程建康

摘要：近世代數(shù)是數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生一門非常重要的專業(yè)課。筆者結(jié)合自身的課堂教學(xué)實際，從相關(guān)概念和定理的名稱、重要概念的本質(zhì)和一一映射在證明中的應(yīng)用三個方面來闡述課堂教學(xué)的體會。

關(guān)鍵詞：近世代數(shù)；集；數(shù)；一一映射

中圖分類號：G642.3 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2017）05-0197-02

“近世代數(shù)（或抽象代數(shù)）”是師范院校和綜合性大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)本科生的一門重要的專業(yè)基礎(chǔ)課，其主要內(nèi)容就是研究所謂代數(shù)系統(tǒng)，即帶有運(yùn)算的集合。這門課的基本概念、理論和方法，是每一位數(shù)學(xué)工作者所必需具備的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)之一。

“近世代數(shù)”對于學(xué)生們來說是相當(dāng)抽象、學(xué)習(xí)起來相當(dāng)困難的一門課程，很多概念難以理解，課本配備的用來參考的例題不多，很多證明題難以解決。對于上這門課的高校教師來說，講課的速度、深度是很講究并且值得討論的。筆者給數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生們上課用的教材是張禾瑞的《近世代數(shù)基礎(chǔ)》[1]，參考教材是韓士安和林磊的《近世代數(shù)》[2]，在教學(xué)過程中有一些體會。

一、相關(guān)概念和定理的名稱

教材上有很多概念和定理沒有名稱，其實很不方便。舉個例子：在課堂上，有時候老師講解習(xí)題時會說：“本題的證明主要用到了第69頁定理2”。這種情況下，同學(xué)們肯定不容易想起來這個定理是什么，會有一種模模糊糊的感覺。而如果老師說：“本題的證明主要用到了拉格朗日定理”。很明顯，課堂效果會好很多。

為了方便教學(xué)，筆者在教學(xué)過程中給某些概念和定理賦予現(xiàn)在通用的名稱。例如：

在張禾瑞的《近世代數(shù)基礎(chǔ)》第4頁有如下定義：

定義 令A(yù)1，A2，…，An是n個集合。由一切從A1，A2，…，An里順序取出的元素組（a1，a2，…，an）（a1∈A1）所做成的集合叫做集合A1，A2，…，An的積，記成A1×A2×…×An。筆者把這個定義稱之為“笛卡爾積”。

同樣，在第40頁有如下定理：

假定G與G對于它們的乘法來說同態(tài)，那么G也是一個群。筆者把這個定義稱之為“同態(tài)群定理”。

在第49頁有如下定理：

任何一個群都同一個變換群同構(gòu)。筆者把這個定義稱之為“凱萊（Cayley）定理”。

第59頁有如下定理：

假定G是一個由元a所生成的循環(huán)群。那么群G的構(gòu)造完全可以由元a的階來決定：

a的階若是無限，那么G與整數(shù)加群同構(gòu)；

a的階若是有限整數(shù)n，那么G與模n的剩余類加群同構(gòu)。

筆者把這個定義稱之為“循環(huán)群的結(jié)構(gòu)定理”。

第69頁有如下定理：

假定H是一個有限群G的一個子群。那么群H的階n和它在G里的指數(shù)j都能整除G的階N，并且N=nj。

筆者把這個定義稱之為“拉格朗日定理”。

第76頁有如下定理：

假定G與G是兩個群，并且G與G同態(tài)，那么這個同態(tài)滿射的核N是G的一個不變子群，并且G/N≌G。

筆者把這個定義稱之為“群的同態(tài)基本定理”。

二、重要概念的本質(zhì)

很多同學(xué)對概念不理解，很重要的一個原因就是沒有搞清楚概念的本質(zhì)。因此，我在教學(xué)過程中需要教會學(xué)生從一大段的描述中找出主干部分，即“主謂賓”。當(dāng)然，找出了“主謂賓”也未必就直達(dá)本質(zhì)，有些時候需要刨根問底。以下分三個部分來展示本質(zhì)分別是“映射”“集”和“數(shù)”這三個看起來風(fēng)馬牛不相及的概念。

1.以下概念的本質(zhì)是“映射”：

（1）一個A×B到D的映射叫做一個A×B到D的代數(shù)運(yùn)算[1]。

主謂賓：代數(shù)運(yùn)算是映射。

（2）一個A到A的映射叫做A的一個變換[1]。

主謂賓：變換是映射。

（3）一個A×A到D的映射R叫做A的元間的一個關(guān)系[1]。

主謂賓：關(guān)系是映射。

（4）一個有限集合的一個一一變換叫做一個置換[1]。

主謂賓：置換是一一變換。

總結(jié)：代數(shù)運(yùn)算，變換，關(guān)系和置換的本質(zhì)都是映射。

2.以下概念的本質(zhì)是“集”：

（1）若把一個集合A分成若干個叫做類的子集，使得A的每一個元屬于而且只屬于一個類，那么這些類的全體叫做集合A的一個分類[1]。

主謂賓：類是子集；分類是類的全體，也是集。

（2）假定φ是一個群G到另一個群G的一個同態(tài)滿射。G的單位元e在φ之下的所有逆象所作成的G的子集叫做同態(tài)滿射的核[1]。

主謂賓：核是集。

總結(jié)：類，分類和核的本質(zhì)都是集。

除此之外，其實群、環(huán)和域的本質(zhì)也是集，即帶有代數(shù)運(yùn)算的集。

3.以下概念的本質(zhì)是“數(shù)”：

（1）我們看群G的一個元a。能夠使得am=e的最小的正整數(shù)m叫做a的階[1]。

主謂賓：階是正整數(shù)。

（2）一個群G的一個子群H的右陪集（或左陪集）的個數(shù)叫做H在G里的指數(shù)[1]。

主謂賓：指數(shù)是數(shù)。

（3）一個無零因子環(huán)R的非零元的相同的（對加法來說的）階叫做環(huán)R的特征[1]。

主謂賓：特征是階。

總結(jié)：階、指數(shù)和特征本質(zhì)上都是數(shù)。

三、一一映射在證明中的應(yīng)用

很多同學(xué)喜歡計算題遠(yuǎn)勝于證明題。同學(xué)們不喜歡證明題，恐怕最主要的一個原因是不知道如何入手，也不知道該做些什么。所以，在課堂教學(xué)中需要引導(dǎo)學(xué)生從一大堆的數(shù)學(xué)符號中總結(jié)一些方法技巧，著重訓(xùn)練學(xué)生這方面的能力。

一一映射在數(shù)學(xué)中是個很重要的概念。在近世代數(shù)中的證明中，用到一一映射的情況主要有兩種：

1.證明兩個集合的基數(shù)相等。

例如：在張禾瑞的《近世代數(shù)基礎(chǔ)》第68頁 定理1：一個子群H的右陪集的個數(shù)和左陪集的個數(shù)相等。它們或者都是無限大，或者都有限并且相等。

第69頁 引理：一個子群H與H的每個右陪集Ha之間都存在一個一一映射。

為了證明兩個集合的基數(shù)相等，只需要構(gòu)造一個定義在這兩個集合上的一一映射，這種情況下兩個集合間的元素是一一對應(yīng)的，于是基數(shù)相等。當(dāng)然，在兩個集合上定義的一一映射往往并不唯一，只需要構(gòu)造得合適，簡單易懂即可。

2.證明兩個群同態(tài)、同構(gòu)。

例如：凱萊（Cayley）定理、循環(huán)群的結(jié)構(gòu)定理和群的同態(tài)基本定理等等。

為了證明兩個群同態(tài)或同構(gòu)，也需要構(gòu)造一個合適的定義在這兩個群上的一一映射，然后我們還得證明這個一一映射是同態(tài)映射。

參考文獻(xiàn)：

[1]張禾瑞.近世代數(shù)基礎(chǔ)[M].北京：高等教育出版社，1978.

[2]韓士安，林磊.近世代數(shù)[M].北京：科學(xué)出版社有限責(zé)任公司，2009.