薛 瑞 趙 磊 王 濤 程儉中

(成都理工大學(xué)應(yīng)用物理系 四川 成都 610059)

刮擦全息透射成像的研究*

薛 瑞 趙 磊 王 濤 程儉中

(成都理工大學(xué)應(yīng)用物理系 四川 成都 610059)

針對(duì)刮擦全息在透射成像方面的缺失，先提出了基于幾何光學(xué)的理論解釋?zhuān)缓髮?duì)兩面刻有不同劃痕的亞克力板進(jìn)行了一系列成像實(shí)驗(yàn)，從而驗(yàn)證了理論的正確性.通過(guò)將刮擦全息透射成像與反射成像進(jìn)行對(duì)比，指出了二者在理論和實(shí)驗(yàn)上的異同.接著給出了透射成像修正系數(shù)的較精確推導(dǎo)，推導(dǎo)過(guò)程反映出了板材對(duì)透射成像的影響.最后，指出了刮擦全息透射成像的實(shí)際利用價(jià)值及其對(duì)進(jìn)一步完善刮擦全息技術(shù)的重要作用.

刮擦全息 透射成像 反射成像 折射 亞克力板

1 引言

刮擦全息是與基于波動(dòng)理論的傳統(tǒng)全息[1]不同的一種全息實(shí)現(xiàn)形式.同后者相比，它對(duì)產(chǎn)生全息效果的光源沒(méi)有苛刻的要求，更易于實(shí)現(xiàn).刮擦全息有兩種成像方式，即反射成像和透射成像.

近幾十年內(nèi)有關(guān)刮擦全息的研究成果如下：20世紀(jì)70年代，Gabriel Liebermann[2]發(fā)現(xiàn)光滑平面上的圓弧形劃痕可以產(chǎn)生3D效果.這種能產(chǎn)生3D效果的刮擦方式在同世紀(jì)90年代由Willian J Beatty[3，4]獨(dú)立發(fā)現(xiàn)，Beatty還指出了刮擦全息與基于波動(dòng)理論的傳統(tǒng)全息[1]之間的聯(lián)系.2008年，文獻(xiàn)[5]依據(jù)幾何學(xué)知識(shí)給出了繪制無(wú)形變刮擦全息圖的方法，解決了圖像的形變問(wèn)題.2015年，文獻(xiàn)[6]新提出了一種能產(chǎn)生立體圖像的劃痕規(guī)則，并以反射定律為基礎(chǔ)，從理論上解釋了刮擦全息的反射成像.文獻(xiàn)[7]也對(duì)刮擦全息反射成像提供了理論解釋?zhuān)墨I(xiàn)[8]則提供了一種用激光雕刻刮擦全息的方法.至此,刮擦全息反射成像的理論以及制作刮擦全息的技術(shù)已經(jīng)臻于完善了.

反射定律與折射定律雖然是實(shí)驗(yàn)定律，但在波動(dòng)光學(xué)方面，它們都能由電磁場(chǎng)在兩種不同介質(zhì)面上的邊值關(guān)系[9]導(dǎo)出；在幾何光學(xué)方面，都能由費(fèi)馬原理[10]導(dǎo)出.由此看來(lái)，這兩條定律是同一基本原理在不同情況下的不同表達(dá)形式.而刮擦全息的兩種成像方式就分別由這兩條定律決定.

因此，上述研究者們?cè)趯?duì)刮擦全息反射成像進(jìn)行實(shí)驗(yàn)和理論推導(dǎo)后，猜想透射成像將遵從相同的規(guī)律，便沒(méi)有進(jìn)一步研究，從而導(dǎo)致了刮擦全息透射成像在理論及實(shí)驗(yàn)上的缺失.

本文先對(duì)刮擦全息透射成像進(jìn)行了理論上的推導(dǎo)及分析，并將其數(shù)學(xué)模型程序化和可視化.然后通過(guò)實(shí)驗(yàn)證明了理論的正確性，并對(duì)比分析了刮擦全息的透射成像與反射成像.

2 刮擦全息透射成像的數(shù)學(xué)模型

2.1 模型的建立

以WillianJBeatty[3,4]提出的劃痕規(guī)則在某一透明光滑平板的上表面刻上劃痕，其中某一條劃痕的透射成像原理圖如圖1所示.以板的上表面為 xOy面，以其指向光源一側(cè)的法線(xiàn)方向?yàn)閦軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.來(lái)自光源G的一束光射到此劃痕上的某一點(diǎn)B處，在上下表面各發(fā)生一次折射后，射到觀(guān)察者F1處(由于板很薄，因此圖1略去了光在板下表面的折射).在上述過(guò)程中，B點(diǎn)就是F1處的觀(guān)察者看到的亮點(diǎn).設(shè)圓形劃痕的圓心A為

(x0,y0,z0)，半徑為R，AB與x軸正方向的夾角為θ.因此，亮點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x0+Rcosθ,y0+Rsinθ,z0).

圖1 透射成像的原理圖(第三視角)

如圖2所示，將劃痕凹槽的橫截面看作一個(gè)半圓，B是它的圓心，O′點(diǎn)是半圓上產(chǎn)生透射亮點(diǎn)的一個(gè)面元(簡(jiǎn)稱(chēng)亮點(diǎn)面元)，在后面的處理中，將B點(diǎn)和O′點(diǎn)看作同一個(gè)點(diǎn).在圖2中，n是沿亮點(diǎn)面元法線(xiàn)方向的一個(gè)矢量，e是與板的兩表面垂直的矢量.板的厚度為d，空氣的折射率為n1，板的折射率為n2.

圖2 刮擦全息透射成像的原理圖(凹槽的截面)

由圖2可得

(n-y0-Rsinθ)j+(p-z0)k

(b-y0-Rsinθ)j+(c-z0)k

由上面兩式可看出，在觀(guān)察者、光源和圓弧圓心位置及其半徑已知的情況下，能求出θ，從而確定光點(diǎn)B在xOy平面上的位置.由光源發(fā)出的光經(jīng)過(guò)兩次折射后進(jìn)入觀(guān)察者的眼睛，這兩次折射分別發(fā)生在板的上下表面.下面分別分析這兩次折射，以求出θ.

第一次折射：

n1sinθ1=n2sinθ2

(1)

由矢量叉乘的性質(zhì)可得

(2)

聯(lián)立式(1)、(2)得

(3)

(4)

將式(4)代入式(3)，消去n得

(5)

將式(5)代入式(4)得

(6)

第二次折射:

(7)

而由圖2可知

(8)

式(6)、(7)、(8)聯(lián)立得

(9)

設(shè)

則

(10)

由圖2可得

且

因此

(11)

我們要求的是n的方向，而不是n的大小，因此等式兩邊同時(shí)乘以常數(shù)k′后等式依然成立.所以

(12)

由繪制劃痕的過(guò)程可知，整個(gè)劃痕的凹槽是回轉(zhuǎn)體，因此亮點(diǎn)面元對(duì)應(yīng)法線(xiàn)、沿AB方向的直線(xiàn)與過(guò)O′點(diǎn)且平行于z軸的直線(xiàn)在同一平面內(nèi).由矢量混合積的相關(guān)性質(zhì)可得

其中

ez=k

代入各矢量的分量可得

nycosθ=nxsinθ

(13)

而由式(12)的分量式可得

(14)

將式(14)代入式(13)可解得

(15)

sinθ與cosθ取相同符號(hào).其中

設(shè)

由圖2可知，當(dāng)觀(guān)察者和光源離板的距離均遠(yuǎn)大于圓弧半徑R時(shí)，可以忽略R，即

(16)

因此

(17)

式(15)和式(17)即刮擦全息透射成像理論的最終結(jié)論.這個(gè)結(jié)論可以確定亮點(diǎn)B(O′)在板上表面的位置.

2.2 與反射成像的模型進(jìn)行對(duì)比

文獻(xiàn)[7]的刮擦全息反射成像原理圖如圖3所示.

圖3 刮擦全息反射成像的原理圖(第三視角)

文獻(xiàn)[7]所得的反射成像理論的最終結(jié)論為

(18)

其中

(19)

將上述結(jié)論和式(15)、(17)進(jìn)行對(duì)比就會(huì)發(fā)現(xiàn)，刮擦全息透射成像與反射成像的結(jié)論幾乎完全相同.但在透射成像理論中引入的修正系數(shù)不等于反射成像理論中引入的修正系數(shù)，前者比后者多了一個(gè)k2(k2?k，精度要求不高時(shí)可以忽略不計(jì)).本文將在后面進(jìn)一步分析造成這種不同的原因.

2.3 模型的程序化與可視化

首先選用立體字母 “CDUT”的正等軸測(cè)圖[11]作為繪制劃痕的原圖.在平面直角坐標(biāo)軸上用一系列等間距的點(diǎn)描繪出原圖的輪廓，并記錄下這些點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)值，這些點(diǎn)就是圓弧形劃痕的圓心.

用Matlab語(yǔ)言將2.1中的理論(不略去k2)編寫(xiě)成函數(shù)1，然后將各個(gè)系數(shù)以及光源、觀(guān)察者和上面得到的一系列點(diǎn)的坐標(biāo)輸入函數(shù)1，運(yùn)行程序后得到圖4(b).以HIT的文獻(xiàn)[7]的刮擦全息反射成像理論為基礎(chǔ)編寫(xiě)出函數(shù)2，然后將光源、觀(guān)察者和上面得到的一系列點(diǎn)的坐標(biāo)輸入函數(shù)2，運(yùn)行程序得到圖4(a).

再以一段直線(xiàn)為原圖，重復(fù)上述步驟，并將各個(gè)系數(shù)以及光源、觀(guān)察者和描繪直線(xiàn)的一系列點(diǎn)的坐標(biāo)輸入函數(shù)1，運(yùn)行程序后得到圖4(c).

圖4 計(jì)算機(jī)仿真結(jié)果

3 實(shí)驗(yàn)與現(xiàn)象

3.1 實(shí)驗(yàn)步驟

用Willian J Beatty[5]提出的劃痕規(guī)則繪制刮擦全息圖,需要的材料及工具有立體字母”CDUT”的正等軸測(cè)圖、若干塊黑色亞克力板、分規(guī)、簽字筆.

以這個(gè)正等軸測(cè)圖為原圖在板的正面繪制劃痕的步驟如下：

(1)將原圖固定在板上,用離散的點(diǎn)描繪出原圖的邊框.

(2)將分規(guī)兩腳距離固定為R，然后用分規(guī)分別以原圖邊框上的每個(gè)點(diǎn)為圓心，以半徑為R畫(huà)圓弧(此圓弧小于半圓).

用筆在亞克力板的反面畫(huà)上一段直線(xiàn)，并以這段直線(xiàn)為原圖繪制刮擦全息圖.這段直線(xiàn)的劃痕畫(huà)法同上述正等軸測(cè)圖的畫(huà)法相比，第一步不變，第二步中的圓弧改成一個(gè)整圓，同時(shí)縮小半徑R.最終得到一個(gè)兩面均有劃痕的亞克力板.

3.2 現(xiàn)象的描述及分析

在光源下觀(guān)察雙面刻劃的亞克力板，可以看到如圖5所示的現(xiàn)象：正等軸測(cè)圖的像有明顯的3D效果，而直線(xiàn)的像是兩條分別位于直線(xiàn)兩側(cè)的曲線(xiàn)，如圖5(b)所示.亞克力板將空間分成兩個(gè)部分，只觀(guān)察正等軸測(cè)圖的像：當(dāng)光源和人眼在同一側(cè)(反射成像)時(shí)，可以看到一個(gè)立體的“CDUT”浮于板的表面，并且隨著觀(guān)察者和光源相對(duì)位置的改變，它會(huì)隨之發(fā)生變化，如圖5(a)所示；但當(dāng)光源和人眼在不同側(cè)(透射成像)時(shí)，仍舊能看到立體的“CDUT”，但這個(gè)像相對(duì)于之前的像是反轉(zhuǎn)的，如圖5(b)所示.同時(shí)還可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)光源和人眼在不同側(cè)(透射成像)時(shí)，可以同時(shí)看到正等軸測(cè)圖的像和直線(xiàn)的像，如圖5(b)所示；但當(dāng)光源和人眼位于同側(cè)(反射成像)時(shí)，只能看到靠近人眼和光源一側(cè)表面劃痕的像，如圖5(a)所示.且與反射成像的圖案相比，透射成像圖案的亮度總是更低.

圖5 兩種刮擦全息圖像的對(duì)比

在實(shí)驗(yàn)中觀(guān)察到的刮擦全息圖案，其實(shí)是由許多個(gè)亮點(diǎn)組成的，就像一個(gè)星系那樣[3，4].這些亮點(diǎn)都位于圓弧形的劃痕上，當(dāng)圓弧小于半圓時(shí)，一個(gè)劃痕上只有一個(gè)亮點(diǎn)，正如立體字母“CDUT”的正等軸測(cè)圖那樣[圖5(a)]；而當(dāng)圓弧是整圓時(shí)，一個(gè)劃痕上有兩個(gè)亮點(diǎn)，且這兩個(gè)亮點(diǎn)關(guān)于此圓弧的圓心對(duì)稱(chēng)，正如直線(xiàn)的刮擦全息圖那樣[圖5(b)].

對(duì)于某一個(gè)小于半圓的圓弧，當(dāng)光源和觀(guān)察者的位置確定后，此圓弧上一定存在一個(gè)滿(mǎn)足折射定律的點(diǎn).且當(dāng)光源或觀(guān)察者的位置發(fā)生變化時(shí)，這個(gè)點(diǎn)就會(huì)沿著圓弧滑動(dòng).由以上分析可知，可以用折射定律求出給定觀(guān)察者、光源和圓弧圓心位置及其半徑時(shí)亮點(diǎn)的空間位置.2.1中的數(shù)學(xué)模型就是以這個(gè)思路為基礎(chǔ)建立起來(lái)的.

將圖5(b)與圖4(b)和(c)進(jìn)行比較可發(fā)現(xiàn)，在2.1中建立的刮擦全息透射成像的數(shù)學(xué)模型是正確的.

3.3 兩種透射成像方式的對(duì)比及分析

板有兩個(gè)表面，所以透過(guò)板的光線(xiàn)發(fā)生了兩次折射；而板的兩面都可以刻有劃痕，所以存在如圖6所示的兩種透射成像.

圖6 兩種透射成像的光路圖

當(dāng)光源靠近有劃痕表面的一側(cè)時(shí)，第一次發(fā)生折射的表面是某個(gè)劃痕凹槽的一個(gè)切平面，第二次發(fā)生折射的表面是不帶有劃痕的一面，如圖6中的光路G-B-C-F1所示；而當(dāng)光源遠(yuǎn)離有劃痕表面的一側(cè)時(shí)，第一次發(fā)生折射的表面是沒(méi)有劃痕的一面，第二次發(fā)生折射的表面是某個(gè)劃痕凹槽的一個(gè)切平面，如圖6中的光路G-D-E-F2所示.兩種情況下看到的全息圖案都由透射成像產(chǎn)生，但第二種透射成像產(chǎn)生的圖案是正的，而第一種透射成像產(chǎn)生的圖案是反的(正反是相對(duì)于原圖而言)，如圖5(b)所示.當(dāng)觀(guān)察者隔著板在光源對(duì)面觀(guān)察時(shí)，由于有兩種透射成像方式的存在，板正反兩面劃痕的全息圖案都可以被看到，如圖5(b)所示.

在2.1中建立的數(shù)學(xué)模型，表面上只解釋了第一種透射成像,但如果依據(jù)光路可逆原理[10]，將圖2中光源和觀(guān)察者的位置互換，就變成了第二種透射成像的數(shù)學(xué)模型.因此，2.1中的數(shù)學(xué)模型也適用于第二種透射成像.這樣，這個(gè)數(shù)學(xué)模型就成功解釋了兩種透射成像方式.

4 刮擦全息透射成像與反射成像的對(duì)比

4.1 理論上的對(duì)比

由2.1和2.2中得出的最終結(jié)論可以看出，透射成像和反射成像的理論基礎(chǔ)源于同一基本原理.因此,文獻(xiàn)[6]對(duì)像的形變問(wèn)題以及3D效果的成因等問(wèn)題的解釋同樣適用于刮擦全息的透射成像.但由于k2的存在，二者的修正系數(shù)存在微小偏差.反射成像的光在進(jìn)入觀(guān)察者眼睛之前，經(jīng)歷了一次反射；而透射成像的光在進(jìn)入觀(guān)察者眼睛之前，經(jīng)歷了兩次折射.因此，猜測(cè)兩種成像方式的修正系數(shù)存在偏差是由于板有一定的厚度，且其材質(zhì)的折射率與空氣不同.后面將會(huì)從理論上推導(dǎo)出精度更高的k′，以證明這些猜測(cè)的正確性.

4.2 實(shí)驗(yàn)上的對(duì)比

刮擦全息透射成像與反射成像都會(huì)由運(yùn)動(dòng)視差產(chǎn)生3D效果，且圖案都有發(fā)生形變的可能.與透射成像相同，反射成像也有兩種反射形式，如圖7所示.但在實(shí)驗(yàn)中，透射成像能觀(guān)察到兩種成像形式，而反射成像只能觀(guān)察到一種成像形式，且這一種反射成像的全息圖案比兩種透射成像的全息圖案都要明亮.下面對(duì)這兩點(diǎn)現(xiàn)象提供解釋.

由于黑色亞克力板良好的吸光特性，透過(guò)板的光都會(huì)發(fā)生衰減.如圖7中的光路G-B-F1所示，第一種反射成像發(fā)生時(shí)，光在進(jìn)入觀(guān)察者眼睛之前，不須要穿過(guò)黑色亞克力板；而如圖6的兩條光路圖所示，兩種透射成像發(fā)生時(shí)，光在進(jìn)入觀(guān)察者眼睛之前，都必須要穿過(guò)黑色亞克力板一次.因此，第一種反射成像的圖案比兩種透射成像的圖案都要更加明亮.如圖7中的光路G-C-D-E-F2所示，光在對(duì)遠(yuǎn)離光源的劃痕進(jìn)行反射成像時(shí)，必須穿過(guò)板兩次，這樣進(jìn)入觀(guān)察者眼睛的光便發(fā)生了更大程度的衰減.因此，只有一種反射成像形式能被觀(guān)察到，而兩種透射成像形式都能被觀(guān)察到.

圖7 兩種反射成像的光路圖

5 透射成像修正系數(shù)k′的較精確推導(dǎo)

設(shè)

(n-y0-Rsinθ)j+(p-z0)k=

gxi+gyj+gzk

(b-y0-Rsinθ)j+(c-z0)k=

fxi+fyj+fzk

n=nxi+nyj+nzk

e=hk

(1)求精度較低的θ

將k′≈k代入2.1中的式(15)可求得精度較低的θ.最終要用到θ2′，但我們可以先引入一個(gè)精度較低的θ2′.

(2)求精度較低的θ2′

(20)

將式(20)中的兩式聯(lián)立，消去θf(wàn)，可以求得精度較低的θ2′.

(3)求θn

由圖2可得

(21)

引入

由2.1中的式(6)得

(22)

而由圖2可得

(23)

將式(23)代入式(22)得，n的各分量為

(24)

因此

(gxcosθ+gysinθ)+2kagzcosθ2′

(25)

將式(25)代入式(21)得

(26)

(4)求θ1

由圖2可得

θ1=θg-θn

(27)

(28)

將式(26)求得的θn和式(28)求得的θg代入式(27)可求得θ1.

(5)求θ2

由折射定律得

n1sinθ1=n2sinθ2

(29)

將兩介質(zhì)的折射率和(4)中求得的θ1代入式(29)可求得θ2.

(6)求精度較高的θ2′

由圖2可得

θ2′=θ2+θn

(30)

將(3)中求得的θn，(5)中求得的θ2代入式(30)可求得精度較高的θ2′.

(7)求k2

由2.1中的數(shù)學(xué)模型可知

(31)

(8)求精度較高的k′

將(7)中求得的k2，及

代入k′=k+k2，可最終求得精度較高的k′.

在以上8步推導(dǎo)中，有一些量作了近似處理，因此最終只是推導(dǎo)出了精度較高的k′.但由這些推導(dǎo)可以看出，刮擦全息透射成像修正系數(shù)k′與反射成像修正系數(shù)k的差別，是由k2的存在造成的，而k2受板材折射率和厚度的影響，因此4.1中的猜測(cè)是正確的.

6 結(jié)束語(yǔ)

本文依據(jù)幾何光學(xué)的基本原理為刮擦全息的透射成像建立了理論基礎(chǔ)，闡述了刮擦全息透射成像的基本規(guī)律.依據(jù)數(shù)學(xué)模型建立的計(jì)算機(jī)仿真效果，同實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象相符，從而驗(yàn)證了理論的正確性.結(jié)合實(shí)驗(yàn)和理論，指出了透射成像與反射成像的相同與不同之處.刮擦全息透射成像理論的建立彌補(bǔ)了刮擦全息理論在這方面的缺失，進(jìn)一步完善了基于幾何光學(xué)的刮擦全息理論.刮擦全息透射成像使人們對(duì)這種全息成像技術(shù)有了更完整的認(rèn)識(shí)，而透射成像存在兩種成像方式的特殊性，必將使刮擦全息技術(shù)有更廣闊的應(yīng)用前景.對(duì)刮擦全息透射成像的研究，為基于刮擦全息的藝術(shù)創(chuàng)作提供了新的思路和理論指導(dǎo).

1 朱偉利，孫雨南，陶世荃,等.光學(xué)信息技術(shù)原理及應(yīng)用.北京：高等教育出版社,119～126

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TheStudyonTransmittedImaginginAbrasionHolography

XueRuiZhaoLeiWangTaoChengJianzhong

(DepartmentofAppliedPhysics,ChengduUniversityofTechnology,Chengdu,Sichuan610059)

To make up for the deficiency of transmitted imaging in abrasion holography, theoretical explanations based on geometrical optics are presented. Then these explanations are verified by a series of experiments in which acrylic plates with different scratched grooves on either sides were adopted. By comparing and contrasting transmitted imaging with reflected imaging in abrasion holography, theoretical and experimental similarities as well as differences of these two types of imaging are put forward. After that, a revisal modulus in the theoretical analysis of transmitted imaging with higher accuracy is deduced, which indicates that transmitted imaging is affected by the material and thickness of the scratched plate. Ultimately, the practical utility of transmitted imaging and its importance to the perfection of abrasion holography is illustrated.

abrasion holography; transmitted imaging; reflected imaging; refraction; acrylic glass

*成都理工大學(xué)物理學(xué)教學(xué)創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)NO：JXTD201301四川省2014-2016年高等教育人才培養(yǎng)質(zhì)量和教學(xué)改革項(xiàng)目.

薛瑞(1996- )，男，在讀本科生.

程儉中(1957- )，男，副教授，主要研究方向?yàn)槲锢砼c物理教學(xué).

2016-07-07)