邢曉燕

創(chuàng)新整合點(diǎn)

適當(dāng)選用信息技術(shù)，突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)：

①課上播放Flash動(dòng)畫(huà)“繩子抖動(dòng)”和視頻“簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)”，將教學(xué)內(nèi)容以實(shí)例展開(kāi)，使學(xué)生對(duì)正弦曲線(xiàn)和余弦曲線(xiàn)有一個(gè)直觀(guān)的印象，體會(huì)數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用。

②a.演示自制PPT課件，幫助學(xué)生理解利用正弦線(xiàn)畫(huà)y=sinx，x∈[0，2π]的圖象的方法，使問(wèn)題變得直觀(guān)，易于突破難點(diǎn)；b.演示幾何畫(huà)板課件，呈現(xiàn)隨著等分點(diǎn)的增加，出現(xiàn)的變化情況；c.演示平移任意角正弦線(xiàn)所得圖象。通過(guò)a、b、c三步演示，結(jié)合設(shè)計(jì)問(wèn)題，在探究過(guò)程中，提高學(xué)生對(duì)研究過(guò)程的參與程度，突破學(xué)習(xí)難點(diǎn)。

③演示PPT課件，呈現(xiàn)由正弦曲線(xiàn)得到余弦曲線(xiàn)的過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)圖象變換方法；呈現(xiàn)正弦曲線(xiàn)和余弦曲線(xiàn)的異同，進(jìn)一步明確圖象的特點(diǎn)；幫助學(xué)生尋找確定圖象的關(guān)鍵點(diǎn)，為“五點(diǎn)法”作圖做好鋪墊。

④利用幾何畫(huà)板的動(dòng)態(tài)演示功能，對(duì)例題的教學(xué)進(jìn)行變式與深化。使用信息技術(shù)有效地突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)。

教材分析

本節(jié)課是《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)·數(shù)學(xué)4（必修）》（人教A版）第一章第四節(jié)第一課時(shí)的內(nèi)容。正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象的學(xué)習(xí)，為正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的性質(zhì)、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)圖象的研究做準(zhǔn)備，是《三角函數(shù)》一章的重要內(nèi)容，是高考的重點(diǎn)考查內(nèi)容。

學(xué)情分析

從學(xué)生知識(shí)看，在《數(shù)學(xué)（必修1）》中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)等，熟悉研究函數(shù)的基本思路，學(xué)生清楚研究函數(shù)性質(zhì)必須借助函數(shù)圖象，對(duì)本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)非常重視。學(xué)生在學(xué)習(xí)了三角函數(shù)定義、誘導(dǎo)公式和三角函數(shù)線(xiàn)的基礎(chǔ)上，在以往研究函數(shù)圖象經(jīng)驗(yàn)的指導(dǎo)下，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象特征進(jìn)行探究。

從學(xué)生現(xiàn)有的學(xué)習(xí)能力看，通過(guò)以往對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)與理解，學(xué)生已具備了一定的觀(guān)察事物的能力，積累了一些研究問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，初步具備了抽象、概括的能力。通過(guò)教師啟發(fā)式引導(dǎo)，學(xué)生能完成本節(jié)課的學(xué)習(xí)。

教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能目標(biāo)：借助單位圓中的正弦線(xiàn)畫(huà)函數(shù)y=sinx，x∈[0，2π]圖象；會(huì)用“五點(diǎn)法”畫(huà)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖，能利用圖象解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題；逐步把握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象的形狀特征，明確圖象間關(guān)系。

過(guò)程與方法目標(biāo)：通過(guò)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象的獲得，經(jīng)歷直觀(guān)感知、觀(guān)察發(fā)現(xiàn)、歸納類(lèi)比等思維過(guò)程，在這一過(guò)程中，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想、由特殊到一般思想。

情感態(tài)度與價(jià)值觀(guān)目標(biāo)：在探索與互動(dòng)交流的過(guò)程中，在主動(dòng)參與學(xué)習(xí)的過(guò)程中，獲得良好的學(xué)習(xí)體驗(yàn)和情感體驗(yàn)。

教學(xué)環(huán)境與準(zhǔn)備

PPT課件、幾何畫(huà)板課件、Flash動(dòng)畫(huà)、電子白板。

教學(xué)過(guò)程

環(huán)節(jié)1：創(chuàng)設(shè)情境

通過(guò)播放Flash動(dòng)畫(huà)“繩子抖動(dòng)”（如下頁(yè)圖1）和視頻“簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)”（如下頁(yè)圖2），使學(xué)生對(duì)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象有直觀(guān)印象，揭示課題，給出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)定義：①函數(shù)y=sinx叫正弦函數(shù)，定義域?yàn)镽；②函數(shù)y=cosx叫余弦函數(shù)，定義域?yàn)镽。

設(shè)計(jì)意圖：利用信息技術(shù)創(chuàng)設(shè)情境，將教學(xué)內(nèi)容以實(shí)例展開(kāi)，使學(xué)生了解知識(shí)產(chǎn)生的背景，同時(shí)體會(huì)到數(shù)學(xué)來(lái)源于生活。

環(huán)節(jié)2：圖象畫(huà)法

師：我們研究函數(shù)的基本思路是什么？

教師啟發(fā)學(xué)生思考，歸納定義，畫(huà)出圖象，觀(guān)察圖象，總結(jié)性質(zhì)，繼而進(jìn)行性質(zhì)的應(yīng)用。

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生使用研究函數(shù)的基本思路來(lái)研究三角函數(shù)。

（1）代數(shù)描點(diǎn)法作圖

問(wèn)題1：用代數(shù)描點(diǎn)法作函數(shù)圖象的步驟是什么？如何用代數(shù)描點(diǎn)法作圖？

學(xué)生列表、描點(diǎn)、連線(xiàn)（如圖3），并發(fā)現(xiàn)點(diǎn)、的縱坐標(biāo)可由三角函數(shù)值表查出，但數(shù)值不夠精確，導(dǎo)致描點(diǎn)后所畫(huà)圖象誤差大，考慮幾何方法。

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生，使其發(fā)現(xiàn)使用代數(shù)描點(diǎn)法畫(huà)圖，誤差較大，從而引出幾何描點(diǎn)法的必要性。

（2）幾何描點(diǎn)法作圖

問(wèn)題2：如何用幾何方法在直角坐標(biāo)系中作出點(diǎn)？

教師引導(dǎo)學(xué)生采用平移正弦線(xiàn)的方法（如圖4），在坐標(biāo)系中描點(diǎn) ，再驗(yàn)證為正弦函數(shù)y=sinx圖象上的點(diǎn)。

設(shè)計(jì)意圖：在引導(dǎo)學(xué)生分析正弦函數(shù)圖象上的點(diǎn)（x，y）與單位圓中的圓心角x及其對(duì)應(yīng)的正弦線(xiàn)y之間關(guān)系的基礎(chǔ)上，利用單位圓中的正弦線(xiàn)，描出正弦函數(shù)圖象上的一個(gè)點(diǎn)C，為用幾何描點(diǎn)法作出y=sinx，x∈[0，2π]的圖象做準(zhǔn)備，為攻克難點(diǎn)做準(zhǔn)備。

問(wèn)題3：如何用幾何描點(diǎn)法畫(huà)出y=sinx，x∈[0，2π]的圖象？

學(xué)生知道需要描出更多點(diǎn)，教師用自制PPT課件演示作圖過(guò)程。學(xué)生用幾何描點(diǎn)法作出y=sinx，x∈[0，2π]的圖象（如圖5），步驟如下：

第一步：在x軸上取點(diǎn)O1，以O(shè)1 為圓心作單位圓交x軸于點(diǎn)A，以A為起點(diǎn)將單位圓12等分；

第二步：在x軸非負(fù)半軸上，以O(shè)為起點(diǎn)取長(zhǎng)度為2π的線(xiàn)段，將線(xiàn)段12等分，每個(gè)等分點(diǎn)對(duì)應(yīng)剛才的一個(gè)角；

第三步：?jiǎn)挝粓A中作出角的終邊，作出相應(yīng)正弦線(xiàn)；

第四步：平移正弦線(xiàn)，使起點(diǎn)與x軸上的點(diǎn)重合，得到13條正弦線(xiàn)的13個(gè)終點(diǎn)；

第五步：用光滑的曲線(xiàn)把上述正弦線(xiàn)的終點(diǎn)連接起來(lái)，得y=sinx，x∈[0，2π]的圖象。

教師演示自制PPT課件，呈現(xiàn)用平移正弦線(xiàn)的方法作出函數(shù)y=sinx，x∈[0，2π]的圖象過(guò)程，在演示過(guò)程中，設(shè)計(jì)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生參與分析過(guò)程，攻克難點(diǎn)。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)演示課件（將單位圓12等分），呈現(xiàn)用平移正弦線(xiàn)的方法繪制函數(shù)y=sinx，x∈[0，2π]圖象的過(guò)程，通過(guò)設(shè)計(jì)問(wèn)題，學(xué)生口答，提高學(xué)生對(duì)研究過(guò)程的參與程度，更為有效地攻克教學(xué)難點(diǎn)。

接著，教師演示幾何畫(huà)板課件，學(xué)生觀(guān)察隨著等分點(diǎn)的增加，出現(xiàn)的變化情況。

問(wèn)題4：剛才是把單位圓12等分，下面看看增加等分?jǐn)?shù)，會(huì)有什么變化？

學(xué)生觀(guān)察幾何畫(huà)板課件（如上頁(yè)圖6、圖7、圖8）發(fā)現(xiàn)：隨著等分?jǐn)?shù)（n=16、35、100）的增加，點(diǎn)越來(lái)越密集，精確度越來(lái)越高，越接近曲線(xiàn)形狀。

師：我們已經(jīng)將單位圓100等分，點(diǎn)非常密集，接近曲線(xiàn)形狀，所描的點(diǎn)都是具體的點(diǎn)，那么，對(duì)于任意角平移正弦線(xiàn)，會(huì)怎樣呢？

教師演示幾何畫(huà)板課件（如圖9、圖10），呈現(xiàn)平移任意角正弦線(xiàn)的結(jié)果。

設(shè)計(jì)意圖：利用正弦線(xiàn)畫(huà)y=sinx，x∈[0，2π]的圖象，是本節(jié)課的難點(diǎn)之一，教師通過(guò)演示PPT課件和幾何畫(huà)板課件，結(jié)合設(shè)計(jì)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生思考，提高學(xué)生對(duì)探究過(guò)程的參與程度，有效地攻克教學(xué)難點(diǎn)。

問(wèn)題5：怎樣才能得到y(tǒng)=sinx， x∈R的圖象？

學(xué)生思考，并回答：因?yàn)榻K邊相同角的同一三角函數(shù)值相等，即sin（x+k·2π）=sinx，k∈z，也就是給x加上2π的整數(shù)倍所得正弦值與原來(lái)一樣，所以y=sinx，x[2kπ，2（k+1）π]，k∈Z且k≠0的圖象與函數(shù)y=sinx，x∈[0，2π]的圖象的形狀完全相同，只是位置不同。于是，只要將函數(shù)y=sinx，x∈[0，2π]的圖象向左、右平移（每次2π個(gè)單位長(zhǎng)度），就可以得到正弦函數(shù)y=sinx，x∈R的圖象。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)問(wèn)題形式，引發(fā)學(xué)生思考如何由y=sinx，x∈[0，2π]的圖象得到y(tǒng)=sinx，x∈R的圖象，教師對(duì)學(xué)生的猜想追問(wèn)依據(jù)，對(duì)學(xué)生的回答進(jìn)行補(bǔ)充，可以從正弦線(xiàn)“周而復(fù)始”的變化規(guī)律解釋?zhuān)部梢詮恼T導(dǎo)公式解釋?zhuān)^而利用PPT課件演示平移的過(guò)程，對(duì)猜想予以驗(yàn)證。

（3）圖象變換法作圖

問(wèn)題6：如何借助正弦函數(shù)圖象作出余弦函數(shù)的圖象？

學(xué)生思考，并口答：由于y=cosx=sin（+x），而y=sin（+x），x∈R的圖象可以由正弦函數(shù)y=sinx，x∈R的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，因此只需將函數(shù)y=sinx，x∈R的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度就可以得到函數(shù)y=cosx，x∈R的圖象。余弦函數(shù)y=cosx，x∈R的圖象，也叫余弦曲線(xiàn)（如圖11）。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)問(wèn)題形式引發(fā)學(xué)生思考，使學(xué)生從函數(shù)解析式之間的關(guān)系思考函數(shù)圖象之間的關(guān)系，繼而使用PPT課件演示平移的過(guò)程，使學(xué)生明確應(yīng)用圖象變換作出y=cosx，x∈R的圖象的方法。

問(wèn)題7：正弦曲線(xiàn)和余弦曲線(xiàn)有何異同？如何區(qū)分？

學(xué)生思考，并回答：正弦曲線(xiàn)和余弦曲線(xiàn)形狀相同，位置不同（如上頁(yè)圖12），當(dāng)x=0時(shí)，sinx=0，cosx=1。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)問(wèn)題形式引發(fā)學(xué)生思考正余弦曲線(xiàn)的異同，為正余弦函數(shù)的性質(zhì)的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備。采用學(xué)生判斷之后教師操作驗(yàn)證的方式，利用PPT課件直觀(guān)呈現(xiàn)，通過(guò)對(duì)比，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象的形狀特征，區(qū)分圖象間關(guān)系。

（4）“五點(diǎn)法”作圖

問(wèn)題8：你有什么辦法，可以很快畫(huà)出正弦函數(shù)在整個(gè)定義域上的圖象？

學(xué)生思考后得到認(rèn)知：先很快畫(huà)出y=sinx，x∈[0，2π]圖象，再平移即可。對(duì)于畫(huà)出y=sinx，x∈[0，2π]的圖象，代數(shù)描點(diǎn)法誤差大，幾何描點(diǎn)法精確但步驟繁瑣，要尋求新的方法。

師生共同探討后得出結(jié)論：找出體現(xiàn)圖象形狀特征的關(guān)鍵點(diǎn)，用平滑曲線(xiàn)連接，取點(diǎn)原則是保持圖象形狀，不改變性質(zhì)。這些關(guān)鍵點(diǎn)是圖象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)和與x軸的交點(diǎn)，坐標(biāo)分別是（0，0）、（，1）、（π，0）、（，-1）、（2π，0）（如上頁(yè)圖13）。

設(shè)計(jì)意圖：引出五點(diǎn)法畫(huà)圖的必要性，明確y=sinx，x∈[0，2π]與y=sinx，x∈R圖象間的關(guān)系。利用PPT的動(dòng)畫(huà)功能，凸顯“五點(diǎn)”，使學(xué)生進(jìn)一步明確圖象特征，為“五點(diǎn)法”作正余弦曲線(xiàn)做準(zhǔn)備。

師：只要描出這五個(gè)點(diǎn)，y=sinx，x∈[0，2π]圖象的形狀就基本確定了，以后先找出這五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，然后用光滑的曲線(xiàn)將它們連接起來(lái)，就能得到函數(shù)的簡(jiǎn)圖，這種作圖的方法稱(chēng)為“五點(diǎn)法”作圖。當(dāng)精確度要求不太高時(shí)，常采用五點(diǎn)法。下面，請(qǐng)畫(huà)出y=sinx，x∈[0，2π]的圖象。

學(xué)生利用五點(diǎn)作圖法為大家演示作圖（如圖14），完成后闡述作圖體會(huì)及作圖的注意事項(xiàng)，其他同學(xué)補(bǔ)充（或?qū)Τ霈F(xiàn)的錯(cuò)誤進(jìn)行糾正），教師對(duì)其總結(jié)。

設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手操作能力，明確作圖的注意事項(xiàng)。

問(wèn)題9：你能類(lèi)比剛才的作法，作出y=cosx，x∈[0，2π]的圖象嗎？

學(xué)生觀(guān)察圖象，得出五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是（0，1）、（，0）、（π，-1）、（，0）、（2π，1）。

師：請(qǐng)畫(huà)出y=cosx，x∈[0，2π]的圖象。

學(xué)生動(dòng)手作圖（如圖15），教師總結(jié)。

設(shè)計(jì)意圖：類(lèi)比正弦函數(shù)，學(xué)會(huì)用“五點(diǎn)法”作y=cosx，x∈[0，2π]的簡(jiǎn)圖，鞏固“五點(diǎn)法”作簡(jiǎn)圖的方法，培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐能力。

環(huán)節(jié)3：效果檢測(cè)

教師出示例題1：畫(huà)出函數(shù)y=1+sinx，x∈[0，2π]的圖象；學(xué)生作圖。

教師引導(dǎo)學(xué)生反思研究函數(shù)y=1+sinx，x∈[0，2π]與y=sinx，x∈[0，2π]的圖象之間有何聯(lián)系，將定義域擴(kuò)充為R呢？

教師利用幾何畫(huà)板動(dòng)畫(huà)驗(yàn)證學(xué)生的猜想，并總結(jié)：函數(shù)y=1+sinx，x∈[0，2π]的圖象可由函數(shù)y=sinx，x∈[0，2π]的圖象向上平移1個(gè)單位得到；定義域擴(kuò)充為R后道理相同。教師進(jìn)一步深化：y=k+sinx。

設(shè)計(jì)意圖：例題1采用了學(xué)生動(dòng)手作圖、反思研究、總結(jié)、深化四個(gè)環(huán)節(jié)，使學(xué)生在主動(dòng)參與學(xué)習(xí)的過(guò)程中，通過(guò)作圖鞏固“五點(diǎn)法”，通過(guò)反思研究復(fù)習(xí)圖象變換，通過(guò)變式培養(yǎng)思維的廣度與深度。在學(xué)生作圖后，利用幾何畫(huà)板動(dòng)畫(huà)演示功能，對(duì)學(xué)生的猜想進(jìn)行驗(yàn)證，并對(duì)例題的教學(xué)進(jìn)行深化。

環(huán)節(jié)4：課堂小結(jié)

師：請(qǐng)同學(xué)們回顧今天這節(jié)課，你們有哪些收獲？

學(xué)生從知識(shí)、能力、思想方法、情感等方面互相交流本節(jié)課的收獲。

①知識(shí)方面：四種圖象作法中，代數(shù)描點(diǎn)法作圖誤差大，幾何描點(diǎn)法作圖精確但步驟繁瑣，“五點(diǎn)法”作圖重點(diǎn)掌握；初步掌握了正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象的形狀特征，清楚圖象間關(guān)系。

②思想方法上：體會(huì)到數(shù)形結(jié)合思想、抽象到具體思想、類(lèi)比思想在解決問(wèn)題中的應(yīng)用。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)反思學(xué)習(xí)過(guò)程，在學(xué)生們的思考、交流中完成本節(jié)課的小結(jié)，突出概念與方法。

環(huán)節(jié)5：課后作業(yè)

通過(guò)作業(yè)，鞏固“五點(diǎn)法”作圖的方法。

教學(xué)反思

問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟，本節(jié)課以9個(gè)問(wèn)題為主線(xiàn)貫穿始終，以問(wèn)題解決為教學(xué)線(xiàn)索，在教師的主導(dǎo)與計(jì)算機(jī)的輔助下，使學(xué)生思維由問(wèn)題開(kāi)始，由問(wèn)題深化，學(xué)生積極思考，主動(dòng)回答。

“幾何描點(diǎn)法作圖”學(xué)習(xí)對(duì)學(xué)生來(lái)講是有困難的，設(shè)計(jì)問(wèn)題3、4，引發(fā)學(xué)生思考。先設(shè)計(jì)問(wèn)題3，引導(dǎo)學(xué)生思考，“利用單位圓中正弦線(xiàn)的知識(shí)描點(diǎn)C（，sin）”，為難點(diǎn)的攻克做好鋪墊，再設(shè)計(jì)問(wèn)題4，利用課件逐步演示，并結(jié)合適時(shí)的提問(wèn)使學(xué)生參與其中，逐步攻克難點(diǎn)。教學(xué)中使學(xué)生了解“幾何描點(diǎn)法作圖”的學(xué)習(xí)是必要的：我們借助正弦線(xiàn)作出了比較精確的正弦函數(shù)圖象，有了圖象才能觀(guān)察出某些點(diǎn)是“關(guān)鍵點(diǎn)”，才有“五點(diǎn)法”作圖。

正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象特征是本節(jié)課學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，正弦函數(shù)和余弦函數(shù)圖象間關(guān)系是難點(diǎn)，為此，設(shè)計(jì)了問(wèn)題6、7，結(jié)合學(xué)生的思維發(fā)展變化不斷追問(wèn)，使學(xué)生充分熟悉圖象特征并明確圖象之間的關(guān)系。

“五點(diǎn)法”作圖是重點(diǎn)，通過(guò)問(wèn)題8、9，探究“五點(diǎn)法”作圖。啟發(fā)學(xué)生“找出體現(xiàn)圖象形狀特征的關(guān)鍵點(diǎn)”，學(xué)生容易找出“五點(diǎn)”，但不明白為什么是這“五點(diǎn)”，通過(guò)追問(wèn)，使學(xué)生明確理由。同時(shí)，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到“五點(diǎn)法”作圖是必要、方便、有效的（當(dāng)精度要求不高時(shí)）。為使學(xué)生掌握“五點(diǎn)法”作圖，安排作圖1、2使學(xué)生初步練習(xí)，例題1起到熟悉、鞏固作用。