楊梅

[摘 要] 由于疏忽，導(dǎo)學(xué)案上出現(xiàn)了一道錯(cuò)誤的課堂練習(xí)題，課堂上，我們就用這道題發(fā)揮了它的探究?jī)r(jià)值，取得了意想不到的教學(xué)效果. 通過分析，我們認(rèn)為這個(gè)教學(xué)片斷的精彩之處在于：觸動(dòng)學(xué)生的興趣之弦，生本得以體現(xiàn)；打破練習(xí)的定式思維，本質(zhì)得以凸顯；學(xué)生真正經(jīng)歷，思維得以發(fā)展.

[關(guān)鍵詞] 錯(cuò)題；分解因式；思維

背景介紹

在集體備課時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)“9.5多項(xiàng)式的因式分解”（蘇科版義務(wù)教育教科書七年級(jí)下冊(cè)）的第三課時(shí)利用完全平方公式分解因式的一道課堂練習(xí)題發(fā)生了錯(cuò)誤，題目?jī)?nèi)容本應(yīng)是把多項(xiàng)式“a2-ab+b2”分解因式，而導(dǎo)學(xué)案卻把多項(xiàng)式寫成了“a2-ab+b2”. 顯然是由編寫導(dǎo)學(xué)案的人員疏忽所致，備課組老師提出，把這道錯(cuò)題讓學(xué)生統(tǒng)一改過來（學(xué)生人手一本導(dǎo)學(xué)案）. 但筆者認(rèn)為，這道題雖然是一道錯(cuò)題，但如果能把它利用好，可能會(huì)有意想不到的教學(xué)效果. 于是，筆者就此上了一節(jié)研究課，并得到了聽課老師和同學(xué)們的一致好評(píng).

片斷回放

例題講解之后，像往常一樣，學(xué)生開始課堂練習(xí). 教師繞教室走了一圈，發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生寫出a2-ab+b2=

a-b2，寫完之后便不假思索地繼續(xù)做下一題. 出乎教師的意料，“這一題好像有點(diǎn)不對(duì)”，一個(gè)很小的聲音傳過來. “哪里不對(duì)？”他用筆圈出了中間項(xiàng)，教師向他點(diǎn)頭說“有同學(xué)發(fā)現(xiàn)‘新大陸了！”一種被肯定的滿足感和自豪感洋溢在他的臉上. 陸陸續(xù)續(xù)，很多同學(xué)都發(fā)現(xiàn)了“新大陸”. “大家都發(fā)現(xiàn)了嗎？這個(gè)多項(xiàng)式不能利用完全平方公式進(jìn)行因式分解，這是一道錯(cuò)題. ”同學(xué)們開始嘰嘰喳喳起來，有的說“哎呀！真沒想到練習(xí)題竟然有錯(cuò)題！”有的說“我一看有兩個(gè)帶平方的項(xiàng)，就不假思索地利用公式分解了，哪想到中間項(xiàng)不對(duì)啊. ”還有的同學(xué)說：“再用乘法公式回過頭來驗(yàn)證一下就好了！”……每個(gè)同學(xué)都想把“中招”的事情說一說，課堂氛圍自由、熱烈.

師：面對(duì)這道錯(cuò)題，我們應(yīng)該怎么辦？

生：如果改編一下，就能用完全平方公式分解了.

興奮的孩子們誰也不甘落后.

學(xué)生1：因?yàn)榉e的2倍項(xiàng)的系數(shù)不符合要求，我就把a(bǔ)b變成了ab，這樣就有a2-ab+b2=

a-b2. （記為方法一）

“很好！”本以為還會(huì)有同學(xué)發(fā)表不同的見解，可是沒有人再舉起手，這讓教師立馬意識(shí)到生1代表了全班同學(xué)的想法，可能也是他們唯一的想法. 是啊，剛才就是因?yàn)榉e的2倍項(xiàng)不符合條件，所以大家考慮變化第二項(xiàng)的系數(shù)，這是很自然的，可是，這不是唯一的改編方法啊. 難道學(xué)生想不到其他方法了嗎？教師微笑著看著全班同學(xué)，期待著. 教室里很安靜，學(xué)生很詫異，“難道這樣不對(duì)嗎？”“哦！是不是還有其他的改編方法？”從學(xué)生的表情可以看出，他們經(jīng)歷了這兩個(gè)階段的思考，好像柳暗花明了，舉手的人漸漸多了起來.

學(xué)生2：我改動(dòng)了第三項(xiàng)，把第三項(xiàng)變成

教師說：“這個(gè)多項(xiàng)式，三項(xiàng)的系數(shù)我們都可以變一變，讓它能利用完全平方公式進(jìn)行因式分解. 這三位同學(xué)做得非常好，你們都贊同他們的改編方法嗎？贊同的請(qǐng)舉手.”學(xué)生齊聲答“贊同”，并高高地舉起了手. “那這三位同學(xué)的因式分解都正確嗎？認(rèn)為正確的請(qǐng)舉手. ”學(xué)生齊聲答“正確”，又一次高高地舉起了手. “看來黑板上這兩位同學(xué)的步驟和答案得到了全班同學(xué)的充分肯定. ”學(xué)生齊聲“嗯”，然后不約而同地笑了起來. 學(xué)生以為可以完美地“收工”了，個(gè)個(gè)臉上洋溢著成就感和滿足感！

教師又一次微笑著轉(zhuǎn)過頭去看看黑板上的解答，再看看全班同學(xué). 轟轟烈烈之后突然安靜得連一根針掉落的聲音都聽得見，剛剛“中招”的學(xué)生非常“警惕”，開始陷入思考中.

學(xué)生4：我發(fā)現(xiàn)了，方法一和方法二分解后都不能再分解了，但方法三分解完后，還有公因式.

a-b2中還有公因式. 為什么會(huì)出現(xiàn)分解不徹底的問題呢？

學(xué)生思考了很長(zhǎng)時(shí)間.

學(xué)生6：其實(shí)，改編了之后，這個(gè)多項(xiàng)式有公因式，如果先提取這個(gè)多項(xiàng)式的公因式，就好了，省得分解完之后還有后顧之憂. a2-ab+b2=·（a2-2ab+b2 ）=（a-b ）2.

師：（激情）非常棒！他仔細(xì)觀察了這個(gè)多項(xiàng)式的特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)有公因式，然后提取，再利用公式進(jìn)行分解，避免了剛才分解不徹底的現(xiàn)象，而且分解時(shí)會(huì)“順暢”很多. 這道題，我們歷盡千辛萬苦，終于可以松一口氣了，不妨讓我們?cè)賮砘仡櫼幌逻@道題的解決過程，談?wù)勛约旱氖斋@與感受！

學(xué)生7：在分解因式時(shí)，我們一定要認(rèn)真觀察多項(xiàng)式的特點(diǎn)，先看它的各項(xiàng)有沒有公因式，若有，應(yīng)先提取公因式，再看能否使用公式分解，這兩個(gè)步驟不能顛倒. 還有，分解完之后，回頭再看看，還能不能繼續(xù)分解.

學(xué)生8：以后，我們?cè)谟霉綍r(shí)，不能硬套用公式，要看清楚能不能用公式，別一看形式像，就想當(dāng)然地套用了.

學(xué)生9：練習(xí)題也會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤，下次要多留個(gè)神.

學(xué)生10：沒想到一個(gè)錯(cuò)題這么有意思！

分析與感悟

1. 觸動(dòng)學(xué)生的興趣之弦，生本得以體現(xiàn)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》指出，數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)，特別是課堂教學(xué)應(yīng)激發(fā)學(xué)生的興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，鼓勵(lì)學(xué)生的創(chuàng)造性思維. 本節(jié)課是運(yùn)用公式法分解因式的第二課時(shí)，第一課時(shí)是運(yùn)用平方差公式分解因式，這一課時(shí)是運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行因式分解. 根據(jù)第一課時(shí)探索與學(xué)習(xí)所積累的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生容易掌握用完全平方公式分解因式的方法，但對(duì)二次三項(xiàng)式的特點(diǎn)不容易把握清楚. 由于這兩課時(shí)都是基于規(guī)則的教學(xué)，尤其是第二課時(shí)，學(xué)生和教師都覺得有些枯燥無味，平實(shí)無趣. 一個(gè)看似很平常的練習(xí)題，做完之后，題目是錯(cuò)誤的，無法分解，需要改編才能分解，這對(duì)學(xué)生來說很新奇，也是一個(gè)挑戰(zhàn). 等到三位同學(xué)改編并分解因式之后，學(xué)生本來以為這一道題可以完美地畫上句號(hào)了，沒想到竟然改編第一項(xiàng)后竟然還能繼續(xù)分解，學(xué)生的探索欲望再度被激起. 一個(gè)接一個(gè)的新問題刺激著學(xué)生內(nèi)部的需要?jiǎng)訖C(jī)，并在問題的探索、發(fā)現(xiàn)、釋疑、解疑中獲得滿足.

此題本來是一個(gè)錯(cuò)題，不經(jīng)意間讓很多學(xué)生“中招”，讓學(xué)生很有新鮮感，好像磁鐵一樣緊緊吸引著學(xué)生的心，使他們一直處于最佳的精神狀態(tài)，一會(huì)兒生疑，一會(huì)兒生趣. 學(xué)生在跌宕起伏的環(huán)節(jié)中，不僅領(lǐng)會(huì)了知識(shí)的意蘊(yùn)，更享受了探索的樂趣. 整個(gè)過程，學(xué)生的主體性得以體現(xiàn)，個(gè)性得以張揚(yáng).

2. 打破練習(xí)的思維定式，本質(zhì)得以凸顯

課堂練習(xí)是學(xué)生掌握知識(shí)、形成技能、發(fā)展智力的基本途徑，是課堂教學(xué)的重要環(huán)節(jié). 本節(jié)課的課堂練習(xí)有兩道題，第一題是判斷給出的多項(xiàng)式能否分解因式，主要意圖是讓學(xué)生明晰能用完全平方公式分解因式的多項(xiàng)式的特點(diǎn)，第二題是把給出的多項(xiàng)式分解因式，主要意圖是讓學(xué)生運(yùn)用公式分解因式. 這道錯(cuò)題是第二題的第（3）小題，從學(xué)生答題的情況來看，第一題和第二題（前兩題）的正確率都很高，對(duì)于這道錯(cuò)題，學(xué)生也像前面題目的處理方法一樣，很快得出了答案，即a2-ab+b2=

a-b2，而且很多同學(xué)都得出了這樣的答案. 為什么會(huì)這樣呢？因?yàn)閷W(xué)生已有一種定式思維，本節(jié)課的主要內(nèi)容是利用完全平方公式分解因式，所以課堂練習(xí)肯定是利用這個(gè)公式分解因式，一看到是一個(gè)二次三項(xiàng)式，而且首、尾兩項(xiàng)都是帶有平方的項(xiàng)，就想當(dāng)然地利用它來分解，根本不考慮積的2倍項(xiàng)是否符合條件. 也就是說，學(xué)生在練習(xí)時(shí)根本沒有過多思維的參與，而只停留在模仿或套用公式上. 定式思維作為一種特殊的心理準(zhǔn)備狀態(tài)，在條件相似的情況下，可以簡(jiǎn)化思維程序，有利于迅速解決問題，但當(dāng)環(huán)境發(fā)生了變化，它將成為一種僵化的思維模式而影響問題的解決. 在課堂練習(xí)中，這種定式思維常常出現(xiàn)，使得當(dāng)堂課的練習(xí)正確率很高，但過一段時(shí)間之后，學(xué)生卻常常出現(xiàn)“會(huì)而不對(duì)”的現(xiàn)象，或者當(dāng)多個(gè)知識(shí)點(diǎn)綜合時(shí)，學(xué)生就會(huì)迷失方向.

這道錯(cuò)題的出現(xiàn)，于不經(jīng)意間打破了學(xué)生課堂練習(xí)的定式思維，暴露了他們思維的漏洞. 這讓學(xué)生意識(shí)到，對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)，在一定程度上可以靠模仿和記憶，但不能完全依靠，必須要有自己的思考和理性分析，否則一遇到新的問題就會(huì)原形畢露. 這也讓我們意識(shí)到，正確可能只是一種模仿，而錯(cuò)誤卻是問題的自然呈現(xiàn).

3. 學(xué)生真正經(jīng)歷，思維得以發(fā)展

根據(jù)本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)，先給出一些二次三項(xiàng)式讓學(xué)生判斷哪些可以運(yùn)用完全平方公式分解，從而總結(jié)出能用完全平方公式分解因式的特點(diǎn)，再進(jìn)行例題教學(xué)，最后進(jìn)行課堂練習(xí)與小結(jié)，整節(jié)課平實(shí)自然. 這道錯(cuò)題的出現(xiàn)，讓學(xué)生在課堂臨近結(jié)尾時(shí)真正經(jīng)歷了發(fā)現(xiàn)問題、分析問題與解決問題的思維過程. 因“中招”發(fā)現(xiàn)錯(cuò)題、改編錯(cuò)題，再將改編后的多項(xiàng)式分解因式后，可三種改編方法中有一種方法用公式分解后竟然還能分解，探索還需繼續(xù)，原來分解后的多項(xiàng)式

a-b2還有公因式可以提取，這對(duì)學(xué)生來說是一個(gè)難點(diǎn)，也是第一次遇到. 答案修正之后，“為什么會(huì)出現(xiàn)分解不徹底的問題呢？”教師的一句點(diǎn)撥，孩子們又重新審視改編后的多項(xiàng)式，最后發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)式a2-ab+b2中有公因式，把這個(gè)公因式提取后，分解因式一下子“順暢”了很多.

反思是數(shù)學(xué)活動(dòng)的核心和動(dòng)力，是發(fā)展思維的重要環(huán)節(jié). 在這個(gè)過程中，學(xué)生在不斷的反思中體驗(yàn)、理解和建構(gòu)知識(shí)，不僅掌握了本節(jié)課的核心內(nèi)容，自主建構(gòu)了因式分解的步驟和方法（這是下一課時(shí)的一個(gè)知識(shí)目標(biāo)），還感受到了反思的價(jià)值. 更重要的是，從發(fā)現(xiàn)錯(cuò)題到完美解決，整個(gè)過程都是學(xué)生在觀察、思考、嘗試、質(zhì)疑，分析、概括和反思，這種親身經(jīng)歷，讓學(xué)生思維的縝密性、批判性、創(chuàng)造性和深刻性得以逐步提升. 華東師范大學(xué)李士锜教授曾經(jīng)說過，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)看作是一個(gè)過程，而不只是一個(gè)結(jié)果. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)思維就是一個(gè)反復(fù)嘗試、探究的過程，是一個(gè)不斷修正、改進(jìn)、完善的過程. 教學(xué)只展示正確的過程是不夠的，也應(yīng)讓學(xué)生參與曲折的學(xué)習(xí)過程，通過不斷的反思、總結(jié)、交流，才能讓學(xué)生有所思、有所悟.

結(jié)語

身在教學(xué)一線，我們知道，每到因式分解這一階段的學(xué)習(xí)，學(xué)生總感覺難度很大，雖然經(jīng)過反復(fù)講解，反復(fù)訓(xùn)練，但收效都不是很好. 本節(jié)課，發(fā)揮一道錯(cuò)題的探究?jī)r(jià)值，讓學(xué)生經(jīng)歷了因式分解的方法和步驟，使得學(xué)生的錯(cuò)誤率明顯降低，尤其是分解不徹底的現(xiàn)象幾乎沒有了，這讓筆者有些欣喜和意外. 我想，這也許就是這道錯(cuò)題所發(fā)揮的作用吧！

整章結(jié)束之后，還有同學(xué)向我談起“錯(cuò)題事件”：“老師，我學(xué)會(huì)了反思！”“老師，那道錯(cuò)題真好玩！”是啊，反思讓我們深刻，“好玩”是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)持久的動(dòng)力. 其實(shí)，在課堂教學(xué)中，有很多的素材都可以發(fā)揮它的價(jià)值，有很多方法都可以讓學(xué)生感受到“數(shù)學(xué)好玩”，比如過程方法的優(yōu)美、思路的簡(jiǎn)潔、視角的獨(dú)特，不同方法的殊途同歸，問題結(jié)果的出乎意料，等等，還有，制造“錯(cuò)題事件”. 只要我們對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)充滿激情，學(xué)生會(huì)永遠(yuǎn)覺得“數(shù)學(xué)好玩”！