江蘇省海門中學 (226100)

陶炳宏

波利亞解題表助力學生解題能力提升

江蘇省海門中學 (226100)

陶炳宏

調查發(fā)現，學生在數學解題中存在的問題一般有如下幾個方面：1.基礎知識的理解、基本問題基本方法的掌握不夠扎實；2.沒有良好的數學解題習慣，如審題不夠仔細、計算失誤、解題過程缺乏條理性、步驟之間的邏輯鏈條不嚴謹、沒有檢驗環(huán)節(jié)等；3.習慣于模仿的方式解題，不善于進行方法遷移、問題轉化，碰到陌生一點的問題往往思路打不開，缺乏主動思考探究的習慣.經過高三一輪復習以后，對于上述問題1學生基本都能克服，但由于問題2、3難以短時間內克服，導致學習成績難以從良好向優(yōu)秀躍升，也很難獲得數學解題成功帶來的興趣提升.筆者在教學實踐中考慮在解決第1方面問題的基礎上，如何解決第2、3方面的問題，真正培養(yǎng)學生分析問題解決問題的能力，培養(yǎng)學生縝密的數學思維能力和良好解題習慣.著名的數學教育家G·波利亞在其經典著作《怎樣解題》一書中給出了“怎樣解題”的解題表，被各國數學界奉為數學解題寶典，如果在教學實踐中注意引導學生按照“表”中的問題和建議思考，探索解題途徑，進而逐步掌握解題過程的一般活動規(guī)律，把解題表的掌握與自覺運用作為數學教學的重要目標之一，讓學生逐步形成良好的解題習慣，解題能力得到明顯的提高.

1.波利亞解題表引導數學思維有序前行

一般情況下，學生面對一道稍具挑戰(zhàn)性的問題，首先想到這個題目老師講過沒有?如果老師沒講過，或講過但已經沒有印像時，就處于思維封閉狀態(tài).如果有老師在邊上，關鍵時刻能提示一下，就可能一步步接近成功.現實是老師不可能一直跟在身邊，但如果有一張表，表上為一系列的提示性問題串，根據問題的提示一步步思考，那是一個很不錯情況，波利亞解題表恰好就是這樣的一個表，表中第一個提示性問題是：題目告訴我?guī)讉€什么條件，分別是什么？題目到底是求什么？第二個問題是：由每個條件想到了什么？條件與條件相結合想到了什么？第三個問題是：由所求問題想到了什么？有沒有做過類似的問題(第二、第三問筆者結合自己理解和教學實踐的表述)然后把第二、三問題的所想所得的發(fā)現記錄下來，再以記錄所得的發(fā)現重復第二、三問，這樣層層遞進，思維就會被逐漸激活，同時條件與結論之間迷霧就會被逐漸驅散，直至兩者之間實現完全對接,找到思路.

例1(15年全國高考新課標2卷)設函數f′(x)是奇函數f(x)(x∈R)的導函數，f(-1)=0，當x>0時，xf′(x)-f(x)<0，則使得f(x)>0成立的x的取值范圍是________.

首先，這是一個填空題：題目告訴我?guī)讉€什么條件，分別是什么？題目到底是求什么？，弄清題目條件有3個要點，分別是：①奇函數；②f(-1)=0③當x>0時，xf′(x)-f(x)<0；問題是：求解f(x)>0(Q)

再根據第二個問題:由已知條件想到了什么？條件與條件結合又能得到什么？

由①想到圖像關于原點對稱，f(0)=0④

由①②結合得f(1)=0⑤

得到新結論⑤后重復第二個提示性問題

③是條件中比較關鍵的，由③想到了什么？如果想不到怎么辦？那就考慮可以和誰結合起來.③⑤結合得到f′(1)-f(1)<0，即f′(1)<0⑥;

⑤⑥結合得到x在1左側f(x)>0；1右側f(x)<0⑦；

圖1

由⑦思考在(0,1)上是否存在下穿x軸或與x軸相切的可能呢？假設存在點C(xc，0)與③結合，xCf′(xC)<0，即f′(xC)<0，由圖1可以看出f′(xC)≥0，所以這樣的C點不存在，(0,1)上f(x)>0⑩.

⑨⑩與①結合得到f(x)>0的解(-∞,-1)∪(0,1).

思維鏈條圖：

對于思維的拓展，波利亞解題表從不同角度給出了對多數數學問題具有引導價值的普適性提示問題.從問題出發(fā)有“如果不能解眼前的題目，能否找到一道與之有關的問題？一道更為普遍化的問題？一道更為特殊化的問題？一道類似的問題？能否利用聯想到的問題的結論呢？能否利用聯想到的問題的方法呢？”從條件出發(fā)，可以有“我能解出這道題的一部分嗎？只保留條件的一部分，結論又該如何變化？回到條件中所涉及的概念定義中去，又有何發(fā)現？還有什么條件沒用到？能不能按題目所給條件畫個圖？……”所有這些提示，對于活躍思維，乃至成功解題都有很大幫助，當學生對于表中的提示從開始有意識的應用到無意識應用時，便達到了令狐沖獨孤九劍中無招勝有招，真正掌握了數學思維方法.

2.波利亞解題表引導良好解題習慣的形成

波利亞的解題表將解題過程中分為四個環(huán)節(jié)：理解題目、擬定方案、執(zhí)行方案、回顧.四個環(huán)節(jié)中最為核心的當然是第二個環(huán)節(jié)擬定方案，其實質是尋找解題思路的過程，但正是因為學生太重視這個環(huán)節(jié)而忽視其它環(huán)節(jié)，往往形成了不好的解題習慣，導致會而不對、思考不夠細致深入等毛病.如果引導學生養(yǎng)成按波利亞解題表進行解題作業(yè)，并最終養(yǎng)成習慣，對學生的數學學習必然存在極大的幫助.第一個環(huán)節(jié)理解題目中，本質是審題：未知量是什么？已知數據是什么？條件是什么？再深入一點，條件是否足以確定未知量？或者不夠充分？或者多余？或者矛盾？第三個環(huán)節(jié)執(zhí)行方案，這個環(huán)節(jié)實質是找到解題思路后的解題實施，有的學生好不容易找到解題方法，但勝利沖昏頭腦，解題時不夠沉著導致失誤.這時應該問問自己，“我檢查每一個步驟，能否看出這個步驟是正確的嗎？”

第四個環(huán)節(jié)回顧，一道題目做完就扔是大部分學生的習慣，實質上對于一道好題解完之后的回顧往往包含著更大的收獲.回顧1.“你能檢驗這個結果嗎？”可以達到從不同的角度審視這個問題的結論，如此一方面可以確認這個題是否做對，同時又能從不同的角度加深對問題的理解.回顧2.我能用不同的方式推導這個結果嗎？能推廣這個結論嗎？擴散思維，力爭一題多解，把問題想深想透.回顧3.我能在別的什么問題中利用這個結果或這種方法嗎？把這個問題的價值最大化的發(fā)揮出來.接例1

從上述過程可以看出，回顧就是對解題過程的準確性加上了一份保證，同時也是一個通過解一道題盡可能獲取更多效益的過程.

一個數學優(yōu)秀的學生往往由于無意識中養(yǎng)成了良好的思維習慣，進而在一次次的攻克難題的過程中培養(yǎng)起了面對難題的不輕言放棄的品質和積極的心態(tài).教師通過理解解題表、應用解題表思考問題繼而在教學過程中可以嘗試利用解題表對學生思維有意識的引導，規(guī)范學生解題習慣，可以實現學生解題能力質的飛躍.