李明標(biāo)，陳維石，孫 爽，舒天爽

(渤海大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，遼寧 錦州 121013)

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單擺法測量空氣密度實(shí)驗(yàn)分析

李明標(biāo)*，陳維石，孫 爽，舒天爽

(渤海大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，遼寧 錦州 121013)

考慮空氣浮力對單擺運(yùn)動的影響，從單擺運(yùn)動方程出發(fā)，計(jì)算得出振動周期與空氣密度的關(guān)系，通過測量兩個不同密度擺球單擺的相關(guān)物理量，求出空氣密度，并分析了空氣浮力對測量重力加速度的影響.

單擺；周期；空氣密度；重力加速度

0 引言

空氣密度是物理實(shí)驗(yàn)中測量的最基本物理量之一，從實(shí)驗(yàn)原理上多采用直接測量方法〔1〕.用天平稱出某一容器充有空氣和抽掉空氣后的質(zhì)量差，除以容量所得的商即為空氣的密度.現(xiàn)有的實(shí)驗(yàn)中，大多是采用先測量空氣的質(zhì)量，利用水填充容器，通過測量水的質(zhì)量，計(jì)算容器(空氣)的體積，再由物質(zhì)密度的公式計(jì)算空氣密度.這種方法存在許多問題，如：抽氣時容器真空程度對空氣質(zhì)量的影響；抽氣后容器真空測量時的密封問題；測量體積時對玻璃容器充水，去水后的干燥程度，都會影響實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)確性；在實(shí)驗(yàn)過程上也較為繁瑣、費(fèi)時.本文利用單擺實(shí)驗(yàn)方法，在分析單擺的運(yùn)動過程中，考慮空氣對擺球的浮力作用，寫出單擺運(yùn)動方程，求近似解.通過測量兩種不同單擺的擺長、周期和擺球的密度，計(jì)算出空氣密度和重力加速度，回避了對空氣質(zhì)量與體積的直接測量，操作簡單易行，結(jié)果精確可靠.

1 實(shí)驗(yàn)原理：

模型：圖(1)中單擺為一質(zhì)量為m、半徑為r、密度為ρ的小球，被質(zhì)量為μ的不可伸長的均質(zhì)細(xì)線懸掛于定點(diǎn)o，小球質(zhì)心到懸點(diǎn)的距離為l，細(xì)線與鉛垂線的夾角為θ.實(shí)驗(yàn)在密度為ρ0的空氣中進(jìn)行.

計(jì)算：單擺動能：

(1)

單擺勢能：

(2)

該系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)為L=T-V，在不計(jì)阻尼的情況下:

拉格朗日方程:

(3)

把L帶入(3)化簡得：

(4)

小振幅情況下sinθ≈θ方程(4)化為：

(5)

單擺振動周期

(6)

實(shí)驗(yàn)選取密度不同擺球的兩個單擺，測量密度、擺長和周期：

2 實(shí)驗(yàn)測量

表1 擺球密度測量數(shù)據(jù)表

(2)擺長測量：擺線柔軟不可伸長，長度遠(yuǎn)大于擺球直徑.線長由鋼卷尺測出懸點(diǎn)至小球下端的示值，用游標(biāo)卡尺測小球直徑D=2r值，擺長L=l-r，擺長L>>r，可選L在 100cm左右測量.

(3)周期測量：單擺的振動周期由多功能數(shù)字測定儀測出：將單擺自然懸于兩光電感應(yīng)器中間，當(dāng)單擺作周期擺動時，擺錘遮擋感應(yīng)器，記錄時間及遮擋次數(shù)，選擇50個周期為一組數(shù)據(jù)進(jìn)行測量，然后取平均值.

表2 單擺實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表

3 數(shù)據(jù)分析

表(3)中g(shù)ij、ρ0ij的數(shù)據(jù)分別是考慮空氣浮力通過12、23、31不同單擺組合利用(7)(8)式計(jì)算得到的空氣密度和重力加速度.

表3 考慮空氣浮力計(jì)算數(shù)據(jù)表

4 結(jié)論

單擺實(shí)驗(yàn)是大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中的最基本的實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目，在單擺法測空氣密度實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目中，擺球密度的選取至關(guān)重要，應(yīng)選取兩種密度相對較小的擺球進(jìn)行測量，以便能夠充分反映空氣浮力對單擺周期的影響，保證測量空氣密度的準(zhǔn)確性.擺球密度較大的單擺，其近似于理想單擺，空氣浮力對測量結(jié)果影響不大，可較精確測量重力加速度.該實(shí)驗(yàn)方法原理深入淺出，設(shè)備簡單耐用，實(shí)驗(yàn)測量方便，可作為開放實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目，讓學(xué)生分析實(shí)驗(yàn)原理，自主完成實(shí)驗(yàn)過程，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性和創(chuàng)造性.

〔1〕姚久民，王麗麗.空氣密度與氣體普適常量測量實(shí)驗(yàn)的改進(jìn)〔J〕. 物理實(shí)驗(yàn), 2011, 31(12): 24-26.

〔2〕黃兆梁.單擺周期公式的綜合修正〔J〕.常州工學(xué)院學(xué)報(bào), 2014, 27(3): 43-47.

〔3〕盛虹.單擺測重力加速度的研究〔J〕. 延安大學(xué)學(xué)報(bào), 2014, 33(2): 28-30.

〔4〕黃焱，何松林.用單擺測空氣密度〔J〕.實(shí)驗(yàn)室研究與探索, 2010, 29(2): 35-36.

〔5〕薛德勝,周釗,高美珍. 單擺近似周期的新形成式及構(gòu)造分析〔J〕. 大學(xué)物理, 2010, 29(8): 25-27.

Theexperimentalanalysisofairdensityusingsimplependulum

LI Ming-biao, CHEN Wei-shi, SUN Shuang, SHU Tian-shuang

(College of Mathematics and Physics, Bohai University, Jinzhou 121013, China)

According to the motion equation of simple pendulum, considering the air buoyancy impacting simple pendulum motion, we calculate the relationship between vibration period and air density. By measuring the relevant physical quantities of two different density pendulum balls, we derive air density, and analyze the air buoyancy impacting measuring acceleration of gravity.

single pendulum；period；air density；acceleration of gravity

2016-08-13.

遼寧省教育廳教學(xué)改革項(xiàng)目(遼教發(fā)[2015]206號).

李明標(biāo)(1965-)，男，副教授，主要從事物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)與研究．

li_mingbiao@163.com.

O313

A

1673-0569(2016)04-0322-04