邱貞輝

摘 要：例題和習(xí)題的講解是初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重要組成部分，也是初中生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的主要途徑，通過(guò)科學(xué)地設(shè)計(jì)例題和習(xí)題教學(xué)能夠激發(fā)學(xué)習(xí)興趣、培養(yǎng)良好品質(zhì)，起到積極的反饋?zhàn)饔?。教學(xué)中，教師可就數(shù)形結(jié)合思想、建模思想和變通思想等方面加以研究，通過(guò)對(duì)一元二次方程的教學(xué)設(shè)計(jì)，為數(shù)學(xué)例題及習(xí)題教學(xué)設(shè)計(jì)研究提供參考。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué) 例題及習(xí)題 設(shè)計(jì) 研究

課堂是學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)的主要途徑，因此教學(xué)質(zhì)量的高低與課堂教學(xué)狀況有著密切關(guān)系。在課堂教學(xué)中，例題及習(xí)題的教學(xué)與講解會(huì)占用較多時(shí)間，因此要提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量，必須加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)例題及習(xí)題的教學(xué)設(shè)計(jì)研究。

數(shù)學(xué)習(xí)題浩如煙海，在教學(xué)過(guò)程中不能面面俱到，但基本上可以分為代數(shù)題、平面幾何題、立體幾何題、解析幾何題等。教師要充分利用各類例題和習(xí)題的功能來(lái)提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。

一、例題及習(xí)題在教學(xué)中的作用

個(gè)體學(xué)習(xí)離不開對(duì)具體實(shí)例的認(rèn)識(shí)，就像醫(yī)生學(xué)習(xí)醫(yī)術(shù)離不開對(duì)相關(guān)病例的研究。數(shù)學(xué)中的例題就是學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中的“病歷”，學(xué)生通過(guò)對(duì)這些“病歷”的研究，可學(xué)會(huì)更多的知識(shí)。數(shù)學(xué)例題具有基礎(chǔ)性、啟發(fā)性和創(chuàng)新性的特點(diǎn)，是各類數(shù)學(xué)知識(shí)的精華匯總，是連接課本知識(shí)與學(xué)生思維的紐帶。

數(shù)學(xué)習(xí)題就像是醫(yī)生的實(shí)習(xí)實(shí)驗(yàn)室，學(xué)生只有通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)習(xí)題的不斷鉆研與攻克，才能鞏固所學(xué)知識(shí)，才能熟練地運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，進(jìn)一步發(fā)展思維能力。數(shù)學(xué)習(xí)題能夠給學(xué)生提供施展才能的平臺(tái)，同時(shí)也是衡量學(xué)生學(xué)習(xí)狀況的標(biāo)準(zhǔn)，通過(guò)對(duì)這些問(wèn)題的解答，學(xué)生能夠了解自己的學(xué)習(xí)狀況，知道自己的弱點(diǎn)，從而調(diào)整自己的學(xué)習(xí)狀態(tài)。

1.激發(fā)興趣，培養(yǎng)良好品質(zhì)

在數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，我們可以通過(guò)對(duì)例題和習(xí)題的設(shè)計(jì)來(lái)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，從而促進(jìn)學(xué)生獲取新知識(shí)。例如，教師可以通過(guò)改編題干的方法，將學(xué)生喜聞樂(lè)見(jiàn)的事情轉(zhuǎn)變?yōu)轭}干，調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。另外，學(xué)生通過(guò)對(duì)例題和習(xí)題的練習(xí)，可以培養(yǎng)自己的邏輯推理能力和分析問(wèn)題能力，還可以在潛移默化中改變性情，有助于形成追求真理的品質(zhì)和實(shí)事求是的態(tài)度。通過(guò)對(duì)例題和習(xí)題解題思路的探求，能夠培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考和勇于探索的品質(zhì)；通過(guò)對(duì)難題的鉆研，能夠培養(yǎng)學(xué)生鍥而不舍和堅(jiān)強(qiáng)的品質(zhì)。

2.自我檢測(cè)，獲取信息反饋

學(xué)生的學(xué)習(xí)情況要通過(guò)對(duì)相應(yīng)數(shù)學(xué)例題和習(xí)題的解答狀況來(lái)體現(xiàn)。合理的問(wèn)題設(shè)計(jì)可以了解近期的教學(xué)狀況，反映學(xué)生學(xué)習(xí)中的不足以及對(duì)基本知識(shí)和技能的掌握情況。例如，每個(gè)知識(shí)點(diǎn)學(xué)完后，教師可以通過(guò)設(shè)計(jì)練習(xí)題的方式讓學(xué)生把習(xí)題做到作業(yè)本上，使學(xué)生在做題的過(guò)程中進(jìn)一步了解自己的學(xué)習(xí)狀況，同時(shí)，也便于教師在批改作業(yè)的過(guò)程中掌握學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況。

二、例題及習(xí)題教學(xué)設(shè)計(jì)

1.突出例題及習(xí)題中的數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，是通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解答而總結(jié)出來(lái)的解題指導(dǎo)思想，是數(shù)學(xué)教學(xué)的靈魂。如果學(xué)生能夠正確地掌握數(shù)學(xué)思想，就能使數(shù)學(xué)解題迎刃而解，便于數(shù)學(xué)知識(shí)的縱向遷移，使學(xué)生養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)能力，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)。

第一，數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用。我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休?！边@句話強(qiáng)調(diào)了數(shù)形結(jié)合思想的重要性。例如，面積為1的矩形，它的周長(zhǎng)的最小值是多少？周長(zhǎng)為3的矩形，它的面積最大值是多少？對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，我們?nèi)绻麊渭兊貜拇鷶?shù)角度來(lái)思考就會(huì)得出方程xy=1，x+y=3/2，這樣一來(lái)，對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解答問(wèn)題就較為困難了。如果我們通過(guò)變形將方程xy=1，x+y=3/2，變換為y=1/x，y=-x+3/2，這樣，就變成了學(xué)生所熟悉的反比例函數(shù)和一次函數(shù)了。這時(shí)再通過(guò)作圖，在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中畫出對(duì)應(yīng)的圖象，就能明顯地得出結(jié)論了。

2.利用建模，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)

新課標(biāo)提倡教師在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)通過(guò)“創(chuàng)設(shè)情境—建立模型—解答應(yīng)用”的模式進(jìn)行教學(xué)，這就是數(shù)學(xué)教學(xué)中的建模意識(shí)，從本質(zhì)上講就是提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、應(yīng)用問(wèn)題，是解決問(wèn)題的一個(gè)過(guò)程。例如，一道與學(xué)生生活息息相關(guān)的題目：一家商店出售衣服，為了搞促銷，先提高成本價(jià)的40%，然后又以8折出售，結(jié)果每件獲得了15元的利潤(rùn)，問(wèn)這件衣服的成本價(jià)是多少？這道題可以以一元一次方程為模型，設(shè)成本價(jià)為x元，那么每件衣服的標(biāo)價(jià)就可以表示為（1+40%）x元，那么實(shí)際售價(jià)可以表示為（1+40%）×80%x元，利潤(rùn)可表示為[（1+40%）×80%x-x]元，列出方程（1+40%）×80%x-x=15。解題過(guò)程模型可以表示為圖2，解答應(yīng)用題就是創(chuàng)建這樣一個(gè)模型的過(guò)程。

3.通過(guò)變通題目，促進(jìn)學(xué)生的知識(shí)理解

數(shù)學(xué)題目浩如煙海，但萬(wàn)變不離其宗，都是通過(guò)幾種數(shù)學(xué)知識(shí)演變而來(lái)的。在教學(xué)中，首先，教師應(yīng)結(jié)合教材例題，通過(guò)改變命題方式和結(jié)構(gòu)形式來(lái)幫助學(xué)生加深對(duì)某一知識(shí)點(diǎn)的理解。其次，通過(guò)對(duì)習(xí)題的不斷變換，開拓學(xué)生視野，培養(yǎng)學(xué)生思維，提高解題能力。例如，在學(xué)習(xí)了“勾股定理”內(nèi)容后，教師可提出以下問(wèn)題，以幫助學(xué)生加深對(duì)知識(shí)的理解：（1）如果三角函數(shù)a2+b2=c2中a，b，c為銳角三角形的三條邊，那么a2，b2，c2之間存在什么樣的關(guān)系呢？（2）如果三角函數(shù)中a，b，c為鈍角三角形的三條邊，那么a2，b2，c2之間存在什么樣的關(guān)系呢？（3）如果勾股數(shù)是滿足方程a2+b2=c2的正整數(shù)解，那么方程an+bn=cn（n>2）有沒(méi)有正整數(shù)解呢？通過(guò)對(duì)一系列問(wèn)題的解答幫助學(xué)生加深對(duì)勾股定理的理解。

4.注重知識(shí)的整體性

數(shù)學(xué)知識(shí)不是孤立存在的，它是整體中的局部，只有對(duì)局部?jī)?nèi)容教學(xué)并與整體相聯(lián)系后，才有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解、記憶、匯總與提取。例如，在學(xué)習(xí)“四邊形”章節(jié)內(nèi)容后，學(xué)生會(huì)對(duì)學(xué)到的平行四邊形、菱形、正方形、矩形、等腰梯形等相關(guān)知識(shí)有所認(rèn)識(shí)，這些知識(shí)都是零散的內(nèi)容，如果不及時(shí)進(jìn)行匯總與整理，就容易混淆。因此，教師可以通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生繪制圖表，對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行比較，使認(rèn)知結(jié)構(gòu)得到優(yōu)化。例如，從四邊形開始分支，什么樣的四邊形為平行四邊形，什么樣的圖形為梯形；平行四邊形可根據(jù)角的關(guān)系和臨邊關(guān)系分為矩形和菱形；根據(jù)它們的特殊性，總結(jié)出正方形的相關(guān)知識(shí)；梯形可根據(jù)腰和角的性質(zhì)分為等腰梯形和直角梯形。

三、數(shù)學(xué)例題及習(xí)題教學(xué)設(shè)計(jì)案例

以初中數(shù)學(xué)一元二次方程教學(xué)設(shè)計(jì)為例，第一課時(shí)設(shè)計(jì)思路按照“設(shè)置情景—提出問(wèn)題—建立模型分析問(wèn)題—應(yīng)用拓展”來(lái)設(shè)計(jì)。一元二次方程是中學(xué)數(shù)學(xué)的主要組成部分，首先根據(jù)教學(xué)點(diǎn)的需要引入了大量實(shí)例，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生建立一元二次方程，通過(guò)對(duì)方程的化簡(jiǎn)變形來(lái)歸納出一元二次方程的概念。

1.創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引入課程教學(xué)內(nèi)容

（教師出示掛圖，引導(dǎo)學(xué)生回答問(wèn)題）

問(wèn)題一：有一塊長(zhǎng)方形的地毯（見(jiàn)圖3），四周鑲有寬度相等的花邊，地毯有8 m長(zhǎng)，5 m寬，它中央長(zhǎng)方形的圖案有18平方米，問(wèn)花邊有多寬？

問(wèn)題二：如圖4所示，有一個(gè)長(zhǎng)為10 m的梯子斜靠在墻上，梯子的最上端在距離地面8 m的地方，由于地滑，梯子的頂端下落了1 m，問(wèn)梯子的底部到底滑了多遠(yuǎn)？

問(wèn)題三：仔細(xì)觀察等式102+112+122=132+142，是否還能找出另外一組五個(gè)相連的數(shù)字也符合這樣的特點(diǎn)？

學(xué)生回答完問(wèn)題后，教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生思考：根據(jù)列出的方程，你發(fā)現(xiàn)與以前學(xué)過(guò)的方程有什么不同嗎？相比以前學(xué)過(guò)的一元一次方程，你可以給現(xiàn)在的方程取一個(gè)名字嗎？

2.現(xiàn)實(shí)問(wèn)題“數(shù)學(xué)化”，真正解決問(wèn)題

教師可引導(dǎo)學(xué)生將一些實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)的數(shù)學(xué)問(wèn)題后再解答，并畫出數(shù)學(xué)簡(jiǎn)圖（見(jiàn)圖5）。

列出方程（8-2x）（5-2x）=18，（x+6）2+72=102，x2+（x+1）2+（x+2）2=（x+3）2+（x+4）2。深入剖析方程，將上述方程簡(jiǎn)化為2x2-13x+11=0，x2+12x-15=0，x2-8x-20=0。通過(guò)對(duì)方程ax2+bx+c=0中a，b，c三個(gè)數(shù)值的討論，引出一元二次方程的條件。

3.鞏固練習(xí)與反思

（1）把方程（2x+5）2=4（x-7）2轉(zhuǎn)化為一元二次方程的一般形式，并找出它們的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)。

（2）方程（a+3）x2-13x+11=0，當(dāng)a滿足什么條件時(shí)，該方程為一元二次方程？當(dāng)a滿足什么條件時(shí)，該方程為一元一次方程？

（3）方程（a+3）xb+1-13x+11=0，當(dāng)b為多少時(shí)是一元二次方程？

通過(guò)對(duì)這些問(wèn)題的練習(xí)，可以幫助學(xué)生充分認(rèn)識(shí)一元二次方程，實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)。

最后提出課后思考題：在一次同學(xué)聚會(huì)上，參加聚會(huì)的人兩兩握手，總共握了88次，問(wèn)從握手的次數(shù)上能否判斷出有多少人參加了聚會(huì)？

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