呂建平

(安徽師范大學(xué)物理系 安徽 蕪湖 241000)

解析延拓課程教學(xué)改革淺探*
——兼談最大熵方法

呂建平

(安徽師范大學(xué)物理系 安徽 蕪湖 241000)

針對數(shù)學(xué)物理方法課程教學(xué)中學(xué)生普遍反映比較抽象的解析延拓部分，設(shè)計以數(shù)值模擬方法為技術(shù)路線的教學(xué)方案.通過物理模型的構(gòu)建，介紹線性響應(yīng)理論和最大熵解析延拓方法的基本原理，全面設(shè)計課堂教學(xué)環(huán)節(jié)，展示對具體實例的計算結(jié)果.最后，對課程實踐過程中的有待提高之處進行反思和探討.

數(shù)學(xué)物理方法 解析延拓 最大熵方法

數(shù)學(xué)物理方法課程是高等院校物理類本科專業(yè)必修的重要課程之一.然而，對中等程度的學(xué)生而言，學(xué)好這門課程并不容易.學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中既需要高等數(shù)學(xué)等前期數(shù)學(xué)課程的良好基礎(chǔ)，又需要對一些經(jīng)典物理模型有清晰的認(rèn)識[1,2].由于上述客觀原因，加之筆者水平所限，在承擔(dān)安徽師范大學(xué)卓越理科實驗班數(shù)學(xué)物理方法課程之初，筆者常在課堂教學(xué)設(shè)計過程中感到困惑.通過課堂教學(xué)的反饋，常獲悉學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中感到概念過于抽象，無法和具體的物理系統(tǒng)進行有效聯(lián)系.

和國內(nèi)多數(shù)高校一樣，我校數(shù)學(xué)物理方法課程在低年級開課，此時學(xué)生對一些重要物理問題的圖像和機理還沒有全面的認(rèn)識.這要求教師在教學(xué)過程中，在有限的教學(xué)時長內(nèi)補充介紹相關(guān)物理模型.而幾乎所有經(jīng)典教材在講述偏微分方程部分時都會引入包括電導(dǎo)、熱傳導(dǎo)在內(nèi)的輸運過程作為主要物理模型.這引發(fā)筆者的思考：既然學(xué)生在數(shù)學(xué)物理方法課的學(xué)習(xí)過程中須對輸運過程的物理圖像有基本概念，可否將輸運過程的相關(guān)模型拓展到偏微分方程以外的教學(xué)內(nèi)容？此為筆者探索相關(guān)課程設(shè)計的背景.

本文討論解析延拓的教學(xué)設(shè)計，旨在借助于較為具體的物理圖像來避免教學(xué)內(nèi)容過于抽象化，以探索提升教學(xué)質(zhì)量的途徑.沿用吳崇試先生《數(shù)學(xué)物理方法》教材中關(guān)于解析延拓的概念[2]: 兩個函數(shù)f1(z)和f2(z) 分別在定義域g1和g2內(nèi)解析，且在g1和g2的公共區(qū)域等價，則f2(z)可稱為f1(z)在g2區(qū)域的解析延拓，且f1(z)可稱為f2(z)在g1區(qū)域的解析延拓.又由同一性原理可知，對定義在同一個區(qū)域的兩個解析函數(shù)，如果它們在該區(qū)域內(nèi)的無窮多個點上相等，且這些點中有聚點存在，這兩個函數(shù)必然在整個區(qū)域上等價.在多體物理系統(tǒng)的研究中常須借助于多種關(guān)聯(lián)函數(shù).在頻域復(fù)平面上，延遲關(guān)聯(lián)函數(shù)和相應(yīng)的松原關(guān)聯(lián)函數(shù)在無窮多個點上相等，且這些點中存在聚點(此處聚點為虛軸上正方向的無窮遠(yuǎn)點i∞)，因而必然在共同解析區(qū)域上等價，且松原關(guān)聯(lián)函數(shù)可延拓到延遲關(guān)聯(lián)函數(shù)的解析區(qū)域.在實際計算中，由于一些數(shù)值算法在計算松原關(guān)聯(lián)函數(shù)時具有顯著的優(yōu)勢.因此，在通常情況下，我們總是先直接計算松原關(guān)聯(lián)函數(shù)，再借助于解析延拓手段探索延遲關(guān)聯(lián)函數(shù).

基于上述論證，同時借助于數(shù)值模擬方法，筆者將針對輸運問題設(shè)計解析延拓教學(xué)方案，進而在實際教學(xué)中進行小范圍實踐.下文將對教學(xué)過程的設(shè)計原理和基本環(huán)節(jié)進行介紹，并對教學(xué)實踐進行反思和總結(jié).

1 物理問題的提出

輸運過程有廣泛的范疇，在物理學(xué)的教學(xué)和研究中具有重要的地位.輸運過程研究的常用理論框架之一為線性響應(yīng)理論.線性響應(yīng)理論對近平衡態(tài)系統(tǒng)的輸運行為有良好的描述.根據(jù)線性響應(yīng)理論，我們只需要知道以時間為變量的電流-電流延遲關(guān)聯(lián)函數(shù)，就可根據(jù)久保公式方便地計算出電導(dǎo)率[3].然而，如何求得電流-電流關(guān)聯(lián)函數(shù)？首先，借助于數(shù)值模擬可獲得電流-電流松原關(guān)聯(lián)函數(shù)[4].接下來，可根據(jù)解析延拓手段由松原關(guān)聯(lián)函數(shù)獲得相應(yīng)區(qū)域的延遲關(guān)聯(lián)函數(shù).關(guān)于電流-電流松原關(guān)聯(lián)函數(shù)的計算，筆者通過前期科研工作已有方法上的積累，既可將程序代碼以軟件的形式提供給學(xué)生使用[5～7]，也可為學(xué)生直接提供松原關(guān)聯(lián)函數(shù)的數(shù)據(jù).無論哪種做法，都不會直接影響學(xué)生在解析延拓方面的訓(xùn)練.

在對物理系統(tǒng)平衡態(tài)性質(zhì)的討論中，基于松原虛時的路徑積分蒙特卡洛方法已被廣泛采用.然而，本教學(xué)過程涉及輸運過程的數(shù)值實驗，對蒙特卡洛方法有更高要求.原因是顯然的：此處蒙特卡洛數(shù)據(jù)只是解析延拓的輸入數(shù)據(jù)，而不再是與實驗可比的最終結(jié)果.一旦蒙特卡洛數(shù)據(jù)的精度不高，或抽樣數(shù)據(jù)之間的關(guān)聯(lián)性不能被明確把握，相關(guān)的解析延拓過程就難以獲得穩(wěn)定可靠的結(jié)果.因此，高效的蒙特卡洛算法是必要的技術(shù)手段.在課程教學(xué)中，我們將使用高效的蠕蟲型連續(xù)虛時蒙特卡洛算法，該算法通過新自由度的引入使得位形空間得以擴展，進而以馬爾科夫鏈的形式產(chǎn)生可供抽樣統(tǒng)計的位形.這種新位形的產(chǎn)生方式具有克服臨界慢化的功能，因而算法效率將獲顯著提高.在此過程中，學(xué)生須知道松原關(guān)聯(lián)函數(shù)的形式特點：若考慮頻域復(fù)平面，在虛軸的松原頻率點上松原關(guān)聯(lián)函數(shù)可以直接計算，且等同于相應(yīng)的延遲關(guān)聯(lián)函數(shù).

如前文所述，在物理上更重要的是實時延遲電流-電流關(guān)聯(lián)函數(shù).若已知松原關(guān)聯(lián)函數(shù)在上半平面內(nèi)一些點上的數(shù)值結(jié)果，如何通過解析延拓，獲得無限靠近實軸時的關(guān)聯(lián)函數(shù)數(shù)據(jù)？不失一般性，在已獲得松原關(guān)聯(lián)函數(shù)數(shù)據(jù)的情況下，可通過最大熵解析延拓辦法獲得以實頻為變量的延遲關(guān)聯(lián)函數(shù)，進而求得電導(dǎo)率.

2 最大熵解析延拓方法

通過多體物理理論中常用的萊曼(Lehmann)譜分解可知，在遠(yuǎn)離實軸的上半頻域復(fù)平面內(nèi)，延遲關(guān)聯(lián)函數(shù)在形式上等價于相應(yīng)的松原關(guān)聯(lián)函數(shù).在松原頻率上，后者可由量子蒙特卡洛模擬直接測量.為探索實軸上的信息，可作解析延拓iωn→ω+i0+，其中ωn為松原頻率.我們擬采用的最大熵方法是最具代表性的解析延拓方法之一[8,9].最大熵方法的主要思路是運用貝葉斯推理，把尋找最可能解析延拓結(jié)果的問題，轉(zhuǎn)化為求解“自由能”最小值的問題，它的穩(wěn)定性已被大量文獻結(jié)果所證實.值得一提的是，最大熵方法對具有數(shù)值不確定性的數(shù)據(jù)具有強大的處理能力.在實際應(yīng)用中，我們借助于高效量子蒙特卡洛方法產(chǎn)生的松原關(guān)聯(lián)函數(shù)具有高度的精確性，完全可以通過最大熵方法獲得穩(wěn)定可靠的實頻輸出數(shù)據(jù).另外，我們擬定的課堂教學(xué)方案中也包含了可靠的誤差估計方法.他山之石，可以攻玉.在未來的教學(xué)過程中，我們也有可能借鑒其他的解析延拓方法，如隨機優(yōu)化方法[10]和隨機抽樣方法[11]，將它們作為傳統(tǒng)最大熵方法的重要補充.

最大熵方法最早發(fā)展于工程科學(xué)領(lǐng)域，后被物理學(xué)家借鑒，用來解決具有數(shù)值不確定性數(shù)據(jù)的解析延拓問題[8].首先，根據(jù)相關(guān)問題情境，引入“自由能”的概念.“自由能”的定義為F=χ2-AS，在形式上與熱力學(xué)中的自由能類似，其中χ2是描述擬合過程的協(xié)方差，S是相對于預(yù)設(shè)默認(rèn)模型的熵密度，A是常系數(shù)，它的選取有不同的判定方法.而S類似于熱力學(xué)中的熵，此即為最大熵方法名稱的由來.我們不難想象，當(dāng)A=0時，F(xiàn)中協(xié)方差χ2占主導(dǎo)地位，解析延拓過程就完全退化為數(shù)據(jù)擬合過程，擬合結(jié)果通常為噪聲結(jié)果，不具有預(yù)測能力；當(dāng)A很大時，S占主導(dǎo)作用，擬合結(jié)果對應(yīng)于平庸的默認(rèn)模式.這兩種極限下，解析延拓結(jié)果都沒有意義.實際上，根據(jù)χ2隨熵權(quán)重變化的依賴關(guān)系可區(qū)分3個截然不同的區(qū)域：噪聲擬合區(qū)域、信息擬合區(qū)域和默認(rèn)模型區(qū)域.對這3個區(qū)域的探討和分析，將有助于我們正確使用并最終發(fā)展最大熵方法[9].

在通過編程實現(xiàn)解析延拓的過程中，我們會盡可能地納入有效信息而完全避免噪聲信息.為此，我們把噪聲擬合區(qū)域和信息擬合區(qū)域的分界點作為熵權(quán)重的最佳選擇，并通過分析不同類型的熵權(quán)重選擇方法，探索最佳的解析延拓方案.從理論上講，無論輸入數(shù)據(jù)是否有數(shù)值上的不確定性，最大熵方法都應(yīng)該給出唯一穩(wěn)定的解析延拓結(jié)果.但值得注意的是，熵權(quán)重的選取會影響誤差估計的可靠性.而目前較為流行的熵權(quán)重選取方法是基于經(jīng)驗判據(jù)，即令協(xié)方差χ2等于樣本數(shù).該判據(jù)僅在樣本數(shù)很大且χ2精確可知的情況下較好地工作，因而不是我們的選擇.

3 課堂教學(xué)的實例

根據(jù)輸運過程的基本特征，借助于相關(guān)的理論和方法，并考慮課堂教學(xué)的實際情況，我們擬定了如圖1所示的課堂教學(xué)基本流程.

其中T為溫度，kB為玻爾茲曼常數(shù).若僅關(guān)注平衡態(tài)行為，通過附加的模擬可確定此時系統(tǒng)處于正常流體態(tài)，其低溫下的超流特性被熱漲落破壞，但仍然保留普通流體的一些特征，包括擴散性和可壓縮性.我們在前文中提到的蒙特卡洛方法對該系統(tǒng)具有較為強大的刻畫能力.

圖1 課程教學(xué)的基本流程

通過數(shù)值模擬，我們獲得了系統(tǒng)在平衡態(tài)的一系列數(shù)據(jù).在圖2中，我們展示了以虛頻為自變量的電流-電流松原關(guān)聯(lián)函數(shù).不難發(fā)現(xiàn)，該函數(shù)以較快的速度衰減.又由線性響應(yīng)理論可知，以實頻為變量的電流-電流延遲關(guān)聯(lián)函數(shù)的虛部與電導(dǎo)率的規(guī)則項對應(yīng).為獲得該延遲關(guān)聯(lián)函數(shù)的虛部，我們采用上文中提到的、經(jīng)過優(yōu)化的最大熵方法進行解析延拓.如圖3所示，我們獲得了電導(dǎo)率隨實頻率變化的關(guān)系.和我們的預(yù)期一致，相關(guān)的解析延拓手段展現(xiàn)出高度的精確性和穩(wěn)定性，這一點體現(xiàn)為解析延拓結(jié)果極窄的上下界范圍.最后，我們將直流(ω=0)電導(dǎo)率的規(guī)則項確定為0.085(2).

圖2 高溫下正常流體態(tài)的松原流-流關(guān)聯(lián)強度(已設(shè)=1，

圖3 高溫下正常流體態(tài)的電導(dǎo)率，所取參數(shù)與圖2相同

4 總結(jié)和反思

通過將數(shù)值模擬方法引入到解析延拓課程相關(guān)章節(jié)的教學(xué)過程中，學(xué)生可獲得對解析延拓理論及其實踐方法的直觀印象.通過與實際物理問題的結(jié)合，學(xué)生意識到相關(guān)教學(xué)內(nèi)容在現(xiàn)代物理研究中的重要性，因而在一定程度上增強了學(xué)習(xí)的積極性.然而，筆者也清楚地認(rèn)識到教學(xué)過程中的若干不足之處.例如，產(chǎn)生松原關(guān)聯(lián)函數(shù)的過程對學(xué)生而言類似于一個“黑匣子”，學(xué)生很難全面地理解數(shù)值模擬的細(xì)節(jié)，這可能會在一定程度上削減學(xué)生參與相關(guān)數(shù)值實驗的熱情.在數(shù)學(xué)物理方法課程的教學(xué)中，如何在有限的教學(xué)時長內(nèi)，讓學(xué)生通過課本知識獲得完整解決一個實際物理問題的體驗？以本文為起點，在后續(xù)的教學(xué)實踐過程中，筆者將繼續(xù)修正相關(guān)的課程教學(xué)環(huán)節(jié)，以期獲得教學(xué)效率的持續(xù)提高.

1 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院高等數(shù)學(xué)、微分方程教研室．高等數(shù)學(xué)(第4冊)(第3版).北京: 高等教育出版社, 2010.76～98

2 吳崇試.數(shù)學(xué)物理方法.北京：北京大學(xué)出版社, 1999.137～144

3 列夫·達維多維奇·朗道,E·M·栗弗席茲.理論物理學(xué)教程:統(tǒng)計物理學(xué)(第5版)．束仁貴,束莼，譯.北京:高等教育出版社,2011.337～347

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ExplorationontheTeachingReformofAnalyticContinuationCourse——AndTalkingabouttheMaximumEntropyMethod

LvJianping

(DepartmentofPhysics,AnhuiNormalUniversity,Wuhu,Anhui241000)

For the analytic continuation part in Mathematical Physics course which is more or less abstract to students, we design the course teaching based on numerical simulation methods. In this paper, via the construction of physical model, we introduce the basic aspects for linear response theory and maximum entropy analytic continuation method. We design the specific procedure in course teaching process, and demonstrate the numerical results for a specific example. Finally, we discuss the possible directions to improve present course teaching process.

Mathematical Physics; analytic continuation; maximum entropy method

*國家自然科學(xué)基金，項目編號：11405003,11147013

呂建平(1983- )，男，博士，主要從事數(shù)學(xué)物理方法、群論和大學(xué)物理等課程的教學(xué)，以及凝聚態(tài)物理理論研究.

2016-06-19)