范海霞,席利華,張學(xué)軍

(湖南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院,湖南長沙410006)

不同權(quán)的Bloch型空間之間的加權(quán)復(fù)合算子再刻畫

范海霞,席利華,張學(xué)軍

(湖南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院,湖南長沙410006)

本文研究了單位圓中從空間βL到βα的加權(quán)復(fù)合算子uCφ為有界算子和緊算子的條件.利用階估計等方法,獲得了有界性和緊性的簡捷充要條件,推廣了葉善力的相應(yīng)結(jié)果.

有界性;緊性;加權(quán)復(fù)合算子;Bloch型空間;單位圓

1 問題的引進(jìn)和定義

設(shè)D是單位圓,H(D)表示D上的解析函數(shù)全體,H∞表示D上的有界解析函數(shù)類,并賦以范數(shù)||f||∞=sup{|f(z)|:z∈D};dv為標(biāo)準(zhǔn)體測度,滿足

設(shè)α＞0,α-Bloch型空間βα和對數(shù)權(quán)Bloch型空間βL分別定義如下:

設(shè)γ＞-1和p＞0,D上加權(quán)Bergman空間定義如下:

這里dvγ(z)=cγ(1-|z|2)γdv(z),常數(shù)cγ滿足dvγ(z)=1.當(dāng)γ=0時就是Bergman空間Ap.

設(shè)u∈H(D),φ為D上的解析自映射,X和Y為兩個解析函數(shù)空間,則X到Y(jié)的加權(quán)復(fù)合算子uC?定義如下:

當(dāng)u(z)=1時就是復(fù)合算子C?;當(dāng)φ(z)=z時就是乘子算子Mu.

在上世紀(jì)九十年代,Madigan和Matheson在文獻(xiàn)[1]和[2]中研究了D上Lipschitz空間、Bloch空間和小Bloch空間上復(fù)合算子C?的有界性和緊性問題,他們證明了C?在Bloch空間上總是有界的和C?在小Bloch空間上有界當(dāng)且僅當(dāng)φ在小Bloch空間中等結(jié)論;在2000年,史濟(jì)懷先生和羅羅博士在文獻(xiàn)[3]中將Bloch空間的結(jié)論推廣到了Cn中的齊性域上;接下來在2001年,Ohno和趙如漢在文獻(xiàn)[4]中就Bloch空間和小Bloch空間討論了加權(quán)復(fù)合算子的有界性和緊性,給出了比較完整的結(jié)果;在2003年,張學(xué)軍在文獻(xiàn)[5]中討論了p-Bloch空間和q-Bloch空間之間加權(quán)復(fù)合算子為有界算子和緊算子的條件,獲得了較好的結(jié)果但尚不完整;在2007年,葉善力在文獻(xiàn)[6]中探討了單位圓中對數(shù)權(quán)Bloch型空間βL與α-Bloch型空間βα之間加權(quán)復(fù)合算子的問題,他給出了如下結(jié)果.

定理A設(shè)α＞0,u在單位圓D上解析,φ是D上的解析自映射,則uC?是βL到βα的有界算子之充要條件為

且

定理B設(shè)α＞0,u在單位圓D上解析,φ是D上的解析自映射,uC?是βL到βα的有界算子,則uC?是βL到βα的緊算子之充要條件為

且

實(shí)際上,當(dāng)α＜1時上述兩定理討論的是大空間到小空間的問題,若φ為D上的自同構(gòu),則u必須恒為0,真正意義較大的是α≥1時,在討論中發(fā)現(xiàn),當(dāng)α＞1時定理A和定理B中的這兩個條件不是獨(dú)立的.另外,緊算子的確先是有界算子,但有界性也是要通過u和φ滿足一定條件來刻畫的,所以定理B中可以不必先給一個有界性的先決條件,而是通過u和φ直接進(jìn)行刻畫,如果||φ||∞＜1的話,定理B中后兩個條件是不存在的,因而緊性條件可以視||φ||∞＜1和||φ||∞=1而定.本文的主要工作就是給出了α＞1時,定理A中較簡捷的充要條件和定理B中不同的充要條件.

本文中c、c1、c2、c3等表示與變量z、w等無關(guān)的常數(shù),為方便起見,不同的位置可以表示不同的數(shù).

2 引理和主要結(jié)果

引理2.1設(shè)α＞1,u在D上解析,φ是D上的解析自映射.

證(1)因為當(dāng)0≤x＜1時,

且連續(xù),又

這樣就有

此外,對任何復(fù)數(shù)|ξ|≥1,就對數(shù)主支(ln1=0)有

以及對任意z∈D和k≥2有

由上式和(2.1)–(2.3)式知

這樣對一切γ＞α-2有Fw∈由文獻(xiàn)[7]中的定理2.2(n=1的情形)知

根據(jù)文獻(xiàn)[8]中命題1.4.10(n=1的情形)可得

在(2.4)式中取z=w經(jīng)過計算并結(jié)合Pick引理可得

由w的任意性可知

當(dāng)|ξ|≤r0時,由(2.2)–(2.3)式應(yīng)用到(1)中的Fw可得

根據(jù)(2.6)–(2.7)式和文獻(xiàn)[8]中命題1.4.10(n=1的情形)有

當(dāng)r0＜|w|＜1時,在上式中取z=w經(jīng)整理就有

從而

由ε的任意性可知

定理2.2設(shè)α＞1,u在單位圓D上解析,φ是D上的解析自映射,則uC?是βL到βα的有界算子之充要條件為

證若(2.9)式成立,設(shè)

對任意f∈βL,由文獻(xiàn)[6]中的引理2.1、Pick引理以及(2.9)式和引理2.1中的(2.5)式可得

這樣可得

因此uC?是βL到βα的有界算子.反之,若uC?是βL到βα的有界算子,則||uC?f||α≤||uC?||.||f||L對f∈βL成立.

對任意w∈D,取

這樣||fw||L≤8+lnln4.因此||uC?fw||α≤(8+lnln4)||uC?||.再由文獻(xiàn)[5]中引理2.3可得,對一切z∈D有

在(2.10)式中取z=w就有

根據(jù)w的任意性可知(2.9)式成立.

定理2.3設(shè)α＞1,u在單位圓D上解析,φ是D上的解析自映射,則uC?是βL到βα的緊算子之充要條件為:當(dāng)||φ||∞＜1時u∈βα;當(dāng)||φ||∞=1時u∈βα且

和

同時成立.

證若uC?是βL到βα的緊算子,取f=1∈βL,立即可得u∈βα.

當(dāng)||φ||∞=1時,設(shè){zn}?D是任意一個使得|φ(zn)|→1(n→∞)的序列,令

則{fn}在D的任一緊子集上一致收斂于0,且利用(2.1)–(2.3)式以及文獻(xiàn)[6]中引理2.3–2.4經(jīng)計算可得||fn||L≤16M0+lnln4,這樣

由文獻(xiàn)[5]中引理2.3可得,對一切z∈D有

這表明(2.11)式成立.

另一方面,經(jīng)計算且令z=zn并利用Pick引理及(2.11)式可得,當(dāng)n→∞時,

這表明(2.12)式成立.

反過來,若u∈βα,根據(jù)文獻(xiàn)[5]中的引理2.3知(1-|z|2)α-1|u(z)|≤c||u||α,又由于φ∈H∞?β1,故(1-|z|2)|φ′(z)|≤||φ||1對一切z∈D成立.

設(shè){fn}是βL中任一有界序列且在D的任一緊子集上一致收斂于0,則由Cauchy積分公式立即可得也在D的任一緊子集上一致收斂于0.當(dāng)||φ||∞＜1時,若n→∞,則

這意味著uC?是βL到βα的緊算子.

當(dāng)||φ||∞=1時,若還有(2.11)–(2.12)式成立,故對任意ε＞0,存在0＜δ＜1,當(dāng)δ＜|φ(z)|＜1時,

同時成立.

記K=sup||fn||L,則由文獻(xiàn)[6]中的引理2.1、Pick引理以及(2.13)–(2.14)式可得

這樣就有

由ε的任意性知

這意味著uC?是βL到βα的緊算子.

[1]Madigan K,Matheson A.Compact composition operators on the Bloch Space[J].Trans.Amer. Math.Soc.,1995,347:2679–2687.

[2]Madigan K.Composition operators on analytic Lipschitz spaces[J].Pro.Amer.Math.Soc.,1993, 119(2):465–473.

[3]Shi J H,Luo L.Composition operators on the Bloch space of several complex variables[J].Acta. Math.Sin.(English Series),2000,16:85–98.

[4]Ohno S,Zhao R H.Weighted composition operators on the Bloch space[J].Bull.Austral.Math. Soc.,2001,63:177–185.

[5]張學(xué)軍.p-Bloch空間上的復(fù)合算子和加權(quán)復(fù)合算子[J].數(shù)學(xué)年刊,2003,24A(6):711–720.

[6]葉善力.不同權(quán)的Bloch型空間之間的加權(quán)復(fù)合算子[J].數(shù)學(xué)學(xué)報,2007,50(4):927–942.

[7]Zhu K H.Spaces of holomorphic functions in the unit ball[M].New York:Springer-Verlag(GTM 226),2005.

[8]Rudin W.Function theory in the unit ball of Cn[M].New York:Springer-Verlag,1980.

[9]趙艷輝.單位球上F(p,q,s)空間到βL空間的加權(quán)Cesaro算子[J].數(shù)學(xué)雜志,2011,31(4):722–728.

CHARACTERIZATION OF WEIGHTED COMPOSITION OPERATORS BETWEEN DIFFERENT WEIGHTED BLOCH TYPE SPACES AGAIN

FAN Hai-xia,XI Li-hua,ZHANG Xue-jun
(College of Mathematics and Computer Science,Hunan Normal University,Changsha 410006,China)

In the paper,the authors discuss the conditions that the weighted composition operator uCφis a bounded operator or compact operator from the space βLto the space βαin the disc.By the way of order’s estimation,the briefly sufficient condition and necessary conditions are given,which extend Ye Shanli’s results.

boundedness;compactness;weighted composition operator;Bloch type space; unit disc

tion:30D45;47B38

O174.51;O177.2

A

0255-7797(2017)01-0169-08

2014-04-25接收日期:2015-02-11

湖南省自然科學(xué)基金資助(2015JJ2095).

范海霞(1989–),女,湖南衡陽,碩士,研究方向:函數(shù)空間和算子理論.