趙云河　王剛　王林

【摘要】同構(gòu)是對(duì)代數(shù)結(jié)構(gòu)進(jìn)行比較和分類的最好方法，它也是解決實(shí)際問(wèn)題的一種具體的手段和重要的工具.高等代數(shù)教學(xué)中要重視同構(gòu)概念的教學(xué)，要從概念的引入，例題、習(xí)題的補(bǔ)充，同構(gòu)思想的運(yùn)用等方面入手，讓學(xué)生充分理解同構(gòu)的概念，強(qiáng)化學(xué)生的同構(gòu)思想，提高同構(gòu)概念教學(xué)的有效性，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.

【關(guān)鍵詞】高等代數(shù)；同構(gòu)；教學(xué)

【基金項(xiàng)目】云南財(cái)經(jīng)大學(xué)課程建設(shè)基金項(xiàng)目——線性代數(shù)精品課程建設(shè)（YC41611350005）.

【中圖分類號(hào)】G642 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

一、問(wèn)題的引入

在向量空間中，同構(gòu)的概念和思想如下：

定義：設(shè)V和W是數(shù)域F上的兩個(gè)向量空間.V到W的一個(gè)映射f 叫作一個(gè)同構(gòu)映射，如果

（?。ゝ 是V到W的一一映射；

（ⅱ）對(duì)于任意ξ，η∈V，f（ξ+η）=f（ξ）+f（η）；

（ⅲ） 對(duì)于任意a∈F，ξ∈V，f（aξ）=af（ξ）.

如果數(shù)域F上兩個(gè)向量空間V與W之間可以建立一個(gè)同構(gòu)映射，那么就說(shuō)V與W同構(gòu).

高等代數(shù)主要研究的一個(gè)對(duì)象是代數(shù)結(jié)構(gòu)，而對(duì)代數(shù)結(jié)構(gòu)進(jìn)行比較和分類的最好方法就是同構(gòu).同構(gòu)思想是代數(shù)學(xué)中一種非常重要而又常見(jiàn)的思想，在高等代數(shù)中的應(yīng)用也非常廣泛，它是研究代數(shù)結(jié)構(gòu)的共性和差異的一種思想方法，它不但是宏觀上進(jìn)行重大課題研究的重要思想，而且也是解決實(shí)際問(wèn)題的一種具體的手段和工具.同構(gòu)思想表明，若兩個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)同構(gòu)，則它們是一種等價(jià)關(guān)系，將具有相同的代數(shù)性質(zhì)，它告訴我們一個(gè)非常深刻的道理，就是兩個(gè)集合盡管元素完全不同，運(yùn)算也各異，但從代數(shù)結(jié)構(gòu)角度來(lái)看，可以視為本質(zhì)上是一模一樣的，這就是同構(gòu)的思想.如果兩個(gè)向量空間是同構(gòu)的，那么一個(gè)向量空間所具有的運(yùn)算性質(zhì)，另一個(gè)向量空間必具有相同的運(yùn)算性質(zhì).于是在研究一些相對(duì)抽象的代數(shù)結(jié)構(gòu)時(shí)，我們可以通過(guò)建立一個(gè)同構(gòu)映射，把它轉(zhuǎn)化到一些相對(duì)具體的代數(shù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)上來(lái)討論，達(dá)到化難為易，化繁為簡(jiǎn)的功效.

在高等代數(shù)教學(xué)中，教師講清楚同構(gòu)這部分內(nèi)容，并恰當(dāng)?shù)匕淹瑯?gòu)思想滲透到教學(xué)中，通過(guò)習(xí)題求解的訓(xùn)練，讓學(xué)生不僅能夠使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化產(chǎn)生自信心，而且能逐步形成運(yùn)用同構(gòu)的思想方法解決實(shí)際問(wèn)題的思維模式和思維習(xí)慣，對(duì)后續(xù)課程的學(xué)習(xí)產(chǎn)生積極影響.

如何進(jìn)行同構(gòu)概念的教學(xué)，學(xué)生接受情況又如何，是教師應(yīng)認(rèn)真進(jìn)行準(zhǔn)備和調(diào)研的，這對(duì)有效進(jìn)行教學(xué)非常重要.

二、同構(gòu)概念教學(xué)的現(xiàn)狀及實(shí)踐

在對(duì)正在學(xué)和已學(xué)過(guò)高等代數(shù)的同學(xué)進(jìn)行調(diào)查時(shí)發(fā)現(xiàn)，許多同學(xué)對(duì)同構(gòu)概念提出了以下幾個(gè)問(wèn)題：

（1）我們知道同構(gòu)是個(gè)映射，但不知它想說(shuō)明什么？

（2）老師一直強(qiáng)調(diào)同構(gòu)很重要，但至今我們也不知同構(gòu)能有什么用？

（3）教材中除了“同構(gòu)”一節(jié)提到同構(gòu)概念外，為什么其他章節(jié)好像再也沒(méi)見(jiàn)到明確“同構(gòu)”作用的內(nèi)容？

從調(diào)查及與同學(xué)們的交流我們知道，絕大多數(shù)同學(xué)對(duì)同構(gòu)概念很不清楚，不知道學(xué)習(xí)它的意義，更不了解它有何作用.這一方面說(shuō)明了同構(gòu)概念學(xué)習(xí)的難處，另一方面也說(shuō)明任課教師在教學(xué)上有一定的責(zé)任.在教學(xué)中，我們應(yīng)注意以下幾點(diǎn).

1.讓學(xué)生充分理解同構(gòu)概念及其意義

我們的教學(xué)安排是大學(xué)一年級(jí)上、下兩學(xué)期學(xué)習(xí)高等代數(shù).對(duì)于大一的學(xué)生來(lái)說(shuō)，還沒(méi)對(duì)向量空間這一抽象概念完全領(lǐng)悟，又進(jìn)入其下的同構(gòu)概念的學(xué)習(xí)，懵懵懂懂跟著老師的腳步走，理解和掌握的難度可想而知.尤其對(duì)張禾瑞《高等代數(shù)》“向量空間的同構(gòu)”一節(jié)的這段話“一個(gè)向量空間就是一個(gè)帶有加法和標(biāo)量與向量的乘法的集合.我們的著眼點(diǎn)主要在于運(yùn)算，至于這個(gè)集合的元素是什么對(duì)我們來(lái)說(shuō)是無(wú)關(guān)緊要的.從這個(gè)意義上來(lái)講，同構(gòu)的向量空間本質(zhì)上可以看成一樣的”很難理解.對(duì)教材的結(jié)論和性質(zhì)學(xué)生往往只能死記硬背，知其然而不知其所以然，更不會(huì)靈活運(yùn)用.

為了能使學(xué)生容易理解和掌握同構(gòu)的概念，我們?cè)谥v解時(shí)可先引入這樣一個(gè)例子：在中學(xué)我們學(xué)過(guò)復(fù)數(shù)a+bi，a，b∈R，那么為什么復(fù)數(shù)還能用平面上的點(diǎn)（a，b）表示呢？我們發(fā)現(xiàn)：

（1）全體復(fù)數(shù)a+bi，a，b∈R與平面上的點(diǎn)（a，b），a，b∈R存在一一映射f，使得f：a+bi

MT ExtraaA@ （a，b）；

（2）對(duì)于任意a，b，c，d∈R，有

（?。ゝ：（a+bi）+（c+di）

MT ExtraaA@ （a，b）+（c，d）；

（ⅱ）f：k（a+bi）

MT ExtraaA@ k（a，b），k∈R.

即映射f 還保持著線性運(yùn)算，也就是代數(shù)結(jié)構(gòu)相同，它說(shuō)明復(fù)數(shù)集和平面上的點(diǎn)集之間可以從一個(gè)集合的已知結(jié)論去推出另一集合未知的相應(yīng)結(jié)論.由于全體復(fù)數(shù)集合與平面上點(diǎn)集滿足這樣一種關(guān)系，就足以令人信服地把它們視為同一事物.然后在這個(gè)基礎(chǔ)上再講解兩個(gè)向量空間同構(gòu)的抽象概念，學(xué)生會(huì)感到直觀生動(dòng)易于理解，并且進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到全體復(fù)數(shù)集與平面上的點(diǎn)集它們都是彼此同構(gòu)的，所以能互相表示同一個(gè)集合.學(xué)生就容易明白，要研究某一類向量空間，若它們?cè)谀硞€(gè)一一對(duì)應(yīng)下關(guān)于運(yùn)算的結(jié)構(gòu)相同，我們也只要研究其中的一個(gè)就行了，這就是學(xué)習(xí)同構(gòu)的意義所在.

2.加強(qiáng)例題、習(xí)題的補(bǔ)充，鞏固同構(gòu)概念的思想

現(xiàn)行的主要教材，在同構(gòu)這一部分撰寫得更像論文、專著，適宜專家、學(xué)者的閱讀與引用，而不適合教學(xué)，它們呈現(xiàn)同構(gòu)內(nèi)容的主要方式是，首先給出同構(gòu)的定義，其次介紹或證明定理，沒(méi)有例題，缺乏合適的、引申或拓展的例題、習(xí)題，讓學(xué)生感覺(jué)同構(gòu)這一節(jié)難學(xué)、不易理解就情有可原了.

純粹的理論教學(xué)只會(huì)讓大多數(shù)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)望而止步，合適的例題和習(xí)題卻能使學(xué)生燃起濃厚興趣的火焰，在同構(gòu)概念教學(xué)中更為如此.同構(gòu)這個(gè)概念十分抽象，學(xué)生較難理解，沒(méi)有合適的例題和習(xí)題這一節(jié)只能是“過(guò)客”，老師要充分挖掘例題和習(xí)題這一材料，讓學(xué)生不僅弄懂同構(gòu)的概念，掌握性質(zhì)、定理，而且能夠靈活運(yùn)用.

在講完同構(gòu)概念后，老師利用“數(shù)域F上任意兩個(gè)n維向量空間都同構(gòu)”這一結(jié)論，及時(shí)介紹并分析幾個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的同構(gòu)例子，比如：

（1）全體復(fù)數(shù)在實(shí)數(shù)域R上構(gòu)成的向量空間V與R2同構(gòu)；

（2）數(shù)域F上的向量空間F2×2與F4同構(gòu)；

（3）數(shù)域F上的向量空間F2[x]與F3同構(gòu).

并在此基礎(chǔ)上，拓展例題難度.

例1 求F3[t]中多項(xiàng)式組f1（t）=1+4t-2t2+t3，f2（t）=-1+9t-3t2+2t3，f3（t）=-5+6t+t3，f4（t）=5+7t-5t2+2t3的秩和一個(gè)極大無(wú)關(guān)組.

分析 此題直接用觀察法和定義法是很難得出結(jié)果的.可利用“數(shù)域F上n（n > 0）維向量空間V與V中向量關(guān)于同一基下的坐標(biāo)構(gòu)成的向量空間F n同構(gòu)”這一性質(zhì)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)換到F n上來(lái)分析.

解 取F3[t]的基1，t，t2，t3，以f1（t），f2（t），f3（t），f4（t）在這組基下的坐標(biāo)為列向量構(gòu)造矩陣A，并做初等行變換，有

A=1-1-554967-2-30-512121-1-55012-100000000

可知 r（A）=2，且A的第1，2個(gè)列向量是A的列向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組.根據(jù)同構(gòu)映射性質(zhì)，多項(xiàng)式組f1（t），f2（t），f3（t），f4（t）的秩為2，且f1（t），f2（t）是一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組. 這樣的處理，比直接采用求秩和極大無(wú)關(guān)組的定義法簡(jiǎn)單得多，體現(xiàn)出了同構(gòu)思想的魅力.

3.承上啟下，注重同構(gòu)在后續(xù)內(nèi)容中的運(yùn)用

高等代數(shù)中，同構(gòu)理論起著承上啟下的作用，當(dāng)我們完全理解了同構(gòu)理論，就會(huì)對(duì)前面的內(nèi)容有一個(gè)全新的理解，也會(huì)對(duì)后面的線性變換、二次型、歐氏空間等理論有一個(gè)比較清晰的、深刻的認(rèn)識(shí).

利用矩陣來(lái)解線性方程組的方法，深刻滲透著矩陣的思想方法，這種方法的理論依據(jù)是矩陣與線性方程組之間可以建立一一對(duì)應(yīng)的同構(gòu)關(guān)系.具體來(lái)說(shuō)，齊次線性方程組是通過(guò)其系數(shù)矩陣與矩陣建立一一對(duì)應(yīng)的同構(gòu)關(guān)系；一般線性方程組是通過(guò)其增廣矩陣與矩陣建立一一對(duì)應(yīng)的同構(gòu)關(guān)系.

二次型通過(guò)二次型的矩陣與對(duì)稱矩陣之間建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，同一個(gè)數(shù)域F上的所有二次型形成的向量空間與由所有對(duì)稱矩陣形成的線性向量是同構(gòu)的，二次型問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的對(duì)稱矩陣問(wèn)題，如果相應(yīng)的對(duì)稱問(wèn)題可以解決，則原二次型問(wèn)題就順利解決.因此，從某種意義上講，二次型即為對(duì)稱矩陣.

線性變換是高等代數(shù)中的一個(gè)重要組成部分，是建立在抽象的向量空間之上的.討論和研究線性變換問(wèn)題是比較困難的事情，但有些時(shí)候，討論某些問(wèn)題時(shí)，也常常把線性變換問(wèn)題轉(zhuǎn)化為矩陣問(wèn)題來(lái)處理，這是因?yàn)樽鳛閿?shù)域F上的n維向量空間L（V）與Mn（F）是同構(gòu)的.

在歐氏空間中，通過(guò)基的度量矩陣，內(nèi)積與正定矩陣之間可以建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，同樣建立了同構(gòu)關(guān)系.歐氏空間的同構(gòu)映射具備歐氏空間作為向量空間的一切性質(zhì).

下面舉兩個(gè)例子說(shuō)明同構(gòu)思想在同構(gòu)后續(xù)內(nèi)容中的運(yùn)用，讓學(xué)生體會(huì)到同構(gòu)思想的理論高度和意義.

例2 求數(shù)域F上n維向量空間V的所有線性變換構(gòu)成的向量空間L（V）的維數(shù)和一組基.

分析 L（V）是數(shù)域F上n維抽象的向量空間，因?yàn)橄蛄靠臻g是抽象的，線性變換是抽象的，它們的基也是抽象的，要直接求出L（V）的維數(shù)和基是難以做到的.要解答本題目，首先必須把問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，把抽象問(wèn)題相對(duì)具體化，利用L（V）與Mn（F）同構(gòu)的思想來(lái)進(jìn)行.

解 因?yàn)長(zhǎng)（V）與Mn（F）同構(gòu)，所以

dim[L（V）]=dim[Mn（F）]=n×n=n2.

設(shè)α1，α2，…，αn是V的一組基，取Mn（F）的一組基E11，…，E1n，…，En1，…，Enn，并取δij∈L（V），使得

δij（α1，α2，…，αn）=（α1，α2，…，αn）Eij，i，j∈{1，2，…，n}，

即δij，i，j∈{1，2，…，n}為L(zhǎng)（V）的一組基，dim[L（V）]=n2.

例3 設(shè){α1，α2，…，αn}是F上n維向量空間V的一個(gè)基.A是F上的n×s矩陣.令

（β1，β2，…，βn）=（α1，α2，…，αn）A.

證明：dimL（β1，β2，…，βn）=r（A）.

分析 此題通常證法一般是按定義直接證明，即先證向量組{β1，β2，…，βn}與A的列向量組等價(jià)，從而它們具有相同的秩，進(jìn)而推出dimL（β1，β2，…，βn）=r（A）.這種證法有一定難度且較煩瑣.我們知道，V與F n同構(gòu)，我們將運(yùn)用同構(gòu)思想方法來(lái)證明.

證明 設(shè)ξ1，ξ2，…，ξn是β1，β2，…，βn在基{α1，α2，…，αn}下的坐標(biāo)，顯然ξ1，ξ2，…，ξn∈Fn.由V與F n同構(gòu)可知，L（β1，β2，…，βn）與L（ξ1，ξ2，…，ξn）等價(jià)，從而

dimL（β1，β2，…，βn）=dimL（ξ1，ξ2，…，ξn）.

注意到（ξ1，ξ2，…，ξn）=A，則dimL（ξ1，ξ2，…，ξn）=r（A），故dimL（β1，β2，…，βn）=r（A）.

以上例題由于采用了同構(gòu)的思想，其方法簡(jiǎn)潔明了，讓人們進(jìn)一步體會(huì)到了同構(gòu)思想的魅力和重要性.

三、結(jié)束語(yǔ)

同構(gòu)是高等代數(shù)中不易理解但又非常重要的概念，它貫穿整個(gè)高等代數(shù)所有主要內(nèi)容.在教學(xué)中我們要非常重視這個(gè)問(wèn)題的教學(xué)，充分運(yùn)用同構(gòu)工具，強(qiáng)化同構(gòu)思想，用其轉(zhuǎn)化高等代數(shù)中的難點(diǎn)，提高同構(gòu)概念教學(xué)的有效性，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情.

【參考文獻(xiàn)】

[1]張禾瑞，郝鈵新.高等代數(shù)[M].第5版.北京：高等教育出版社，2007.

[2]劉振宇.高等代數(shù)的思想與方法[M].濟(jì)南：山東大學(xué)出版社，2009.