駱卉子，曲長文，徐征

(海軍航空工程學(xué)院 電子信息工程系， 山東 煙臺(tái) 264001)

運(yùn)動(dòng)多平臺(tái)加權(quán)輔助變量時(shí)差連續(xù)定位算法

駱卉子，曲長文，徐征

(海軍航空工程學(xué)院 電子信息工程系， 山東 煙臺(tái) 264001)

針對(duì)已有時(shí)差(TDOA)定位模型通常需要引入一個(gè)恒定中間變量而不適合運(yùn)動(dòng)多平臺(tái)連續(xù)定位的不足，推導(dǎo)了三維空間中無需中間變量的TDOA定位模型并在此基礎(chǔ)上提出了一種加權(quán)輔助變量(WIV)連續(xù)定位算法。該算法首先推導(dǎo)代入TDOA測(cè)量值后新定位方程的誤差項(xiàng)，求得誤差項(xiàng)的協(xié)方差后將其用于構(gòu)造最優(yōu)輔助變量(IV)矩陣，并采用總體最小二乘(TLS)算法的估計(jì)值計(jì)算次優(yōu)IV矩陣。仿真結(jié)果表明，所提WIV算法能夠有效實(shí)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)多平臺(tái)TDOA連續(xù)定位。

定位；多平臺(tái)；時(shí)差；三維空間；加權(quán)輔助變量；總體最小二乘

0 引言

無論在軍事還是民用領(lǐng)域，位置信息是人們獲取電磁輻射源信息時(shí)首先考慮的因素。無源定位具有隱蔽性好、作用距離遠(yuǎn)等優(yōu)點(diǎn)，已成為目標(biāo)定位領(lǐng)域的重要手段。現(xiàn)代無源定位系統(tǒng)常采用運(yùn)動(dòng)多平臺(tái)作為定位平臺(tái)[1-2]，因其機(jī)動(dòng)靈活性強(qiáng)、具有信息融合能力且可實(shí)現(xiàn)偵察平臺(tái)與攻擊平臺(tái)一體化。此外，高精度的時(shí)差(time-difference-of-arrival,TDOA)定位體制[3]在這些系統(tǒng)中得到廣泛應(yīng)用。

具有閉式解的無偏算法是已有TDOA定位算法的研究重點(diǎn)，此類算法需要得到偽線性定位方程，然而TDOA方程的高度非線性導(dǎo)致難以利用簡單數(shù)學(xué)變換得到其偽線性方程。文獻(xiàn)[4]提出了兩步最小二乘(weighted instrumental variable,WLS)定位算法，需要引入目標(biāo)到參考平臺(tái)的徑向距離作為中間變量與待估目標(biāo)狀態(tài)一起構(gòu)成擴(kuò)維狀態(tài)向量，中間變量的引入導(dǎo)致算法需要兩步求解過程，增加了算法的復(fù)雜度。此后，對(duì)該算法的推廣應(yīng)用及改進(jìn)成為研究主流[5-8]。然而，上述算法只適用于運(yùn)動(dòng)多平臺(tái)單次TDOA定位，當(dāng)利用觀測(cè)量的累積來連續(xù)定位時(shí)，目標(biāo)到參考平臺(tái)的徑向距離時(shí)刻在變化，不存在恒定的中間變量，因此無法直接應(yīng)用上述算法。文獻(xiàn)[9-10]提出利用遞推最小二乘(recursive least squares, RLS)平滑上述算法的單次定位結(jié)果來實(shí)現(xiàn)連續(xù)定位，定位性能不夠理想。盡管非線性濾波算法[11-12]也可用于TDOA連續(xù)定位，但需初始狀態(tài)估計(jì)，在能獲得閉式解的情況下通常不采用此方式。

文獻(xiàn)[13]推導(dǎo)了一種直接關(guān)于目標(biāo)位置的時(shí)差單次定位模型，在修正該模型并將其推廣到連續(xù)定位場(chǎng)景后，文獻(xiàn)[14]提出了一種無需中間變量的約束加權(quán)最小二乘(constrained WLS, CWLS)連續(xù)定位算法。該算法將文獻(xiàn)[13]所推導(dǎo)的模型簡化到二維空間中，實(shí)際上，時(shí)差觀測(cè)量反映的是觀測(cè)平臺(tái)與目標(biāo)在三維空間中的相對(duì)位置關(guān)系。此外，該文獻(xiàn)所提CWLS算法復(fù)雜度高，不利于工程應(yīng)用。

針對(duì)上述問題，本文推導(dǎo)三維空間中無需中間變量的TDOA定位模型，在此模型提出加權(quán)輔助變量(WIV)TDOA連續(xù)定位算法，最后對(duì)所提算法性能進(jìn)行了理論分析與仿真驗(yàn)證。

1 TDOA定位模型

(1)

式中：

tij=ti-tj,i≠j,i,j=1,2,…,N；

i=2,3,…,N.

ti2的存在使得模型中存在冗余信息且分母為時(shí)差不利于推導(dǎo)，由定義易知ti2=ti1-t21，將其帶入式(1)并在方程兩邊同乘以ct21ti1(i=3,4,…,N)可得式(1)的修正式是

(2)

2 加權(quán)輔助變量定位算法

WIV算法可以視作對(duì)最小二乘(least squares, LS)算法的改進(jìn)，下面首先給出TDOA定位的LS解。k時(shí)刻TDOA測(cè)量值ri1可表示為

(3)

εk=gk-Aku.

(4)

當(dāng)獲得k時(shí)刻觀測(cè)量時(shí)可利用前k時(shí)刻觀測(cè)量來改善定位精度，此時(shí)定位方程可寫為

ε=g-Au,

(5)

ATAuPLE=ATg.

(6)

(7)

εk=Cknk，

式中：

Ck=(c1,c2)；nk=(n21,n31,…,nN1)T；

c1=(c11,c21,…,c(N-2)1)T；

c2=diag(c12,c22,…,c(N-2)2)；

i=1,2,…,N-2.

(8)

(1) 獲得直到k時(shí)刻的觀測(cè)矩陣A及觀測(cè)向量g，求得目標(biāo)位置的TLS解uTLS；

(3) 求得目標(biāo)位置的WIV解

uWIV=(GTA)-1GTg。

根據(jù)不同時(shí)刻觀測(cè)量相互獨(dú)立的特點(diǎn)，采用式(9)計(jì)算uWIV可以大大降低了算法計(jì)算量。

(9)

3 仿真校驗(yàn)

為更好地體現(xiàn)本文所提算法的性能，現(xiàn)將已有常用算法進(jìn)行優(yōu)缺點(diǎn)分析，如表1所示。

表1 各常用算法的比較

對(duì)本文所提WIV算法的性能進(jìn)行仿真分析。假設(shè)5個(gè)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)采用TDOA體制對(duì)地面固定輻射源定位，初始狀態(tài)如表2所示，其中，位置分量單位為km，速度分量單位為m/s，觀測(cè)時(shí)間為50 s。目標(biāo)位于(100,200,0) km處。

表2 各平臺(tái)初始狀態(tài)

為衡量算法定位性能，定義算法對(duì)目標(biāo)位置估計(jì)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)為均方根誤差(root mean square error, RMSE)及偏差(bias)，其定義為

(10)

(11)

將文獻(xiàn)[9-10]算法(在下文中稱為基于RLS的算法，單次定位算法采用TS-WLS算法)、WLS算法與本文所提WIV算法進(jìn)行比較，其中，用TLS算法計(jì)算IV矩陣的算法稱為WIV(TLS)算法，用LS算法計(jì)算的則記為WIV(LS)算法，算法比較結(jié)果如圖1～2所示。σi取20 ns及100 ns，分別對(duì)應(yīng)測(cè)量精度較高及較差的情況。

圖1 算法性能比較(σi=20 ns)Fig.1 Performance comparison of algorithms (σi=20 ns)

圖2 算法性能比較(σi=100 ns)Fig,2 Performance comparison of algorithms (σi=100 ns)

由圖1，2可知在測(cè)量精度較高時(shí)，LS算法及TLS算法定位性能相當(dāng)，導(dǎo)致2種形式的WIV算法性能相同。隨著測(cè)量精度變差，在跟蹤初期觀測(cè)量較少時(shí)LS算法的偏差明顯，導(dǎo)致定位性能較差，因此WIV(TLS)算法在跟蹤初期性能明顯優(yōu)于WIV(LS)算法，驗(yàn)證了本文采用TLS算法計(jì)算次優(yōu)IV矩陣的有效性。本文所提WIV算法性能要明顯優(yōu)于WIV(LS)算法及基于RLS的算法，因?yàn)閃LS算法是有偏估計(jì)，而基于RLS的算法平滑本就不準(zhǔn)確的單次定位解，只能在一定程度上改善定位性能，而不能有效利用時(shí)間積累來大幅提高定位性能。

為進(jìn)一步說明算法性能，下面考察算法性能隨TDOA測(cè)量誤差標(biāo)準(zhǔn)差的變化趨勢(shì)，取σi=20～200 ns，觀測(cè)時(shí)間為20 s，其余參數(shù)如前所述，結(jié)果如圖3所示。

圖3 算法性能隨σi變化示意圖Fig.3 Schematic diagram of algorithm performance as σi changes

由圖3可知，隨著σi增加，除了WIV(TLS)算法性能穩(wěn)健外，其余算法性能迅速變差，也進(jìn)一步驗(yàn)證了當(dāng)測(cè)量精度較差時(shí)次優(yōu)IV矩陣的計(jì)算方法對(duì)WIV算法性能有較大影響。由圖可知相比LS算法，本文采用TLS算法計(jì)算IV矩陣優(yōu)勢(shì)明顯。

4 結(jié)束語

傳統(tǒng)的TDOA定位模型需要引入恒定中間變量，適合單次定位，無法直接應(yīng)用到運(yùn)動(dòng)多平臺(tái)TDOA連續(xù)定位中，因?yàn)榇藞?chǎng)景中無法得到恒定中間變量。本文推導(dǎo)了三維空間中無需中間變量的TDOA定位模型，并提出了一種WIV算法，利用TLS算法來計(jì)算次優(yōu)IV矩陣，算法復(fù)雜度低且性能較好。仿真結(jié)果驗(yàn)證了所提算法的有效性。

[ 2] 郁春來, 張?jiān)l(fā), 萬方. 無源定位技術(shù)體制及裝備的現(xiàn)狀與發(fā)展趨勢(shì)[J]. 空軍雷達(dá)學(xué)院學(xué)報(bào), 2012, 26(2): 79-85. YU Chun-lai, ZHANG Yuan-fa, WAN Fang. Actuality and Development Trend of Passive Location Technical System and Equipment [J]. Journal of Air Force Radar Academy, 2012, 26(2): 79-85.

[ 3] LIANG Qi-lian, ZHANG Bao-ju, ZHAO Cheng-lin, et al. TDOA for Passive Localization: Underwater Versus Terrestrial Environment[J]. IEEE Transactions on Parallel and Distributed Systems, 2013, 24(10): 2100-2108.

[ 4] CHAN Y T, HO K C.A Simple and Efficient Estimator for Hyperbolic Location [J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 1994, 42(8):1905-1915.

[ 5] HO K C. Bias Reduction for an Explicit Solution of Source Localization Using TDOA [J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2012, 60(5): 2101-2114.

[ 6] LIN Lan-xin, SO H C, CHAN F K W, et al. A New Constrained Weighted Least Squares Algorithm for TDOA-Based Localization [J]. Signal Processing, 2013, 93(11):2872-2878.

[ 7] RUI Li-yang, HO K C. Efficient Closed-Form Estimators for Multistatic Sonar Localization [J]. IEEE Transactions on Aerospace & Electronic Systems, 2015, 51(1): 600-614.

[ 8] YANG Kai, AN Jian-ping, BU Xiang-yuan, et al. Constrained Total Least-Squares Location Algorithm Using Time-Difference-of-Arrival Measurements[J]. IEEE Transactions on Vehicular Technology, 2010, 59(3):1558-1562.

[10] LEE K, OH J, LIM M, et al. Recursive Solution of Position Determination Problem Using Time Difference of Arrival Method [J]. International Journal of Control & Automation, 2014, 7(6):65-74.

[11] OKELLO N, FLETCHER F, MUICKI D, et al. Comparision of Recursive Algorithms for Emitter Localization Using TDOA Measurements from a Pair of UAVs[J]. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 2011, 47(3): 1723-1732.

[12] 蔡宗平,牛創(chuàng), 戴定成. 基于簡化CKF的IMM算法[J].現(xiàn)代防御技術(shù), 2015,43(6):99-103. CAI Zong-ping, NIU Chuang, DAI Ding-cheng. Interacting Multiple Model Algorithm Based on Simplified Cubature Kalman Filter[J].Modern Defence Technology, 2015,43(6): 99-103.

[13] BAKHOUM E G. Closed-Form Solution of Hyperbolic Geolocation Equations [J]. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 2014, 62(21): 5652-5662.

[14] 徐征, 曲長文, 駱卉子. 無需中間變量的多運(yùn)動(dòng)站時(shí)差定位新算法[J]. 航空學(xué)報(bào), 2014, 35(6):1665-1672. XU Zheng, QU Chang-wen, LUO Hui-zi. Novel Multiple Moving Observers TDOA Localization Algorithm without Introducing Intermediate Variable [J]. Acta Aeronautica et Astronautical Sinica, 2014, 35(6): 1665-1672.

[15] ZHANG Yun-jun, XU Guo-zhong. Bearings-only Target Motion Analysis via Instrumental Variable Estimation [J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2010, 58(11): 5523-5533.

[17] WENG Yang, XIAO Wen-dong, XIE Li-hua. Total Least Squares Method for Robust Source Localization in Sensor Networks Using TDOA Measurements [J]. International Journal of Distributed Sensor Networks, 2011(3): 1063-1067.

[18] 張賢達(dá). 矩陣分析與應(yīng)用[M]. 北京: 清華大學(xué)出版社, 2004. ZHANG Xian-da.Matrix Analysis and Application[M].Beijing:Tsinghua University Press, 2004.

Weighted Instrumental Variable Algorithm for Moving Multi-Platform TDOA-Based Continuous Localization

LUO Hui-zi, QU Chang-wen, XU Zheng

(Naval Aeronautical and Astronautical University,Electronic and Information Engineering Department, Shandong Yantai 264001， China)

Existing time-difference-of-arrival (TDOA) localization model usually needs to introduce an intermediate variable and thus is not suitable for moving multi-platform continuous localization. To solve this problem, a TDOA model in 3-D space is deduced which doesn’t need any intermediate variable and a weighted instrumental variable (WIV) is proposed based on it. The proposed algorithm first deduces the error item of the new localization equation after substituting the true TDOA for its measured counterpart. The covariance of the error item is deduced to construct an optimal instrumental variable (IV) matrix and the total least squares (TLS) algorithm is used for sub-optimal IV matrix calculation. Simulation results show the effectiveness of the proposed WIV algorithm for moving multi-platform TDOA-based continuous localization.

positioning(localization)；multi-platform；time difference of arrival(TDOA)；three dimensional (3-D) space；weighted instrumental variable(WIV)；total least squares(TLS)

2016-03-23；

2016-04-08 基金項(xiàng)目：泰山學(xué)者建設(shè)工程專項(xiàng)經(jīng)費(fèi)資助 作者簡介：駱卉子(1985-)，女，山東煙臺(tái)人。博士生，主要從事無源定位跟蹤技術(shù)研究。

10.3969/j.issn.1009-086x.2017.01.022

TN953; TP391.9

A

1009-086X(2017)-01-0126-06

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