江蘇省海州高級中學(xué) (222023)

徐進勇

數(shù)學(xué)教學(xué)要體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的意蘊

江蘇省海州高級中學(xué) (222023)

徐進勇

知識的意蘊是指知識所蘊含的理性內(nèi)涵，包括知識的價值、知識的精神、知識的情感等，它是知識的精義和主旨所在.[1]數(shù)學(xué)知識的意蘊是啟動、維持與深化數(shù)學(xué)活動的引擎，是推動數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生的內(nèi)驅(qū)力.只有感知和領(lǐng)悟了數(shù)學(xué)知識的意蘊，才能理解數(shù)學(xué)的基本思想，才能領(lǐng)會數(shù)學(xué)思維的奧秘，才能把握數(shù)學(xué)的基本方法.所以，理解數(shù)學(xué)知識的意蘊是提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的前提.

一、數(shù)學(xué)知識的意蘊是在挖掘知識的過程中形成的

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出課堂教學(xué)應(yīng)“努力揭示數(shù)學(xué)概念、結(jié)論發(fā)展過程，體會蘊涵在其中的數(shù)學(xué)方法，追尋數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史足跡，把數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化成學(xué)生易于接受的教育形態(tài).”因此，體驗、揭示知識發(fā)生、發(fā)展的過程，并進行合理有序的建構(gòu)，是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心任務(wù).

在講述三角函數(shù)概念時，筆者作了如下安排：

問題情境：水車的半徑為r，若水車的中心正好處在水面上(如圖1)，水車在逆時針轉(zhuǎn)動過程中，如何求水車上點P離水面的高度h？

問題1當(dāng)轉(zhuǎn)動角度α為銳角時，如何求點P離水面的高度？

圖1 圖2 圖3

問題2當(dāng)水車轉(zhuǎn)動角度α為鈍角時，如何求P點離水面的高度？角度超過π？任意給定角度呢？

借助任意角的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，現(xiàn)將圖2三角形也放到坐標(biāo)系中，如圖3，你認(rèn)為如何定義角α的正弦、余弦、正切？

學(xué)生主要有兩種思考結(jié)果：

師：兩種定義哪種更好？為什么？

生1：按結(jié)果1定義，和初中定義相同，但比值出現(xiàn)了負(fù)值.按結(jié)果2定義取絕對值，避免了負(fù)數(shù)的出現(xiàn)，但會出現(xiàn)終邊不同時，比值會出現(xiàn)許多相等的情況，不容易分清楚.

師：比值出現(xiàn)負(fù)值時，點P在何處？

生2：負(fù)數(shù)的含義正好說明點P在水面的下方.

師生通過分析比較，統(tǒng)一認(rèn)識，還是不取絕對值好，這樣初中定義可以看成是現(xiàn)在坐標(biāo)定義的特殊情況，而且也與要解決的問題相吻合.

通過學(xué)生自主操作與小組交流，體會比值與點在終邊的位置無關(guān)，與角終邊存在一一對應(yīng)關(guān)系，感受比值符號與終邊所在象限的變化規(guī)律.

問題4情境中提出的問題如何解決？如果改為摩天輪，如何計算摩天輪上一點離地面的高度？(若摩天輪半徑為10米，中心離地面的距離為11米)

通過以上4個問題，引導(dǎo)學(xué)生思考，在解決實際問題的過程中合理建構(gòu)新概念，新概念的形成又為我們順利解決問題提供理論依據(jù).整個教學(xué)過程自然、自由、自主，體現(xiàn)數(shù)學(xué)源于生活并經(jīng)理性分析與抽象升華形成嚴(yán)密邏輯體系的過程，讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)的創(chuàng)新與應(yīng)用價值，感受到自身的創(chuàng)造與潛能.

二、數(shù)學(xué)知識的意蘊是在構(gòu)建知識的聯(lián)系中形成的

科學(xué)知識是相通、相容、相生的，之間構(gòu)成多種關(guān)聯(lián)，形成共同的思想方法、情感態(tài)度與價值取向，可以為我們正確理解問題、解決問題提供多種轉(zhuǎn)換角度與思路.教學(xué)中如能從問題的本質(zhì)出發(fā)，多方聯(lián)系，“引經(jīng)據(jù)典”，一方面能觸動學(xué)生的思維，打開學(xué)生的心智，促進學(xué)生理解，同時也能激發(fā)學(xué)生興趣，增長見識，培養(yǎng)數(shù)學(xué)文化素養(yǎng).

圖4 圖5

教師在講授直線與平面平行時，為強化判定定理的應(yīng)用(如果平面外的一條直線和這個平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行)，教學(xué)中可作如下安排:如圖4，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，E是PD的中點，(1)試證明PB∥平面EAC；(2)在邊BC上是否存在一點F，使EF∥平面PAB?

教師在巡視過程中發(fā)現(xiàn)學(xué)生在證明第(2)問時大都采用將EF“平行投影”到面ABP上得直線BG，在此基礎(chǔ)上教師利用第(1)問的證明方法啟發(fā)學(xué)生用“中心投影”來證明，如圖5得直線PQ.此時，教師通過插入多媒體展示“中心投影與平行投影在中西繪畫中的應(yīng)用”片段，如圖6，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)與藝術(shù)的完美結(jié)合，兩者一個處于高度理性化的巔峰，另一個居于情感世界中；一個是自然科學(xué)的典范，另一個卻是美學(xué)構(gòu)筑的杰作.贊嘆數(shù)學(xué)與藝術(shù)極其豐富的普遍意義.學(xué)生興致高，理解透徹，印象深刻.不僅拓寬了學(xué)生思考問題的渠道，更是提高了學(xué)生理性思考這類問題的技能，為學(xué)生在平面內(nèi)順利找到這條直線提供抓手.

圖6

人是感情的動物，人的思維狀態(tài)與其情感有著密切的聯(lián)系.用情感激活學(xué)生的學(xué)習(xí)心向，這是有意義學(xué)習(xí)的前提.在教學(xué)中只有注重情感教育，才能激發(fā)學(xué)生內(nèi)在動力，才能使其樂學(xué)、好學(xué)、勤學(xué)，創(chuàng)造性地學(xué).因此，數(shù)學(xué)教師要對數(shù)學(xué)知識理解得十分透徹，能抓住數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，并不斷挖掘數(shù)學(xué)與其它知識的聯(lián)系，從感知到認(rèn)知再到情感，達到“潤物細(xì)無聲”的教學(xué)效果.

三、數(shù)學(xué)知識的意蘊與數(shù)學(xué)的文化價值、美育價值有著天然聯(lián)系

學(xué)科教育具有知識教育和文化教育兩層含義:知識教育是基礎(chǔ)，文化教育是知識教育基礎(chǔ)上的文化升華.只停留在知識教育的基礎(chǔ)上，不能從文化角度進行升華，則必然失去教育的深遠意義.因此，必須從文化視角研究數(shù)學(xué)教學(xué).數(shù)學(xué)文化是提高數(shù)學(xué)教育質(zhì)量、進行教學(xué)改革的邏輯起點和突破口.

在講數(shù)列概念時，課本“隆重”推出數(shù)列1,1,2,3,5,8,13,…，一方面反映該數(shù)列與現(xiàn)實生活相關(guān)聯(lián)，如蘇教版書中有插圖顯示樹的枝杈數(shù)，同時也是下一步提出數(shù)列的遞推公式概念的典例.教師可以安排《斐波那契數(shù)列與黃金分割》探究性課題，以增強學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)列的興趣，提高學(xué)生認(rèn)識世界、探索自然的積極性，體現(xiàn)學(xué)習(xí)數(shù)列的價值與意義.課題內(nèi)容可作如下安排：意大利數(shù)學(xué)家斐波那契(1170-1250)1202年在《算盤書》中從兔子問題得到斐波那契數(shù)列1,1,2,3,5,8,13,…，并沒有進一步探討此數(shù)列，且在19世紀(jì)初以前，也沒有人認(rèn)真研究過它.幾百年后，19世紀(jì)未和20世紀(jì)，這一問題派生出廣泛的應(yīng)用，從而活躍起來，成為熱門的研究課題.斐波那契數(shù)列定義：若一個數(shù)列，前兩項都等于1，從第三項起，每一項是其前兩項之和，則稱該數(shù)列為斐波那契數(shù)列，其遞推公式是

新課程標(biāo)準(zhǔn)非常注重知識的運用與文化的滲透，明確給定了數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)文化的教學(xué)建議與教學(xué)要求，提出了要開展研究性課題的探索.以數(shù)學(xué)發(fā)展中蘊含的思想方法為紐帶串聯(lián)知識應(yīng)用的教學(xué)，為知識應(yīng)用教學(xué)設(shè)計增添了新的視角，使得課時教學(xué)呈現(xiàn)形散而神不散的特點，教學(xué)的知識性、技能性、思想性都有所增強，對學(xué)生素養(yǎng)的培養(yǎng)更為全面.

四、數(shù)學(xué)知識的意蘊只有在領(lǐng)悟知識的本質(zhì)、解決數(shù)學(xué)問題中得到理解

數(shù)學(xué)源于生活，又高于生活服務(wù)生活.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意義不僅在于知識本身和它的內(nèi)涵，更由于它廣泛的應(yīng)用價值.結(jié)合近年來國家對食品、禮品的包裝提出“摒棄奢華包裝，力求樸素節(jié)儉”，筆者以此為背景，在導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中安排了一節(jié)數(shù)學(xué)應(yīng)用課.

例1如圖7，有一個各條棱長均為a的正四棱錐，現(xiàn)用一張正方形包裝紙將其完全包住，不能剪裁，但可以折疊，則包裝紙的最小邊長是多少.

圖7

例2某商場為促銷要準(zhǔn)備一些正三棱錐形狀的裝飾品，用半徑為10cm的圓形包裝紙包裝.要求如下：正三棱錐的底面中心與包裝紙的圓心重合，包裝紙不能裁剪，沿底邊向上翻折，其邊緣恰好達到三棱錐的頂點，如圖8所示.設(shè)正三棱錐的底面邊長為xcm，體積為Vcm3.在所有能用這種包裝紙包裝的正三棱錐裝飾品中，V的最大值是多少？并求此時x的值.

圖8

例3(2011年江蘇數(shù)學(xué)卷第17題)請你設(shè)計一個包裝盒，如圖9所示，ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得ABCD四個點重合于圖中的點P，正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設(shè)AE=FB=xcm.

(1)若廣告商要求包裝盒側(cè)面積S(cm2)最大，試問x應(yīng)取何值？

(2)若廣告商要求包裝盒容積V(cm3)最大，試問x應(yīng)取何值？并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值.

圖9

解決上述包裝問題的關(guān)鍵是把立體圖形展開為平面圖形，通過兩種圖形的聯(lián)系建立目標(biāo)函數(shù)，結(jié)合函數(shù)式特點求最值，過程中學(xué)生學(xué)會解決一類問題的方法和處理最值問題的一種手段.我們常見的市場銷售問題、節(jié)約用水用電問題、運輸問題、稅收問題、醫(yī)療費用問題、銀行儲蓄問題等，都是以生活實際為背景，這些教學(xué)的具體素材，可以使學(xué)生進一步了解數(shù)學(xué)科學(xué)與人類社會發(fā)展之間的相互關(guān)系，學(xué)生運用所學(xué)的知識和方法解決了這些問題，獲得了成功的享受，并能更好地理解數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)方法.

教學(xué)中突出知識的意蘊，就是在知識教育基礎(chǔ)上，上升到心靈與智慧的培養(yǎng)、價值觀念的形成和精神陶冶上，充分利用數(shù)學(xué)知識和相應(yīng)的其它一切可以利用的文化資源，進行文化積累和文化升華，以實現(xiàn)審美、陶冶、文化遺傳的教育功能，從而為認(rèn)識自然和社會，適應(yīng)生存環(huán)境，并能夠創(chuàng)造出新的人類文明作出應(yīng)有的貢獻.教學(xué)中突出知識的意蘊，正是使得“教育是知識獲得過程”向“教育是文化過程”轉(zhuǎn)變的最有力的手段和契機，從而能夠真正實現(xiàn)教育是“通過攝取吸收文化價值,體驗陶冶多維的人，促進生命個體總體生成”的文化過程[2].

[1]章建躍.數(shù)學(xué)知識的意蘊與數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升[J].中小學(xué)數(shù)學(xué),2015(6)：封四.

[2]趙祥麟.外國教育家評傳-斯普朗格[M].上海：上海教育出版社，2009.

* 本文為江蘇省教育科學(xué)規(guī)劃2015年度研究課題(D/2015/02/095)《現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育觀下高中數(shù)學(xué)文化課堂的實踐研究》階段成果.