牛祥秋

(遼寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,遼寧 大連 116029)

Markov鏈利率下再保險模型的破產(chǎn)概率上界*

牛祥秋

(遼寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,遼寧 大連 116029)

研究了如何確定離散時間情況下再保險模型破產(chǎn)概率上界的問題.為了降低自身的破產(chǎn)風(fēng)險,保險公司常常對部分乃至全部資產(chǎn)進(jìn)行再保險.假定索賠間隔時間和索賠額具有一階自回歸結(jié)構(gòu),假定利率過程為取值于可數(shù)狀態(tài)空間的Markov鏈.建立了其比例再保險模型,分別用遞歸更新技巧和鞅方法得到模型的破產(chǎn)概率上界.該破產(chǎn)概率上界作為評估再保險公司償付能力和風(fēng)險控制能力的重要指標(biāo),對于它的研究成果能為再保險人做出重大決策提供重要的依據(jù),具有較為重要的理論和現(xiàn)實意義.

概率論; 上界; 鞅; 比例再保險; 破產(chǎn)概率; Markov鏈利率

1 引 言

破產(chǎn)概率是風(fēng)險研究的內(nèi)容之一.保險公司為了降低破產(chǎn)風(fēng)險而傾向于把部分甚至是全部資產(chǎn)進(jìn)行再保險,因此對再保險破產(chǎn)概率的研究很具有現(xiàn)實意義. Cai(2002a)研究了利率為獨立同分布的隨機(jī)變量情形的離散時間風(fēng)險模型破產(chǎn)概率上界估計[1];Cai(2002b)研究了利率為一階自回歸情形的離散時間風(fēng)險模型破產(chǎn)概率上界估計[2].Cai，Dickson(2004)考慮了利率為Markov鏈形式的風(fēng)險模型,并且分別用遞歸方法和鞅方法得出了破產(chǎn)概率的上界[3]; Yang,Zhang(2003)研究了保費和索賠額具有一階自回歸結(jié)構(gòu)的常利率風(fēng)險模型,得到破產(chǎn)概率的指數(shù)型和非指數(shù)型上界[4]; Lin,Wang(2006)研究了凈損失額(索賠額減去保費)具有一階自回歸結(jié)構(gòu),利率為Markov鏈形式的風(fēng)險模型,并且分別用歸納法和鞅方法得出了破產(chǎn)概率的上界[5];郭風(fēng)龍,王定成(2012)研究了保費收入和利率均具有Markov鏈形式的風(fēng)險模型,運用遞歸更新方法得到破產(chǎn)概率的Lundberg型上界[6].魏龍飛(2016)研究了索賠和利率過程分別為2個自回歸移動平均結(jié)構(gòu)模型的情形,運用遞歸更新方法得到破產(chǎn)概率的上界估計并對兩類風(fēng)險模型的破產(chǎn)概率的上界進(jìn)行了比較[7].程建華,王德輝(2012)研究了保費和索賠額具有一階自回歸結(jié)構(gòu)而利率為Markov鏈形式的風(fēng)險模型,針對保費的期初收取和期末收取的兩種情況,分別用鞅方法得到其各自的破產(chǎn)概率上界[8].Diasparra,Romera(2009)研究了利率為Markov鏈形式而索賠間隔時間和索賠額均為獨立同分布的非負(fù)隨機(jī)變量序列的再保險風(fēng)險模型,同樣是用兩種方法得到破產(chǎn)概率的上界[9];基于文獻(xiàn)[9],王麗霞,李雙東(2014)運用更新遞歸方法研究了利率具有一階自回歸結(jié)構(gòu)的再保險模型的破產(chǎn)概率上界[10].是在文獻(xiàn)[9]模型的基礎(chǔ)上,考慮索賠間隔時間和索賠額具有一階自回歸結(jié)構(gòu)而利率為取值于可數(shù)狀態(tài)空間的齊次Markov鏈形式結(jié)構(gòu)的比例再保險情形.運用遞歸更新技巧得到比例再保險模型的破產(chǎn)概率的微積分形式,并利用歸納法給出破產(chǎn)概率的Lundberg型上界;運用鞅方法得出模型的破產(chǎn)概率的上界估計.

2 再保險模型

考慮如下的離散時間再保險模型[9]

(1)

這里Un是第n時期的資本盈余,初始盈余U0=u≥0.隨機(jī)變量In表示第n時期的利息率,隨機(jī)變量Yn為第n時期的理賠支出,即索賠額,隨機(jī)變量Xn表示從第n-1次索賠發(fā)生到第n次索賠發(fā)生的間隔時間.假定{Yn,n=0,1,2,…}和{Xn,n=0,1,2,…} 均具有一階自回歸結(jié)構(gòu)

(2)

(3)

它們等價于:

n=1,2,…,

n=1,2,….

當(dāng)自留水平b=1時,表示不存在再保險的情況.本文中,只考慮常值的比例再保險的情況,即:

(4)

由式(1)和式(4),能夠得到

(5)

(6)

類似地,策略b下有限時間破產(chǎn)概率為:

3 破產(chǎn)概率的微積分方程形式及其上界

3.1 破產(chǎn)概率的微積分方程形式

以下給出破產(chǎn)概率滿足的遞推公式．

(7)

并且對任意的n=1,2,… ,有

(8)

進(jìn)而,

ψb(u,x0,y0,is)

(9)

證明 給出W1=w,Z1=z,I1=it,則由式(5)知

即此時,

(10)

百尺竿頭更進(jìn)一步，中流擊水正當(dāng)其時。站在新時代的新起點上，民族復(fù)興的偉大夢想催人奮進(jìn)、企業(yè)發(fā)展的宏偉目標(biāo)激發(fā)豪情。新一代蘭州石化人正以苦干實干、砥礪前行的姿態(tài)，以時不我待、只爭朝夕的精神，在加快建成一流綜合性煉化企業(yè)的進(jìn)程中，展現(xiàn)新氣象、展示新作為、再創(chuàng)新局面。

(11)

同理,能夠得到

此時,由式(5)結(jié)合式(11)對于τ≥0,能夠得到

由此,基于式(10)并結(jié)合上式,得到

(12)

從而得證式(8).特別地,當(dāng)n=1時,式(7)成立.

3.2 利用歸納法得到的上界

利用定理1得到的結(jié)論,采用歸納法而得到破產(chǎn)概率的Lundberg形式的上界.然后推導(dǎo)出一個NWUC序列下的最終破產(chǎn)概率.

(13)

證明 用歸納法給出證明.對任意的υ≥0,有

(14)

(15)

則由式(15)代入式(7),可得

此式即說明n=1時,滿足定理.為了證明對于任意n≥1的情況定理仍然成立,首先作歸納假設(shè),假定

(16)

則當(dāng)z≤?時,

(17)

因此,把式(17)和式(14)代入式(8)里,得到

dG(z)dF(w)

由此,式(16)對于任意的n≥1恒成立.令式(16)中的n→,即得到式(13).

當(dāng)定理1的分布函數(shù)H為一個NWUC分布的特殊情況時,有了下面的推論.

推論1 在定理1的結(jié)論下,若G是一個NWUC分布,那么對任意的u≥0有

ψb(u,x0,y0,is)

≤(E[eRb(γy0+zl)])-1E[e-Ru(1+I1)|I0=is].

4 鞅方法得到的破產(chǎn)概率上界

除了第三節(jié)給出的破產(chǎn)概率上界推導(dǎo)方法外,存在另一種破產(chǎn)概率上界的求法,即鞅方法.

首先給出如下引理．

為了推導(dǎo)出一個破產(chǎn)概率的上界,首先需要獲得一個上鞅.令

定理3 對于u≥0,α≥γ和x0≥y0≥0,如果α≤i且存在R1>0,滿足

(18)

則

(19)

其中,

又因α≤i可知

(20)

將式(20)代入到式(19)中即知道

是一個上鞅.

顯然,對任意給定的n≥1,T∧n是一個有界停時.由可選抽樣定理知

(21)

從而得證.

5 結(jié) 論

隨著中國的保險市場逐步與國際接軌,各保險公司越來越重視到再保險的重要性.保險公司通過再保險旨在分散和控制風(fēng)險以達(dá)到降低破產(chǎn)發(fā)生的概率.而索賠間隔時間,索賠額,利率以及分保費比例等因素直接影響到破產(chǎn)發(fā)生的概率.基于此,論文考慮了利率、索賠額和索賠的時間間隔的相依情形對比例再保險模型破產(chǎn)概率的影響.分別運用了更新遞歸技巧和鞅方法兩種方法得到模型的兩種破產(chǎn)概率的上界估計.由此來分析各因素的變化對再保險模型破產(chǎn)概率的影響,具有重要的現(xiàn)實意義.

對于再保險的研究主要分為比例再保險和超額損失再保險兩個方向.文中僅考慮了比例再保險的情形,未有涉及超額損失再保險情形.接下來會對超額損失再保險作進(jìn)一步研究.

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Upper Bound for the Ruin Probability Under Risk Model of Reinsurance with Markov Chain Interest Rate

Niu Xiang-qiu

(School of Mathematics, Liaoning Normal University, Dalian, Liaoning 116029, China)

Upper bounds for the ruin probability of reinsurance were studied in a discrete time risk model. To reduce the risk, there is a possibility to reinsure a part or the whole reserve. In the model, the time between the occurrence of the claims and the claims were assumed to be the AR(1) structure, the interest rates followed a Markov chain with a denumerable state space. The risk model of proportional reinsurance was considered. The upper bounds for the ruin probability were derived both by renewal recursive technique and martingale method. As an important indicator of the abilities of solvency and risk management, the research of the ruin probability can provide an important basis for reinsurer's major decisions, so it has important theoretical and practical significance.

probability theory; upper bound ; Martingale; proportional reinsurance; Markov chain interest rate

2016-05-21

牛祥秋(1989—)，男,山東菏澤人,碩士研究生E-mail:newxiangqiu@163.com

O211.9

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