張 宇 頌

(武漢外國語學(xué)校，湖北 武漢 430000)

拋物線拱結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計算

張 宇 頌

(武漢外國語學(xué)校，湖北 武漢 430000)

介紹了拋物線拱結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，以某對稱的單跨兩鉸拱為例，采用精確計算法與簡化計算法，計算分析了該拱結(jié)構(gòu)的內(nèi)力，并探討了兩種計算方法的優(yōu)劣勢和適用范圍，為拋物線拱結(jié)構(gòu)內(nèi)力計算方法的選擇提供參考。

拱結(jié)構(gòu)，拋物線，結(jié)構(gòu)力學(xué)，計算方法

拋物線具有優(yōu)良的力學(xué)性能，工程實(shí)際中的拱結(jié)構(gòu)很多就是采用拋物線形。采用拋物線形的拱結(jié)構(gòu)內(nèi)部幾乎不承受拉力，可以充分發(fā)揮材料的力學(xué)性能。常用的拋物線拱橋?yàn)槌o定結(jié)構(gòu)，其內(nèi)力計算往往是工程應(yīng)用中的難點(diǎn)。查閱相關(guān)資料，其內(nèi)力計算通常有兩種方法：精確方法和簡化方法。在相關(guān)力學(xué)資料中推導(dǎo)出了精確計算方法的公式，但由于計算比較困難，一般對一些參數(shù)采用近似假設(shè)后，給出了簡化計算的例子。本文以一對稱的單跨兩鉸拱為例，來討論以上兩種方法的具體實(shí)施過程，并對各自的優(yōu)劣以及計算精度進(jìn)行了對比。

1 精確計算方法

用力法計算如圖1所示的無拉桿兩鉸拱。由于是一次超靜定結(jié)構(gòu)，因此取簡支曲梁為基本體系，如圖2所示。

按基本體系在X1處沿其方向上在荷載及多余力的共同作用下，其位移應(yīng)與原結(jié)構(gòu)相同的位移條件建立力法典型方程如下：

δ11X1+Δ1P=0

(1)

計算系數(shù)與自由項(xiàng)，在X1=1作用下，曲梁的受力性能與拱相同，因此計算系數(shù)δ11時，應(yīng)考慮彎矩和軸力的影響，計算公式如下：

(2)

由圖3可見：

(3)

(4)

在FP作用下，曲梁的受力性能與簡支梁相同，因此計算自由項(xiàng)Δ1P時，只需考慮彎矩的影響，計算公式如下：

(5)

同理：

(6)

因此：

(7)

由力法方程得到求無拉桿兩鉸拱多余未知力(即水平推力)的公式如下：

(8)

水平推力FH=X1求得后，各截面內(nèi)力計算與靜定三鉸拱內(nèi)力計算相同，公式如下：

(9)

上述方法可以得到兩鉸拱較為精確的解，稱之為精確解法。但由于計算十分復(fù)雜，不便于手算，所以在結(jié)構(gòu)力學(xué)教材中一般沒有給出具體計算的例題。下面就用精確解法對如圖1所示兩鉸拱進(jìn)行計算。

首先需要對式(8)中的ds，cosφ作進(jìn)一步地推導(dǎo)：

由于：

(10)

(11)

所以δ11可寫成：

(12)

其次計算Δ1P時，要先求出MP，可以利用如圖4所示簡支梁進(jìn)行求解。彎矩MP的方程為：

將MP代入后，Δ1P的計算式為：

(13)

將上述δ11，Δ1P代入式(8)就可以計算水平推力了。將本例相應(yīng)簡支梁的彎矩和剪力代入式(2)后，計算該兩鉸拱軸力和彎矩的具體計算公式如下：

對于左半跨(見圖5)：

(14)

對于右半跨(見圖6)：

FN=FBysinφ-FHcosφ

M=FBy(L-x)-FHy

(15)

在δ11,Δ1P的計算式中存在積分計算問題，本文首先利用MATLAB對以上兩式進(jìn)行數(shù)值積分，先在MATLAB中建立關(guān)于δ11,Δ1P的被積函數(shù)，再調(diào)用MATLAB自帶的牛頓—柯斯特積分函數(shù)qudal，求出δ11,Δ1P以及支座水平推力FH。然后再對式(14)，式(15)通過編程，求出x=3 m處的軸力FN3和彎矩M3、拱頂處的軸力FN7和彎矩M7以及x=11 m處的軸力FN11和彎矩M11，列于表1中。拱軸線的矢跨比分別取0.1，0.2，0.3，0.4，0.5。

表1 拋物線拱結(jié)構(gòu)精確計算結(jié)果表

以上主要介紹了精確法計算式(8)中“ds”“cosφ”的具體處理方法，以及如何借助相關(guān)軟件用數(shù)值積分法解決式(8)中的積分問題。同時由表1的計算結(jié)果可以看到：在半邊均布荷載作用下，隨著兩鉸拱矢跨比的增大，軸力明顯減??；在同一矢跨比下，軸力沿拱圈變化較小，基本上是個常數(shù)；同一點(diǎn)的彎矩，隨拱矢跨比的改變而變化的幅度并不大。

2 簡化計算方法

在一般的結(jié)構(gòu)力學(xué)教材中都介紹了一種簡化計算方法，它是基于以下兩個簡化假設(shè)的：

1)忽略拱的軸向變形，只考慮其彎曲變形；

經(jīng)簡化后力法方程中的系數(shù)和自由項(xiàng)的計算公式為：

(16)

下面用式(16)對如圖1所示兩鉸拱再進(jìn)行計算，且對所有的矢跨比均近似取ds=dx，cosφ=1。

把拱軸線方程y代入式(16)后，δ11的具體計算式如下：

(17)

把拱軸線方程y及MP的方程(同精確法)代入后，Δ1P的具體計算式如下：

(18)

把δ11和Δ1P代入力法方程，可求得水平推力FH的計算公式如下:

(19)

求出FH后同樣可利用式(9)，通過編程求出x=3 m處的軸力FN3和彎矩M3、拱頂處的軸力FN7和彎矩M7以及x=11 m處的軸力FN11和彎矩M11，列于表2。

表2 拋物線拱結(jié)構(gòu)簡化計算結(jié)果表

由表2簡化計算得到的結(jié)果可以看出：軸力的計算結(jié)果精度較高；同一點(diǎn)的彎矩與矢跨比的變化無關(guān)，是個常值；彎矩的誤差相比軸力要大，而且矢跨比越小，誤差越大。因此當(dāng)拱的矢跨比小于0.1時，再使用簡化方法，其計算結(jié)果的精度將得不到保證。

3 結(jié)語

通過以上的討論可得出以下結(jié)論：

1)力學(xué)資料中介紹的精確法，計算十分復(fù)雜，手算幾乎沒有可能,雖然其中的積分運(yùn)算部分可以通過相關(guān)軟件解決。

2)力學(xué)資料中介紹的簡化計算方法，可以解決簡單拱結(jié)構(gòu)的計算問題，也可以得到較為精確的結(jié)果，并滿足學(xué)生練習(xí)的需要。

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Internal force calculation of the parabola arch structure

Zhang Yusong

(WuhanSchoolofForeignLanguage,Wuhan430000,China)

The paper introduces characteristics of parabola arch structure. Taking the symmetric single-span two-hinged arch as an example, applying accurate calculation methods and simple calculation method, it calculates and analyzes the internal force of the arch structure, and explores their merits and defects and application scope, which has provided some guidance for selecting internal force calculation method of parabola arch structure.

arch structure, parabola, structural mechanics, calculation method

1009-6825(2017)02-0065-03

2016-11-07

張宇頌(1999- )，男，在讀學(xué)生

TU311.4

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