許瀝　魏海霞　高明

【摘要】特殊化思想是創(chuàng)新思維中一種重要的數(shù)學(xué)思想，可以起到簡(jiǎn)化推理，弱化運(yùn)算，排除選項(xiàng)的作用.本文通過(guò)特殊賦值，特殊引路，特殊探究三個(gè)方面闡述特殊化思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】 特殊；特殊化；數(shù)學(xué)題

【基金項(xiàng)目】2014年西華師范大學(xué)校級(jí)教學(xué)改革研究項(xiàng)目，項(xiàng)目編號(hào)：403/403299

“特殊寓于一般之中”，利用特殊化的思想解題，可以將問(wèn)題化繁雜為簡(jiǎn)單，化困難為容易，化陌生為熟悉，可以起到簡(jiǎn)化推理，弱化運(yùn)算，排除選項(xiàng)的作用，有助于數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)和解題效率的提高.

一、特殊賦值，巧解客觀型選擇題

特殊賦值的主要形式有變數(shù)字母數(shù)值化、一般圖形“正”規(guī)化、特殊數(shù)值代入化.在解答客觀性試題時(shí)，采用特殊賦值可以簡(jiǎn)化推理和弱化運(yùn)算，排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，取得事半功倍、出奇制勝的效果.

例1 不等式m2+（cos2x-5）m+4sin2x≥0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則m的取值范圍是（ ）.

A.0≤m≤4 B.1≤m≤4

C.m≥4或m≤0D.m≥1或m≤0

分析與解答 此題涉及兩個(gè)參變量且含正、余弦運(yùn)算，常規(guī)解答較為復(fù)雜.解題時(shí)可以轉(zhuǎn)換思維，通過(guò)結(jié)論的特征，將m進(jìn)行賦值，采用特殊數(shù)值代入化的方法進(jìn)行驗(yàn)證.令m=0時(shí)，代入驗(yàn)證，滿足題意，則可以排除選項(xiàng)B；令m=1時(shí)，不滿足題意，則可以排除A、D兩個(gè)選項(xiàng)；故答案應(yīng)選C.

二、特殊引路，探求一般證題規(guī)律

對(duì)于某些定點(diǎn)、定值問(wèn)題，可以從特殊情況入手，通過(guò)特殊情況的解題過(guò)程所獲得的啟示，由此探明解題的方向，探求解題思路.

例2 設(shè)D是銳角△ABC內(nèi)部的一點(diǎn)，使得∠ADB=∠ACB+90°，并且AC·BD=AD·BC，試計(jì)算比值A(chǔ)B·CDAC·BD.

分析與解答 這是一道定值計(jì)算題，通?？梢圆捎锰厥饣姆椒ǎ忍骄砍鼋Y(jié)論，以此為基礎(chǔ)，尋找解決試題的思路.將△ABC特殊化，考察△ABC為正三角形，則∠ADB=150°，BD=AD， 于是有

AB·CDAC·BD=CDBD=sin∠DBCsin∠DCB=sin45°sin30°=2. 通過(guò)特殊化，探究出了AB·CDAC·BD在一般情況下的值應(yīng)恒為2.

而“2”是一個(gè)較為特殊的數(shù)，可以看成是等腰直角三角形的斜邊與直角邊之比.這樣通過(guò)特殊化探究，為解題提供了方向和解題思路：構(gòu)造一個(gè)等腰直角三角形.因此，構(gòu)造一個(gè)等腰直角△BDE（如圖），由AC·BD=AD·BC，BD=DE，∠ADE=∠ADB-90°=∠ACB，可得 DEBC=ADAC，△AED∽△ABC， 得到AEAB=ADAC，又∠EAD=∠BAC，推得∠EAB=∠DAC，于是△AEB∽△ADC，有ABAC=BECD.因此，AB·CDAC·BD=BECD·CDBD=BEBD=2.

三、特殊探究，構(gòu)建解題思維途徑

當(dāng)題目結(jié)論不明確，解題思路不清晰，解題方向不明確時(shí)，可將試題條件特殊化，通過(guò)“嘗試—觀察—?dú)w納”的探究過(guò)程，為解題提供線索，找到解決問(wèn)題前進(jìn)的方向，將隱含信息顯性化，內(nèi)在結(jié)構(gòu)特征外顯化，化陌生為熟悉.

例3 若實(shí)數(shù)x，y滿足1+cos2（2x+3y-1）=x2+y2+2（x+1）（1-y）x-y+1，則xy的最小值為.

分析與解答 由于條件是關(guān)于x，y的超越方程的形式，等式左邊=1+cos2（2x+3y-1）≤2為三角式，右邊為分式形式，很難找到解題思路.可將試題條件特殊化，將x視為常量，將y視為變量.

當(dāng)y=0時(shí)，右邊=x2+2（x+1）x+1=x+1+1x+1；當(dāng)y=1時(shí)，右邊=x2+1x=x+1x；當(dāng)y=-1時(shí)，右邊=x2+4（x+1）+1x+2=x+2+1x+2；通過(guò)特殊化探究，就將題目當(dāng)中的隱含信息顯性化了，內(nèi)在特征外顯化了，即右邊為一個(gè)數(shù)與這個(gè)數(shù)的倒數(shù)的和的解析式形式，為解題提供線索和方向.

實(shí)際上，x2+y2+2（x+1）（1-y）x-y+1=x-y+1+1x-y+1≥2.根據(jù)等式成立的條件可得：x-y+1=1， 2x+3y-1=kπk∈Z，得x=y=kπ+15.因此xy的最小值為125.

數(shù)學(xué)高考、競(jìng)賽試題因其內(nèi)容的廣泛性與深刻性，其解答包含著豐富的機(jī)智思想.在教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)有意識(shí)讓學(xué)生掌握和運(yùn)用特殊化的思想，加深對(duì)數(shù)學(xué)方法的理解.只要認(rèn)真去總結(jié)，用心去領(lǐng)悟，就能拓展解題思路，提高解題效率，優(yōu)化解題技巧.

【參考文獻(xiàn)】

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