ( )

點(diǎn)評(píng) 解決幾何概型的難點(diǎn)在于如何建立起樣本空間、隨機(jī)事件與線段或平面區(qū)域或空間幾何體之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．

三、概率的加法公式

如果隨機(jī)事件A包含n種互斥的情況A1,A2,…,An，即A=A1+A2+…+An(和事件，也可以寫成并事件)，則P(A)=P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)．

例3 (人教A版教材選修2-3第53題例2)一張儲(chǔ)蓄卡的密碼共有6位數(shù)字，每位數(shù)字都可以從0～9中任選一個(gè)．某人在銀行自動(dòng)提款機(jī)上取錢時(shí)，忘記了密碼的最后一位數(shù)字，求：

(1)任意按最后一位數(shù)字，不超過兩次就按對(duì)的概率；

(2)如果他記得密碼的最后一位是偶數(shù)，不超過2次就按對(duì)的概率．

點(diǎn)評(píng) 概率的加法公式P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)成立的前提是事件A1,A2,…,An兩兩互斥．第(2)問還可以看成是條件概率問題，課本就是運(yùn)用條件概率公式來求解的．

四、條件概率

例4 (2014年高考全國Ⅱ卷·理5)某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是( ).

A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45

點(diǎn)評(píng) 求解條件概率，就必須先弄清楚前提事件與目標(biāo)事件，再選用條件概率公式進(jìn)行計(jì)算．

五、概率的乘法公式

(1)求甲恰用4局贏得比賽的概率；

(2)記X為比賽決出勝負(fù)時(shí)的總局?jǐn)?shù)，求X的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望)．

故X的分布列為

X2345P59291081881

點(diǎn)評(píng) 簡單地理解，當(dāng)事件A包含A1,A2,…,An這些情況時(shí)，P(A)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)，前提是A1,A2,…,An中兩兩互斥；當(dāng)事件A發(fā)生相當(dāng)于A1,A2,…,An同時(shí)發(fā)生時(shí)，P(A)=P(A1)P(A2)…P(An)，前提是A1,A2,…,An中兩兩獨(dú)立．

六、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?zāi)Ｐ?/h2>

解析 事件“牛牛同學(xué)恰好答對(duì)其中2道題”包含了3種情況：牛牛同學(xué)答對(duì)2道甲類題，0道乙類題；牛牛同學(xué)答對(duì)0道甲類題，2道乙類題；牛牛同學(xué)答對(duì)甲類題與乙類題各1道．分別記三個(gè)事件為A,B,C，則牛牛同學(xué)恰好答對(duì)其中2道題的概率為P=P(A)+P(B)+P(C)．

點(diǎn)評(píng) 準(zhǔn)確識(shí)別獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?zāi)Ｐ褪钦_求解的關(guān)鍵，比如本題中答3道甲類題就相當(dāng)于將答甲類題這一試驗(yàn)重復(fù)3次，答2道乙類題就相當(dāng)于將答乙類題這一試驗(yàn)重復(fù)2次．

七、對(duì)立事件的概率

例7 創(chuàng)辦于1999年的農(nóng)心杯世界圍棋團(tuán)體錦標(biāo)賽是世界上水平最高的圍棋團(tuán)體賽，每年一屆，每屆由中國、日本和韓國各派出5名棋手，采用擂臺(tái)賽的方式，三國棋手輪番上陣，最后留在擂臺(tái)上的隊(duì)伍獲得冠軍．已知某屆比賽進(jìn)行到最后階段時(shí)，中、日、韓三國分別還剩下3、0、1位棋手，且中國三位棋手對(duì)局韓國棋手獲勝的概率分別為p1,p2,p3，則中國隊(duì)獲得冠軍的的概率為____．

點(diǎn)評(píng) 若從正面求解，則需要運(yùn)用概率的乘法公式和加法公式，求得中國隊(duì)獲得冠軍的的概率為P(A)=p1+(1-p1)p2+(1-p1)(1-p2)p3，兩種計(jì)算的結(jié)果整理后是一致的．

試題是動(dòng)態(tài)的，變化多端，展現(xiàn)千姿百態(tài)，但知識(shí)點(diǎn)與思想方法是靜態(tài)的，數(shù)量有限，保持相對(duì)穩(wěn)定．所謂“以不變應(yīng)萬變”，就是強(qiáng)調(diào)通過一定量的解題訓(xùn)練，去熟練和創(chuàng)造性地把握基本知識(shí)和思想方法的原理與靈魂，從而達(dá)到運(yùn)用自如的目的．

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