胡 華，謝金華(1.廈門(mén)大學(xué) 建筑與土木工程學(xué)院, 福建 廈門(mén) 361005,2.廈門(mén)大學(xué) 嘉庚學(xué)院， 福建 漳州 363105； 3.廈門(mén)大學(xué) 深圳研究院， 廣東 深圳 518057)

改進(jìn)的不等時(shí)距灰色馬爾科夫模型在邊坡位移預(yù)測(cè)中的應(yīng)用

胡 華1,2,3，謝金華1,2
(1.廈門(mén)大學(xué) 建筑與土木工程學(xué)院, 福建 廈門(mén) 361005,2.廈門(mén)大學(xué) 嘉庚學(xué)院， 福建 漳州 363105； 3.廈門(mén)大學(xué) 深圳研究院， 廣東 深圳 518057)

研究了改進(jìn)的不等時(shí)距灰色馬爾科夫模型在邊坡位移預(yù)測(cè)中的應(yīng)用，先用S型函數(shù)對(duì)廈門(mén)某邊坡的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行平滑處理，然后用平滑后的數(shù)據(jù)建立不等時(shí)距灰色GM(1,1)模型，最后用改進(jìn)的計(jì)算公式求得馬爾科夫模擬值和預(yù)測(cè)值。結(jié)果表明改進(jìn)后的不等時(shí)距灰色馬爾科夫GM(1,1)模型的擬合精度和預(yù)測(cè)精度有了很大的提高，對(duì)邊坡穩(wěn)定性預(yù)測(cè)有一定的參考價(jià)值。

灰色馬爾科夫模型；邊坡位移預(yù)測(cè)；S型函數(shù)

邊坡是一個(gè)受到多種因素影響而發(fā)展演化成的非線性開(kāi)放系統(tǒng)。邊坡的演進(jìn)和破壞具有隨機(jī)性和不確定性，而邊坡的位移變化攜帶了邊坡破壞的重要信息，因此，對(duì)邊坡內(nèi)部位移監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，并建立相應(yīng)的預(yù)測(cè)模型，對(duì)保證邊坡安全、掌握巖土結(jié)構(gòu)的形成、發(fā)展、未來(lái)的發(fā)展趨勢(shì)及其變化規(guī)律具有十分重要的意義?，F(xiàn)有的邊坡位移監(jiān)測(cè)資料分析方法很多，主要有多元回歸分析方法[1]、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分析方法[2]、時(shí)間序列分析方法[3]等，這些方法大都需要建立在大樣本的基礎(chǔ)之上，而邊坡的位移變化往往受多種因素的影響，具有隨機(jī)性和復(fù)雜性，這些方法很難對(duì)邊坡的位移變化趨勢(shì)做出可靠的預(yù)測(cè)。經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，灰色系統(tǒng)理論非常適用于“小樣本，貧信息”的預(yù)測(cè)，通過(guò)已有的數(shù)據(jù)信息來(lái)擬合反應(yīng)數(shù)據(jù)行為特征的曲線，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對(duì)未來(lái)行為的預(yù)測(cè)[4-5]。近年來(lái)，基于灰色系統(tǒng)模型的位移預(yù)測(cè)方法越來(lái)越引起人們的重視，被證明是一種很好的位移預(yù)測(cè)方法，但是當(dāng)數(shù)據(jù)序列波動(dòng)較大或者數(shù)據(jù)序列較長(zhǎng)時(shí)，傳統(tǒng)的灰色系統(tǒng)模型往往很難得到理想的預(yù)測(cè)結(jié)果。針對(duì)上述現(xiàn)象，有學(xué)者提出，先對(duì)數(shù)據(jù)序列進(jìn)行平滑處理，然后再建模預(yù)測(cè)，并獲得了良好的預(yù)測(cè)結(jié)果[6]。也有研究人員提出基于灰色系統(tǒng)的組合模型，如灰色BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型[7]、灰色馬爾科夫模型[8-12]等，其中灰色馬爾科夫模型的提出使得灰色模型的預(yù)測(cè)精度有了很大的提高，但是傳統(tǒng)的灰色馬爾科夫模型不能滿(mǎn)足預(yù)測(cè)精度的需要。因此，很多學(xué)者對(duì)灰色馬爾科夫模型進(jìn)行了改進(jìn)[13-16]，這使得灰色馬爾科夫模型的預(yù)測(cè)精度有了進(jìn)一步提高。

S型函數(shù)能夠把數(shù)據(jù)序列壓縮到(0,1)這個(gè)小區(qū)間內(nèi)，使原始數(shù)據(jù)變得光滑，該文先用S型函數(shù)對(duì)廈門(mén)市金尚路的路基邊坡實(shí)際監(jiān)測(cè)水平位移數(shù)據(jù)序列進(jìn)行平滑處理，然后再用平滑后的數(shù)據(jù)建立不等時(shí)距GM(1,1)模型，并采用新的公式計(jì)算馬爾科夫模擬值，結(jié)果表明預(yù)測(cè)精度有了很大程度的提高，對(duì)邊坡穩(wěn)定性預(yù)測(cè)有一定的參考價(jià)值。

1 灰色系統(tǒng)GM(1,1)模型建模原理

灰色系統(tǒng)理論的主要觀點(diǎn)是先對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行累加處理，建立數(shù)學(xué)模型，然后再進(jìn)行預(yù)測(cè)。累加生成是灰色系統(tǒng)建模的一種常用生成方法，記作AGO，累加生成可以知曉數(shù)據(jù)積累過(guò)程的發(fā)展趨勢(shì)。設(shè)原始離散數(shù)據(jù)序列：

x(0)=[x(0)(1)，x(0)(2)，……，x(0)(n)]

(1)

其中Δtk=tk-tk-1=1(k=1,2,……,n)，對(duì)x(0)作一次累加生成得到新的數(shù)列：

x(1)=[x(1)(1)，x(1)(2)，……，x(1)(n)]

(2)

式(2)的元素

(3)

x(1)(tk)的時(shí)間響應(yīng)表達(dá)式為：

(4)

其中a、u為待定參數(shù)，用最小二乘法就可以將參數(shù)a、u解出來(lái)。其中a叫做發(fā)展系數(shù)，反映增長(zhǎng)趨勢(shì)，u叫做灰作用量。

(5)

(6)

Y={x(0)(t2)，x(0)(t3)，…，x(0)(tn)}T

(7)

(8)

2 預(yù)測(cè)模型的改進(jìn)和建模方法

2.1 改進(jìn)不等時(shí)距GM(1,1)模型的建模原理

建模前，用S型函數(shù)對(duì)原監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行光滑處理。S型函數(shù)的表達(dá)式為f(x)=1/(1+e-x)該函數(shù)能夠把數(shù)據(jù)壓縮到(0,1)這個(gè)小區(qū)間內(nèi)，使原始數(shù)據(jù)變得光滑。用S型函數(shù)處理后的數(shù)據(jù)進(jìn)行建模往往能夠提高模型的預(yù)測(cè)精度。具體方法如下，設(shè)有一組不等時(shí)距監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)序列：

x(0)=[x(0)(t1)，x(0)(t2)，…,x(0)(tn)]

(9)

其中，Δtk=tk-tk-1≠1(k=1,2,…,n)，k為離散數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的時(shí)間。用S型函數(shù)處理后變?yōu)椋?/p>

x(00)=[x(00)(t1)，x(00)(t2)，…,x(00)(tn)]

(10)

對(duì)光滑處理后的數(shù)據(jù)進(jìn)行累加處理有：

x(01)(tk)=x(00)(t1)×Δt1+…+x(00)(tk)×Δtk

(11)

(12)

數(shù)據(jù)累減還原考慮時(shí)間因子Δtk后得到灰微分方程：

dx(01)(tk)/dt+αx(01)(tk)=u

(13)

求解灰微分方程就可以得到改進(jìn)不等時(shí)距數(shù)列微分方程的時(shí)間響應(yīng)公式：

(14)

(15)

2.2 不等時(shí)距GM(1,1)模型灰參數(shù)的求解

(16)

累加生成數(shù)據(jù)與模擬值之間應(yīng)存在下列關(guān)系：

(17)

(18)

解方程可得：

(19)

(20)

(21)

(22)

其中，tkn則為預(yù)測(cè)值。

2.3 改進(jìn)馬爾科夫預(yù)測(cè)模型的建模步驟

使用傳統(tǒng)的公式計(jì)算得到的不等時(shí)距灰色馬爾科夫模擬值和預(yù)測(cè)值的誤差較大，該文將采用新的公式計(jì)算模擬值和預(yù)測(cè)值。

(1) 劃分馬爾科夫狀態(tài)。結(jié)合邊坡位移數(shù)據(jù)樣本，根據(jù)相對(duì)殘差的取值范圍進(jìn)行馬爾科夫狀態(tài)劃分。

(2) 確定狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣。狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣?yán)锏拿總€(gè)元素的計(jì)算公式如下：Pij=Nij/Ni，其中Ni為狀態(tài)i發(fā)生轉(zhuǎn)移的次數(shù)，Nij為狀態(tài)i轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j出現(xiàn)的次數(shù)，Pij為狀態(tài)i轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j發(fā)生的概率。

(3) 改進(jìn)馬爾科夫模擬值的計(jì)算方法。由狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣和各個(gè)模擬值所處的狀態(tài)可以確定灰色馬爾科夫模擬值。傳統(tǒng)的馬爾科夫模擬值的計(jì)算公式如下：

(24)

改進(jìn)的計(jì)算公式如下：

(25)

其中：

3 改進(jìn)的不等時(shí)距灰色馬爾科夫GM(1,1)在邊坡位移預(yù)測(cè)中的運(yùn)用

以廈門(mén)市金尚路的路基邊坡為例。本邊坡工程大致為北西—南東走向，傾向北東，總體呈倒L形，長(zhǎng)約142 m，坡高約6.7 m～9.0 m，邊坡較陡，坡度約60°～75°。現(xiàn)場(chǎng)的7個(gè)沉降觀測(cè)點(diǎn)及7個(gè)水平位移觀測(cè)點(diǎn)布置在邊坡頂上；35個(gè)沉降觀測(cè)點(diǎn)布置在邊坡坡頂?shù)慕ㄖ锷?。監(jiān)測(cè)精度為1 mm。由于監(jiān)測(cè)點(diǎn)眾多，現(xiàn)在以CX3監(jiān)測(cè)點(diǎn)2月28日以后的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)為依據(jù)，用S型函數(shù)進(jìn)行光滑處理，然后進(jìn)行建模和位移預(yù)測(cè)，以驗(yàn)證改進(jìn)的不等時(shí)距灰色馬爾科夫模型的準(zhǔn)確性和其用于位移預(yù)測(cè)的有效性。監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)見(jiàn)表1。

表1 CX3監(jiān)測(cè)點(diǎn)的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)

3.1 建模過(guò)程及計(jì)算

3.1.1 初始位移序列

由表1可得到

x(0)={x(0)(t1)，x(0)(t2)，…x(0)(tn)}=

{3.45，3.50，3.60，3.75，3.80，3.90，3.90，3.90}

(26)

用S型函數(shù)處理后稱(chēng)為新的序列

x(00)=[x(00)(t1)，x(00)(t2)，…x(00)(tn)]=

[0.969231,0.970688,0.973403,0.977023,0.978119,

0.980160,0.980160,0.980160]

(27)

3.1.2 可行性判斷

可以證明x(0)和x(00)都是準(zhǔn)光滑序列，可以直接用初始數(shù)列進(jìn)行建模。由下圖1也可以看出x(00)序列趨近于一條直線，光滑度明顯比x(0)的光滑度要高，同樣也可以證明下式成立。

(28)

圖1 光滑性對(duì)比圖

3.1.3 累加生成數(shù)列

原始監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)累加生成后的序列為

x(1)=[x(1)(1)，x(1)(2)，……,x(1)(n)]=[24.15,

38.15,48.95,63.95,75.35,90.95,102.65,118.25]

(29)

S型函數(shù)累加生成后的序列為：

x(01)=[x(01)(1)，x(01)(2)，……,x(01)(n)]=

[6.784617，10.667369，13.587578，17.495670，

20.430027，24.350667，27.291147，31.211787]

(30)

3.1.4 確定不等時(shí)距GM(1,1)模型方程

(31)

根據(jù)初始?xì)埐罱?duì)應(yīng)的殘差模型如下：

(32)

最終的灰色GM(1,1)模型方程為：

(33)

(34)

累減還原后可以得到不等時(shí)距GM(1,1)模擬值，改進(jìn)的不等時(shí)距模擬值與實(shí)際值對(duì)比見(jiàn)表2。

表2 模擬值與實(shí)際值比較

由表2可以計(jì)算出改進(jìn)后的模型在原基礎(chǔ)上均誤差和相對(duì)均誤差減小了33.33%和31.82%，可見(jiàn)用S函數(shù)平滑處理原始數(shù)據(jù)再建模能提高模型的模擬精度。

3.2 改進(jìn)的灰色不等時(shí)距馬爾科夫模型

3.2.1 劃分馬爾科夫狀態(tài)

結(jié)合表2中的數(shù)據(jù)，根據(jù)相對(duì)殘差的取值范圍可以將CX3號(hào)監(jiān)測(cè)點(diǎn)的馬爾科夫狀態(tài)劃分為4個(gè)不同的狀態(tài)，其劃分情況見(jiàn)表3。

表3 狀態(tài)劃分

3.2.2 確定狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣

根據(jù)公式Pij=Nij/Nj計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣?yán)锏拿總€(gè)元素。求得原模型和改進(jìn)模型的一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣P(1)和P(01)：

3.2.3 計(jì)算改進(jìn)的馬爾科夫模擬值

t2的數(shù)據(jù)處于E01狀態(tài)，故設(shè)初始向p(02)=[1,0,0,0]，則有：

由表4可以看出，改進(jìn)后模型的誤差有了明顯的降低，使用S型函數(shù)平滑處理原始數(shù)據(jù)的同時(shí)采用改進(jìn)的計(jì)算公式計(jì)算模擬值能大大減小模型的誤差。

3.3 利用模型預(yù)測(cè)

用灰色系統(tǒng)模型和灰色馬爾科夫模型可以對(duì)未來(lái)的位移值進(jìn)行預(yù)測(cè)。預(yù)測(cè)結(jié)果見(jiàn)表5。

表4 改進(jìn)馬爾科夫模擬值與馬爾科夫模擬值對(duì)比

4 結(jié) 論

本文針對(duì)傳統(tǒng)的不等時(shí)距灰色馬爾科夫預(yù)測(cè)模型的不足，用經(jīng)過(guò)S型函數(shù)平滑后的數(shù)據(jù)建立不等時(shí)距GM(1,1)模型，改進(jìn)不等時(shí)距馬爾科夫GM(1,1)模型模擬值和預(yù)測(cè)值的計(jì)算方法，對(duì)路基邊坡位移進(jìn)行了模型檢驗(yàn)和位移預(yù)測(cè)。初步得出以下結(jié)論：

(1) 模型③在模型①的基礎(chǔ)上誤差和相對(duì)誤差分別減小了8.33%和10.07%，采用S型函數(shù)平滑處理數(shù)據(jù)，能使數(shù)據(jù)變得平滑，進(jìn)而減小模型的誤差。

(2) 模型②在模型①的基礎(chǔ)上誤差和相對(duì)誤差分別減小了27.78%和28.10%，而模型④在模型①的基礎(chǔ)上誤差和相對(duì)誤差分別減小了44.44%和45.28%，使用改進(jìn)的公式計(jì)算不等時(shí)距馬爾科夫模擬值能大大提高模型的預(yù)測(cè)精度。

(3) 隨著時(shí)間延續(xù)，不等時(shí)距馬爾科夫模型的模擬精度下降。

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Application of Improved Unequal time Interval gray Markov Model in Roadbed Slope Displacement Prediction

HU Hua1,2,3, XIE Jinhua1,2

(1.CollegeofArchitectureandCivilEngineeringofXiamenUniversity,Xiamen,Fujian361005,China；2.XiamenUniversityTanKahKeeCollege,Zhangzhou,Fujian363105,China；3.ResearchInstituteofXiamenUniversityinShenzhen,Shenzhen,Guangdong518057,China)

Grey Markov model has been widely used in displacement prediction, but the accuracy of the predicting results obtained from the unequal time interval gray Markov model directly established by using the actual measurement data is low, and the error of using the traditional formula to calculate the unequal time interval gray Markov simulation value and the prediction value is large. In response to these deficiencies, this paper studies the application of an improved unequal time interval gray Markov model in slope displacement prediction. First, the actual measured data of a side slope in Xiamen are smoothed by using the S function, and then the unequal interval grey GM(1,1) model was established with the smoothed data, finally the improved formula was adopted to calculate the Markov simulation value and predictive value. Results show that the improved unequal interval grey Markov GM(1,1) model's fitting precision and prediction precision has been greatly improved, and it has some reference value to the slope stability prediction.

grey Markov Model; slope displacement prediction; sigmoid function

10.3969/j.issn.1672-1144.2016.06.001

2016-08-19

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51278437)；廣東省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2014A030313006)；福建省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2015J01224)

胡 華(1968—)，男，湖北孝感人，教授，主要從事巖土力學(xué)、巖土工程減災(zāi)等方面的研究工作。 E-mail：xmhuh@xmu.edu.cn

謝金華(1988—)，男，湖北隨州人，碩士研究生，研究方向?yàn)閹r土工程數(shù)值模擬。 E-mail：1043129437@qq.com

U416.1+4

A

1672—1144(2016)06—0001—06