季海波

(宿遷學(xué)院 文理學(xué)院, 江蘇 宿遷 223800)

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不同先驗分布下三階Erlang分布參數(shù)的Bayes估計

季海波

(宿遷學(xué)院 文理學(xué)院, 江蘇 宿遷 223800)

在定數(shù)截尾場合下,分別取共軛先驗,Jeffreys先驗和無信息先驗,給出了三階Erlang分布參數(shù)的Bayes點估計和區(qū)間估計,用極大似然法得到超參數(shù)的估計,通過隨機模擬得到參數(shù)估計的均值和均方誤差.最后通過模擬得到該分布的一組隨機樣本并給出不同截尾樣本下的參數(shù)的3種點估計和區(qū)間估計.

三階Erlang分布; 先驗分布; Bayes估計; 區(qū)間估計

0 引言

k階Erlang分布是排隊論中常用的一個重要的服務(wù)時間分布,它與指數(shù)分布有密切聯(lián)系.若X1,X2,…,Xk是一列獨立的隨機變量,且都服從指數(shù)分布E(μ),則隨機變量T=X1+X2+…+Xk具有概率密度

稱T服從參數(shù)為μ的k階Erlang分布[1],k是正整數(shù).特別地,當k=3時有三階Erlang分布的密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為

若令θ=3μ,則三階Erlang分布的密度函數(shù)和分布函數(shù)分別記

(1)

(2)

其中t>0,θ>0．

龍兵在定數(shù)截尾樣本下研究了參數(shù)的極大似然估計[2],倪中新等研究了“平均剩余壽命”這一概念下的擬矩估計[3],龍兵給出在不同損失函數(shù)下艾拉姆咖分布的參數(shù)的Bayes估計[4],湯銀才給出了威布爾分布參數(shù)的Bayes估計[5],而關(guān)于Erlang分布的參數(shù)在不同先驗分布下的Bayes估計尚未見到,而且階數(shù)越高估計越復(fù)雜,本文主要研究在定數(shù)截尾樣本下三階Erlang分布參數(shù)在不同先驗分布下的Bayes點估計、Bayes區(qū)間估計,通過隨機模擬得到估計,并判斷3個先驗分布下的Bayes估計的優(yōu)劣.

1 不同先驗分布下參數(shù)θ的Bayes估計

設(shè)t(1)≤t(2)≤…≤t(r)(r≤n)為來自三階Erlang分布容量為n的隨機樣本中前r個最小觀察值(為了記號方便,將t(i)的下標中括號省略,下文中統(tǒng)一用ti表示第i個最小觀察值),當r=n時為全樣本的情形.由文[2]有,

若令t=(t1,t2,…,tr),則樣本t的似然函數(shù)為

(3)

將式(1)(2)代入式(3)有

(4)

其中

可取參數(shù)θ的共軛先驗分布,其先驗密度函數(shù)為

π1(θ)=λθ3e-λθ,θ>0

(5)

其中λ>0為超參數(shù).

將式(4)(5)代入下式可得θ的后驗密度函數(shù)

又

則可得θ的后驗密度函數(shù)為

(6)

其中

Γ(·)表示伽瑪函數(shù).

在平方損失下,θ的Bayes估計為

(7)

根據(jù)文[6],若取參數(shù)θ的Jeffreys先驗為

(8)

由式(4)(8)可得θ的后驗密度函數(shù)為

(9)

其中

在平方損失下,θ的Bayes估計為

(10)

根據(jù)文[6],若取θ的無信息先驗為

π3(θ)=1

(11)

由式(4)(11)可得θ的后驗密度函數(shù)為

(12)

其中

在平方損失下,θ的Bayes估計為

(13)

2 超參數(shù)λ的極大似然估計

下面用極大似然法來估計超參數(shù)λ,計算密度函數(shù)及為分布分布為

(14)

(15)

將式(14)(15)代入到式(3)，可得

取對數(shù)有

令

可得

(16)

令

且顯然有h1(λ)>0,h2(λ)>0.當λ→0+時,有h1(λ)>h2(λ),

又

故h1(λ),h2(λ)在(0,+∞)上都是嚴格遞減的下凸函數(shù).而且

故在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)方程(16)有唯一解,迭代公式為

(17)

3 參數(shù)θ的Bayes區(qū)間估計

4 隨機模擬

使用Matlab軟件,給定θ=2,取樣本容量為n=50,通過Matlab中的Slicesample函數(shù)產(chǎn)生一組服從三階Erlang分布的隨機樣本如下:

1.4260, 0.7780, 2.8818, 1.8263, 0.4529, 1.4891, 0.7138, 0.7928, 1.1480, 1.2106,

2.7155, 1.0027, 0.9088, 0.7196, 0.7003, 1.4403, 1.3516, 1.0839, 1.1062, 1.0471,

1.6105, 2.3618, 0.9624, 0.8615, 1.2600, 1.3034, 1.0899, 0.9169, 1.0705, 1.2185,

0.7266, 3.3979, 0.6540, 0.5869, 2.2812, 0.7835, 0.7378, 1.8882, 0.7704, 1.4884,

0.7488, 1.9165, 1.6212, 1.3417, 2.0432, 1.8843, 1.1442, 1.0605, 0.9033, 1.3938.

再通過Monte-Carlo方法隨機產(chǎn)生容量為n且服從三階Erlang分布的隨機樣本,給定r,得到一組定數(shù)截尾樣本數(shù)據(jù).利用改組數(shù)據(jù)求出參數(shù)θ的Bayes估計.重復(fù)上述模擬2 000次,分別求估計的均值和均方誤差,模擬結(jié)果如表1.

表1 參數(shù)估計的均值及均方誤差(α=0.05)

從表1的數(shù)據(jù)可以看出,隨著截尾程度的增加,參數(shù)估計的均值與真值的偏差及均方誤差越來越大.再比較一下相同截尾程度下,3個不同先驗分布所得到的參數(shù)的Bayes估計,共軛先驗分布得到的參數(shù)估計的均值與真值的偏差最小,均方誤差也是最小的,3個先驗分布應(yīng)該選取共軛先驗分布更優(yōu),也說明該方法是可行的.

[1] 胡運權(quán),錢頌迪.運籌學(xué)基礎(chǔ)及應(yīng)用[M].北京:高等教育出版社,1986.

[2] 龍兵.不同先驗分布下艾拉姆咖分布參數(shù)的Bayes估計[J].數(shù)學(xué)的實踐與認識,2015,45(4):186-192.

[3] 倪中新,費鶴良.威布爾分布無失效數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報,2003,26(3):533-543.

[4] 龍兵.不同損失函數(shù)下艾拉姆咖分布參數(shù)的Bayes估計-全樣本情形[J].重慶師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版,2013,30(5):96-100.

[5] 湯銀才,侯道燕.三參數(shù)Weibull分布參數(shù)的Bayes估計[J].系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué),2009,29(1):109-115.

[6] 茆詩松, 湯銀才.貝葉斯統(tǒng)計[M].北京:中國統(tǒng)計出版社,1999:102-103.

[責任編輯：李春紅]

Bayesian Estimate of Parameter on 3rd Erlang Distribution Under Diffferent Prior Distribution

JI Hai-bo

(School of Liberal and Science, Suqian College, Suqian Jiangsu 223800，China)

Under type-II censored sample on 3rd Erlang distribution,Bayes point estimation and interval estimation of parameter are gived when taking conjugate prior,Jeffreys prior and no information prior distribution;Secondly,estimation of super-parameter is obtained by maximum likelihood method. Then the mean and the mean square error about the parameter estimation are obtained by means of stochastic simulation. Three kinds of point estimate and interval estimate of the parameter under different censored samples are gived by means of simulated sample.

3rd Erlang distribution; prior distribution; bayesian estimate; interval estimate

2016-05-23

季海波(1981-),男,江蘇南通人,講師,碩士,研究方向為極限理論. E-mail: jhb-2010@163.com

O212.62

A

1671-6876(2016)04-0290-05