◇ 江蘇 許建春

不等式恒成立問題的探討

◇ 江蘇 許建春

不等式恒成立問題涉及內(nèi)容廣、難度大、綜合性強,是高考重點考查內(nèi)容之一.此類問題在解決時涉及函數(shù)方程、數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化、分類討論等思想,對于提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題等思維能力有重要幫助.下面結(jié)合具體教學(xué)案例,對不等式恒成立問題的解題方法進(jìn)行探討和總結(jié).

1 利用根的判別式

例1已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋3－a,在R上f(x)≥0恒成立,求a的取值范圍.

解析

2 利用集合間的關(guān)系

利用集合間的關(guān)系解決不等式恒成立問題,應(yīng)先解出未知取值范圍的變量,根據(jù)“[m,n]?[f(a),g(a)],則f(a)≤m且g(a)≥n”這一關(guān)系列不等式,即可求出a的取值范圍.

例2當(dāng)x∈(,3)時,|logax|＜1恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

3 分離參數(shù)

把不等式進(jìn)行恒等變形使參數(shù)與主元分離,求主元函數(shù)的最值,得出參數(shù)范圍.如:

若a≥f(x)恒成立,則a≥fmax(x);

若a≤f(x)恒成立,則a≤fmin(x),然后求出f(x)的最大或最小值即可.

例3已知x2＋2x＋a＞0在x∈[1,＋∞)時恒成立,求a的取值范圍.

解析

分離參數(shù)得a＞－x2－2x,把求a的取值范圍轉(zhuǎn)化為求f(x)＝－x2－2x在x∈[1,＋∞)上的最大值.因為二次函數(shù)f(x)＝－x2－2x在[1,＋∞)是減函數(shù),易求得f(x)的最大值,得出a的取值范圍.利用主元與參數(shù)分離的方法解決不等式恒成立的問題,思路清晰,過程簡單,是一種常用的解題方法.

4 數(shù)形結(jié)合

數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中的重要思想方法,通過數(shù)形結(jié)合可以使抽象的問題形象化,大大降低題目的難度.在解決不等式恒成立問題時,利用函數(shù)圖象與不等式之間的關(guān)系:當(dāng)f(x)＞h(x),函數(shù)f(x)圖象恒在函數(shù)h(x)圖象上方;當(dāng)f(x)＜h(x)時,函數(shù)f(x)圖象恒在函數(shù)h(x)圖象下方.把不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化成圖形去解決,使運算簡單、快捷.

例4已知不等式3x2－logax＜0在x∈(0,1/3)內(nèi)恒成立,求a的取值范圍.

解析

通過對不等式移項變形得到3x2＜logax,把不等式轉(zhuǎn)化為2個函數(shù)f(x)＝3x2,h(x)＝logax.畫出2個函數(shù)的圖象,根據(jù)圖象進(jìn)行大小比較.

通過圖象可以發(fā)現(xiàn)x∈(0,1/3)范圍內(nèi),當(dāng)a＞1時,f(x)＝3x2的圖象在h(x)＝logax圖象的上方,這種情況不成立;當(dāng)0＜a＜1時,由圖象(如圖1)可知,h(x)＝logax過點A(1/3,1/3)或在點A的上方,得loga(1/3)≥1/3,解出a的取值范圍,得出結(jié)論.

總之,不等式恒成立問題的解法靈活多樣,在具體的解題中需要運用化歸轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想,應(yīng)注意解題方法的選用,進(jìn)而化繁為簡,提高解題效率.

圖1

(作者單位:江蘇省東臺市安豐中學(xué))