李丙濤，徐文濤，劉 磊，衛(wèi)洪濤

（1.煤炭工業(yè)鄭州設(shè)計研究院股份有限公司，鄭州 450007；2.鄭州大學(xué) 力學(xué)與工程科學(xué)學(xué)院，鄭州 450001；3.西北工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，西安 710072）

兩種求解連續(xù)體撞振響應(yīng)方法對比研究

李丙濤1，徐文濤2，劉 磊3，衛(wèi)洪濤2

（1.煤炭工業(yè)鄭州設(shè)計研究院股份有限公司，鄭州 450007；2.鄭州大學(xué) 力學(xué)與工程科學(xué)學(xué)院，鄭州 450001；3.西北工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，西安 710072）

力積分法和振型轉(zhuǎn)換法是處理連續(xù)體撞振問題的常用方法。雖然作者已在前期提出了相對振型轉(zhuǎn)換法，進一步擴展了傳統(tǒng)振型轉(zhuǎn)換法的適用范圍，但尚未對其與力積分法求解結(jié)果差異進行深入研究。文章分別采用力積分法和相對振型轉(zhuǎn)換法對基于工程背景的實際算例進行了數(shù)值求解，進而通過一種差異指標研究了剛度、阻尼對求解結(jié)果差異的影響。將上述兩種方法與現(xiàn)有實驗數(shù)據(jù)進行對比，結(jié)果表明，剛度增大與阻尼減小均會導(dǎo)致兩種方法的分析結(jié)果差異增大，尤其當剛度提高到一定程度，即撞振為剛性撞擊時，需要與實驗結(jié)果對比確定仿真的正確性。對比兩種方法數(shù)值求解過程可以發(fā)現(xiàn)，力積分法易于數(shù)值實現(xiàn)，而相對振型轉(zhuǎn)換法具有計算效率高、收斂性好等優(yōu)點。

連續(xù)體撞振；力積分法；相對振型轉(zhuǎn)換法；非線性振動

0 引言

帶阻擋的連續(xù)體振動研究在許多領(lǐng)域都受到關(guān)注，如原子力顯微鏡測量件的振動[1]、核反應(yīng)堆管道振動[2]、機械齒輪接觸問題[3]等。此類問題常簡化為端點帶阻擋或兩端固支中間帶阻擋的梁振動問題，研究的關(guān)鍵是在完整的振動周期中對梁的碰撞過程進行建模。金棟平等認為以往的研究方法可以分為“間斷分析”和“連續(xù)分析”[4]，其中恢復(fù)系數(shù)法（coefficient of restitution, CoR）忽略碰撞過程時間，屬于“間斷分析”，該法適用廣泛但在碰撞系數(shù)的取值上存在爭議[5]。最近，Vyasarayani提出了一種能量連續(xù)的、可用于連續(xù)體的改進CoR方法[6]。考慮碰撞過程時間的分析方法屬于“連續(xù)分析”，包含如下兩類[7]。

1）力積分法（force integration method, FIM）：將接觸分離的過程體現(xiàn)在外力上。該法視阻擋為剛度很大的彈簧，當連續(xù)體與阻擋接觸時，將阻擋力體現(xiàn)在振動方程中。應(yīng)用該方法對撞振問題進行研究的文獻有[8-10]。也有觀點認為CoR法本質(zhì)上也是一種力積分方法，因其并沒有改變接觸前后方程采用的振型[11]。

2）振型轉(zhuǎn)換法（mode transfer method, MTM）：將接觸分離的過程體現(xiàn)在振型切換上。以端點帶限制的懸臂梁為例，接觸前系統(tǒng)采用懸臂梁振型，接觸后采用帶限制梁振型。應(yīng)用該方法對撞振問題進行研究的文獻有[12-14]。經(jīng)典的振型轉(zhuǎn)換法只能處理邊界條件較為簡單的、碰撞前后為線性的系統(tǒng)[11]。衛(wèi)洪濤等在對其進行改進的基礎(chǔ)上，提出了相對振型轉(zhuǎn)換法（relative mode transfer method, RMTM），拓展了振型轉(zhuǎn)換法的適用范圍[15]。

利用FIM和MTM研究實際問題時，需要進行適當?shù)哪B(tài)截斷。若采用單模態(tài)近似，并不能充分反映復(fù)雜系統(tǒng)的動力學(xué)特性；而采用多模態(tài)近似必然會耗費巨大的計算量，并帶來收斂困難等諸多問題；尤其是當阻擋剛度足夠大，系統(tǒng)撞擊為剛性時，F(xiàn)IM和MTM求解時均要采用非常小的積分步長系統(tǒng)才能收斂，并得到差異較大的結(jié)果。前人對上述方法的優(yōu)劣有一些定性的描述，如：Tsai最早對這兩種方法進行了劃分[7]，并對力積分法與振型轉(zhuǎn)換法進行了初步對比，認為當阻擋剛度較大時，振型轉(zhuǎn)換法具有收斂速度上的優(yōu)越性；文獻[16]認為CoR法在研究撞擊時間短、表面硬的情況時適用，而力積分法能更精確描述實際的撞振過程；文獻[17]分析了力積分法與 CoR法在研究“軟碰撞”及“硬碰撞”時的適用性問題，認為對于非剛性碰撞，CoR法由于忽略了撞擊接觸的時間，會得到錯誤的結(jié)果；文獻[18]認為CoR法將撞擊接觸時間設(shè)定為無限小是“存疑”的，同時該法會給接觸過程的響應(yīng)結(jié)果引入高頻顫振，與之相比，力積分法更正確；文獻[19]認為CoR法對實際撞振能量的耗散只是大致近似；文獻[20]認為力積分法適合“柔性”阻擋情況，當發(fā)生剛性撞擊時，力積分法仿真時間會增大。但是目前并沒有上述兩種方法與相對振型轉(zhuǎn)換法的系統(tǒng)性對比研究。

本文分別利用力積分法與相對振型轉(zhuǎn)換法對一種懸臂梁撞振模型進行研究，討論參數(shù)對響應(yīng)的影響，分析不同參數(shù)設(shè)置下，兩種方法的計算效率，對比不同方法得到的結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)的差異。

1 研究方法描述

本文的研究對象如圖1所示，懸臂梁端點有間隙大小為?的阻擋，將其近似為線性彈簧，系統(tǒng)固支端帶有底座運動w0(t)。

首先對梁在無撞振情況下進行建模，有

式中：ρ為梁密度；A為梁橫截面積；E為彈性模量；I為慣性矩。此時邊界條件為

梁上任意一點的位移可表示為模態(tài)疊加的形式，即

式中：φn(x)為第n階振型函數(shù)；a(t)為模態(tài)坐標。將式(3)代入式(2)，有

將振型函數(shù)寫成如下形式：

將式(4)代入式(5)，令A(yù)=1，可得第n階振型函數(shù)φn(x)的表達式為

由模態(tài)振型的正交性：

將式(3)代入式(1)，方程兩邊同乘以φn后在[0,L]上進行積分，得到N階離散偏微分方程組為

這樣可以求出無接觸情況下系統(tǒng)方程的精確解析解。

1.1 相對振型轉(zhuǎn)換法

在一個振動周期中，假設(shè)系統(tǒng)從靜止開始振動，t0時刻為初始時刻，梁上任意一點橫向位移可以表達為w(x,t)=w1(x,t)。令t1時刻開始，端點位移大于間隙，系統(tǒng)將受到端點阻擋的反力作用，邊界條件發(fā)生了變化，從而使得梁的振型也發(fā)生改變，此時梁上任意點的橫向位移可看作邊界條件轉(zhuǎn)換前的位移疊加轉(zhuǎn)換后的位移，即w(x,t)=w1(x,t1)+w2(x,t)。由此類推至系統(tǒng)邊界條件改變的ti時刻，梁上任意點的橫向位移為

式中φni(x)為ti-1～ti時間此邊界條件下梁的第n階振型；ani(t)為相應(yīng)的模態(tài)坐標。將式(11)代入梁的振動方程中，可得ti-1～ti時刻梁的運動方程為

將式(12)代入式(13)，利用振型的正交性，可得離散后的N階偏微分方程為

式中：tr為邊界條件發(fā)生改變的時刻點；。狀態(tài)轉(zhuǎn)換時，振動方程的初值為，從而各階模態(tài)位移的初值也為 0，模態(tài)速度有，這樣有第n階模態(tài)速度的表達式為

式中：φPi-1(x)=0表示時刻系統(tǒng)第P階模態(tài)振型；為相應(yīng)的模態(tài)速度。

相對振型轉(zhuǎn)換法與經(jīng)典振型轉(zhuǎn)換法[7]最大的區(qū)別在于，對撞擊前后系統(tǒng)任意點的位移表達不同。相對振型轉(zhuǎn)換法的基本思想是：在每次發(fā)生振型轉(zhuǎn)換時，將當前連續(xù)體系統(tǒng)的“形態(tài)”記錄下來，引入“相對”的概念，轉(zhuǎn)換后系統(tǒng)的振動看作是相對于轉(zhuǎn)換前形態(tài)的“增量”運動，這也是相對振型轉(zhuǎn)換法命名的由來。運用這一思想即得到系統(tǒng)位移的表達式(11)。而經(jīng)典振型轉(zhuǎn)換法僅僅是記錄轉(zhuǎn)換前后的各階模態(tài)位移，在下次轉(zhuǎn)換時代入上次轉(zhuǎn)換前的記錄值進行處理。以圖1所示系統(tǒng)為例，假設(shè)t1時刻系統(tǒng)從懸臂梁狀態(tài)轉(zhuǎn)換為受限梁狀態(tài)，t2時刻系統(tǒng)從受限梁狀態(tài)轉(zhuǎn)換回懸臂梁狀態(tài)。用相對振型轉(zhuǎn)換法研究時，系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)換前后的位移表達式用式(11)表達。而用經(jīng)典的振型轉(zhuǎn)換法研究時，首先記錄時刻各階模態(tài)位移，時刻系統(tǒng)轉(zhuǎn)換到新的運動狀態(tài)，各階模態(tài)位移初值置0，有

當t2時刻系統(tǒng)重新由受限運動狀態(tài)進入懸臂梁狀態(tài)時，將上次狀態(tài)轉(zhuǎn)換前記錄的各階模態(tài)位移值回代，

上述經(jīng)典振型轉(zhuǎn)換法步驟對于更復(fù)雜的邊界條件改變，如遲滯非線性邊界條件以及可以離散為分段線性的邊界條件問題，將不再適用，但是相對振型轉(zhuǎn)換法仍然可以進行求解[15]。

1.2 力積分法

系統(tǒng)的運動方程有：

其中：δ(x-l)為狄拉克函數(shù)；Vcon(x,t)為接觸力，即

式中k為阻擋剛度。利用伽遼金法對式(19)進行離散，令其解為

其中φn(x)取懸臂梁振型。代入系統(tǒng)參數(shù)，利用數(shù)值方法進行求解，即可得到梁上任意點的響應(yīng)。

2 數(shù)值仿真

算例參數(shù)如表1所示，采用數(shù)值仿真求梁端點的時程響應(yīng)。由于不同的方法得到的結(jié)果差異對阻擋剛度k以及阻尼比ξ最敏感，因此本文研究在這2種參數(shù)不同的情況下應(yīng)用FIM和RMTM得到的結(jié)果的差異。

文獻[21]定義了參數(shù)k*=k/(3EI/L3)，當k*分別為 5、5000時系統(tǒng)分別處于“軟碰撞”及“硬碰撞”狀態(tài)。本文分別考慮k*=0.13～13 000時研究結(jié)果的不同，如圖2，其中y=0線表示阻擋位置。

表1 系統(tǒng)參數(shù)Table 1 System parameters

從圖2中可以看出：隨著阻擋剛度的逐漸增大，梁端點在與阻擋碰撞后，與阻擋“黏”在一起運動的時間逐漸縮短，即梁端點位移為負值的時間逐漸縮短；當阻擋剛度較小時，兩種方法得到的時程響應(yīng)差別較小，隨著阻擋剛度的增大，時程響應(yīng)差異逐漸增大。因此需要調(diào)整阻尼大小并與實驗結(jié)果對比來確定結(jié)果的正確性。

可以看出，差異指標隨著剛度的提高而逐漸增大，但并不是線性增大。從阻尼比ξ=0.01得到的結(jié)果看，差異指標增加分為3個階段：剛度k≤1×102N/m時，差異指標較小，都是 10-3量級；當剛度 1× 103N/m≤k≤1×105N/m時，指標增大到10-1量級；當剛度k≥1×106N/m，即系統(tǒng)處于“硬碰撞”狀態(tài)時，兩種方法之間的差異急劇增大到≥0.4，這從圖2(c)中也可以看出，兩個曲線之間已經(jīng)有了較大的偏差。哪種方法更精確需要與實驗數(shù)據(jù)進行對比確定。

表2 剛度及阻尼對結(jié)果影響差異指標Table 2 Different indexes with different stiffnesses and damping ratios

研究阻尼對結(jié)果差異的影響，有ξ=0.05時端點時程響應(yīng)如圖3?？梢詮谋?看出，此時差異指標增大同樣可以分為3個階段，可見阻尼增大并沒有改變結(jié)果差異隨剛度增大而增大的趨勢。

但是，在大阻尼條件下，阻擋剛度相同時不同方法得到的結(jié)果差異減小，見圖4。值得注意的是，有如圖4中ξ=0.01、k=1×103N/m的點，讓整條差異曲線比較曲折，其原因是統(tǒng)計取點時，取結(jié)果相差較大的點較多，導(dǎo)致差異指標值較前后點相差較大。

為了對比兩種方法的計算效率，利用MatLab/m文件進行編程實現(xiàn)，均采用4階龍格庫塔法；精簡程序，排除由于編程引入的差異，其中：1）利用不同方法進行仿真時，循環(huán)均采用MatLab 標準循環(huán)命令，并且盡量減少循環(huán)，同時認為最后不可避免的循環(huán)語句是不同方法必然要承擔的開銷；2）兩種方法都沒有進行矢量化編程處理；3）兩種方法進行編程時，都對循環(huán)時數(shù)組大小會改變的量進行了預(yù)分配內(nèi)存。不同剛度及阻尼情況下，系統(tǒng)仿真0.2 s真實過程需要的時間開銷，步長取 1×10-7，結(jié)果見表3。不同硬件配置的機器用時會與表中時間不同。

從表3可以看出：相同的參數(shù)設(shè)置，力積分法用時多，意味著相對振型轉(zhuǎn)換法的計算效率高；力積分法用時會隨著阻擋剛度增加而增大，而相對振型轉(zhuǎn)換法用時基本相同。這是由于當剛度較大時，力積分法的方程中引入了較大的積分常量，導(dǎo)致利用 4階龍格庫塔法求解每一步步長耗時比小剛度時要大。還可以看出，當阻尼增大時，兩種方法用時均隨之增加。

3 實驗結(jié)果對比

采用與文獻[22]中相同的參數(shù)設(shè)置，為了簡便這里取均質(zhì)規(guī)則梁。分別應(yīng)用FIM和RMTM求端點的時程響應(yīng)，并與文獻中實驗數(shù)據(jù)對比，結(jié)果見圖5。圖中，下部的余弦曲線（u）是底座位移曲線，而上部的曲線（y）是梁端點相對于底座的位移響應(yīng)。仿真時，為了快速達到穩(wěn)態(tài)，統(tǒng)一采用較大的阻尼比ξ=0.05。

由于設(shè)置了均質(zhì)規(guī)則梁，而文獻中梁端點帶有半球形質(zhì)量塊，因此同樣的激勵頻率下，圖5(b)、(c)與圖5(a)相比，波峰形態(tài)略有不同，而波峰峰值以及撞擊發(fā)生于激勵力曲線的相位相近。同時可以看到，圖5(b)與(c)相似度較高，兩種方法得到的時程響應(yīng)基本類似。需要注意的是，力積分法得到的結(jié)果中，梁端點與底座接觸時不會“黏滯”在一起，如圖5(b)表現(xiàn)出“顫振”形態(tài)；而相對振型轉(zhuǎn)換法則表現(xiàn)出“黏滯”在一起振動的形態(tài)，后者更貼近實際[18]。

4 結(jié)論

1）剛度對FIM和RMTM的結(jié)果差異有較大影響，且隨著剛度的增大，結(jié)果差異也會隨之增大。當阻擋剛度較大，即系統(tǒng)處于“硬碰撞”時，兩種方法產(chǎn)生較大的差異，需要與實驗數(shù)據(jù)對比以確定得到結(jié)果的正確性。

2）阻尼對兩種方法求解結(jié)果的差異影響不可忽略，阻尼增大能顯著降低結(jié)果差異，但是增大阻尼并不會改變差異隨剛度增大而增大的趨勢。

3）仿真時，采用相同的仿真環(huán)境及參數(shù)設(shè)置，力積分法用時較長，即力積分法的計算效率較低。

4）大剛度時，相對振型轉(zhuǎn)換法得到的端點與阻擋接觸時的時程響應(yīng)與實際情況更一致，即相對振型轉(zhuǎn)換法更貼近實際。

綜上，力積分法不需要計算額外的復(fù)雜邊界條件下的振型，對于復(fù)雜問題有操作便利性；但是相對振型轉(zhuǎn)換法具有更好的收斂性和計算效率。大剛度條件下相對振型轉(zhuǎn)換法得到的結(jié)果更貼近實際。同時發(fā)現(xiàn)，大剛度時，阻尼對仿真收斂以及兩種方法得到的時程響應(yīng)差異的影響較大，仍需要與實驗結(jié)果相類比以確定哪種方法能更好地描述撞振過程，這是下一步要做的工作。

端點帶阻擋的懸臂梁所代表的這一類撞振問題具有廣泛的工程背景，對于航天領(lǐng)域，在研究非線性連接對航天器動力學(xué)響應(yīng)影響時，連接帶間隙的結(jié)構(gòu)振動問題可以歸類為撞振問題。在研究此類問題時，基于振型轉(zhuǎn)換的方法和力積分法是兩類常用的方法，以往的工作對兩種方法的認識局限于定性，本文得到的結(jié)論彌補了以往工作的空白。

（References）

[1]朱杰, 孫潤廣.原子力顯微鏡的基本原理及其方法學(xué)研究[J].生命科學(xué)儀器, 2005, 3(1): 22-26 ZHU J, SUN R G.Introduction to atomic force microscope and its manipulation[J].Life Science Instruments, 2005, 3(1): 22-26

[2]KNUDSEN J, MASSIH A R.Vibro-impact dynamics of a periodically forced beam[J].ASME Journal of Pressure Vessel Technology, 2000, 122(2): 210-221

[3]THEODOSSIADES S, NATSIAVAS S.Periodic and chaotic dynamics of motor-driven gear-pair system with backlash[J].Chaos Solitons & Fractals, 2001, 13(12): 2427-2440

[4]金棟平, 胡海巖.碰撞振動及其典型現(xiàn)象[J].力學(xué)進展, 1999, 29(2): 12-21 JIN D P, HU H Y.Vibro-impact and their typical behaviors of mechanical systems[J].Advances in Mechanics, 1999, 29(2): 12-21

[5]姚文莉, 岳嶸.有爭議的碰撞恢復(fù)系數(shù)研究進展[J].振動與沖擊, 2015, 34(19): 43-48 YAO W L, YUE R.Advance in controversial restitution coefficient study for impact problems[J].Journal of Vibration and Shock, 2015, 34(19): 43-48

[6]VYASARAYANI C P, MCPHEE J, BIRKETT S.Modeling impacts between a continuous system and a rigid obstacle using coefficient of restitution[J].ASME J Appl Mech, 2009, 77(2): 021008

[7]TSAI H, WU M K.Methods to compute dynamic response of a cantilever with a stop to limit motion[J].Computers & Structures, 1996, 58(5): 859-867

[8]LIN W, QIAO N, YUYING H.Bifurcations and chaos in a forced cantilever system with impacts[J].Journal of Sound and Vibration, 2006, 296(4): 1068-1078

[9]游斌弟, 潘冬, 趙陽.關(guān)節(jié)鉸間隙對漂浮基星載天線擾動研究[J].宇航學(xué)報, 2010, 31(10): 2251-2258 YOU B D, PAN D, ZHAO Y.Research on disturbance of joints with clearance on free-floating satellite antenna[J].Journal of Astronautics, 2010, 31(10): 2251-2258

[10]錢震杰, 章定國.含摩擦碰撞柔性機械臂動力學(xué)研究[J].振動工程學(xué)報, 2015, 28(6): 879-886 QIAN Z J, ZHANG D G.Frictional impact dynamics of flexible manipulator arms[J].Journal of Vibration Engineering, 2015, 28(6): 879-886

[11]VYASARAYANI C P.Transient dynamics of continuous systems with impact and friction, with applications to musical instruments[D].Waterloo: University of Waterloo, 2009

[12]BRAKE M R, WICKERT J A.Modal analysis of a continuous gyroscopic second-order system with nonlinear constraints[J].Journal of Sound and Vibration, 2010, 329(7): 893-911

[13]ERVIN E K, WICKERT J A.Repetitive impact response of a beam structure subjected to harmonic base excitation[J].Journal of Sound and Vibration, 2007, 307(1): 2-19

[14]BRAKE M R.A hybrid approach for the modal analysis of continuous systems with discrete piecewise-linear constraints[J].Journal of Sound and Vibration, 2011, 330(13): 3196-3221

[15]衛(wèi)洪濤.帶非線性連接及限制連續(xù)體動力學(xué)建模方法及響應(yīng)研究[D].哈爾濱: 哈爾濱工業(yè)大學(xué), 2012

[16]FOALE S, BISHOP S R.Bifurcations in impact oscillations[J].Nonlinear Dynamics, 1994, 6(3): 285-299

[17]BLAZEJCZYK-OKOLEWSKA B, CZOLCZYNSKI K, KAPITANIAK T.Hard versus soft impacts in oscillatory systems modeling[J].Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2010, 15(5): 1358-1367

[18]SZALAI R.Impact mechanics of elastic structures with point contact[J].Journal of Vibration and Acoustics, 2014, 136(4): 041002

[19]MELCHER J, CHAMPNEYS A R, WAGG D J.The impacting cantilever: modal non-convergence and the importance of stiffness matching[J].Philosophical Transactions of the Royal Society of London A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 2013.DOI: 10.1098/rsta.2012.0434

[20]VYASARAYANI C P, SANDHU S S, McPHEE J.Nonsmooth modeling of vibro-impacting Euler-Bernoulli beam[J].Advances in Acoustics and Vibration, 2012.DOI: 10.1155/2012/268595

[21]RAHMANI A M, ERVIN E K.Frequency response of an impacting lap joint[J].Journal of Nonlinear Dynamics, 2014(6).DOI: 10.1155/2014/310834

[22]VAN DE VORST E L B, HEERTJES M F, VAN CAMPEN D H, et al.Experimental and numerical analysis of the steady state behaviour of a beam system with impact[J].Journal of Sound and Vibration, 1998, 212(2): 321-336

（編輯：許京媛）

A comparative study of two methods for determining the vibration response of vibro-impact continuum

LI Bingtao1, XU Wentao2, LIU Lei3, WEI Hongtao2
(1.Zhengzhou Design and Research Institute of Coal Industry Co., Ltd, Zhengzhou 450007, China; 2.School of Mechanics and Engineering Science, Zhengzhou University, Zhengzhou 450001, China; 3.School of Astronautics, Northwestern Polytechnical University, Xi’an 710072, China)

The force integration method(FIM) and the mode transfer method(MTM) are two kinds of frequently-used methods to solve the vibro-impact problem of continuum.In a previous paper, the authors put forward the method of the relative mode transfer method(RMTM), and expanded the application scope of MTM, but the differences of numerical results obtained from the FIM and the RMTM remain to be explored.With an example of practical engineering background, the numerical results are obtained both through the FIM and the RMTM.An index for evaluating the difference of the results is proposed, and the effects of the stiffness and the damping ratio on the index are discussed.Finally the results are compared with the experimental data from literature, and it is indicated that the increase of the stiffness and the damping ratio leads to the increase of the difference index.The correctness of the simulation result using the two methods is determined by comparing with experimental data when the stiffness is increased to a certain degree which makes the impact become a rigid impact.By comparing the numerical process of the two methods, it is shown that FIM is more convenient to obtain the results but RMTM enjoys a better convergence and a higher calculation efficiency.

vibro-impact continuum; force integration method; relative mode transfer method; non-linear vibration

V414

：A

：1673-1379(2017)01-0021-07

10.3969/j.issn.1673-1379.2017.01.004

衛(wèi)洪濤（1982—），男，博士學(xué)位，從事結(jié)構(gòu)振動測試與分析研究。E-mail: htwei@zzu.edu.cn。

2016-06-02；

：2017-01-23

河南省高等學(xué)校重點科研項目計劃（編號：15A130006）；國家自然科學(xué)基金（編號：11402044）；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費3102015BJ(11)MYZ16

李丙濤，徐文濤，劉磊，等.兩種求解連續(xù)體撞振響應(yīng)方法對比研究[J].航天器環(huán)境工程, 2017, 34(1): 21-27

LI B T, XU W T, LIU L, et al.A comparative study of two methods for determining the vibration response of vibro-impact continuum[J].Spacecraft Environment Engineering, 2017, 34(1): 21-27