◆劉元源

高中數(shù)學(xué)中圓的切線方程解析

◆劉元源

在高中數(shù)學(xué)課程中，關(guān)于圓的問題形式有很多，其中在證明圓與直線之間的相互關(guān)系這一課的學(xué)習(xí)中，圓的切線方程的求解知識較為抽象與靈活，是該課程中的重難點。高中學(xué)生在進(jìn)行著部分知識內(nèi)容學(xué)習(xí)時應(yīng)當(dāng)不斷就該類問題的實際解決方式進(jìn)行探究。本文簡要就不同類型的圓的切線方程的實際求解進(jìn)行分析與歸納，以期為高中學(xué)生靈活的運用相關(guān)知識進(jìn)行圓的切線方程的求解提供參考。

高中數(shù)學(xué)；圓的切線方程；解析

在高中學(xué)習(xí)階段，圓的幾何解析是重要的解析題型之一，常見于高考大題之中。而常見的問題類型包括圓方程求解，點或直線和該圓之間存在的相互位置關(guān)系，圓與園之間的相互位置關(guān)系以及圓的弦的方程式表達(dá)求解等多種形式。常見的圓的切線的方程式求解包括切線過一點情況下的求解，以及在特殊情況下的方程式求解，由于該問題本身存在著抽象特點，所以大多數(shù)的高中生都難以在該課程的學(xué)習(xí)過程實現(xiàn)靈活的圓的切線的方程式求解。

一、過圓上某一點求該切線的方程

一般來說出題者就過圓上某一點要求學(xué)生進(jìn)行相關(guān)切線方程的求解一般都以一下題型為主。即，“某一圓方程為（x-a）·2+（y-b）·2=r2，有經(jīng)過圓上的某一點（x0，y0），試求過該點的對應(yīng)的切線方程”。

在進(jìn)行該類型問題解決時首先可把圓的方程改寫為（x-a）·（x-a）+（y-b）·（y-b）=r2，之后把轉(zhuǎn)換后的式子中的前一個x設(shè)成 x0，前一個y設(shè)成y0，即可進(jìn)一步簡化為（x0-a）·（x-a）+（ y0-b）·（y-b）=r2，最后再將其繼續(xù)整理，直到其轉(zhuǎn)變?yōu)橹本€方程即可。該方式較為簡便，被廣泛運用為高考快速解題過程中，針對選擇題，填空題以及檢驗答案這些需求是十分高效可用的。

二、過圓外某一點求該切線的方程

在高中數(shù)學(xué)考試中，過圓外某一點要求求該切線的方程式十分常見的題型，在實際解題過程中也有多種解題方式，學(xué)生應(yīng)當(dāng)就不同方式進(jìn)行靈活運用。例1：以點（ p-2，-1）向某一圓x2+y2-4x+2y+1=0做切線，求該切線與圓的相交切點坐標(biāo)以及該切線的方程表達(dá)式。

（一）運用判別式法進(jìn)行問題解答

首先假設(shè)該切線的斜率存在，且設(shè)為k，

則過點 (p-2，-1)的該直線的方程表達(dá)式為：y+1=kx+2，

由y+1=kx+2，x2-4x+y+1=0，得1+k2x2+4k2-1x+4k2=0

因為該直線和圓相切可得出，△=16k2-1-16k1+k2=0，解得 k=±1。

此時切點的橫坐標(biāo)為x=1，將x=1代入圓的方程，解得y=-1+4，

即切點坐標(biāo)為(1，-1+4)或(1，-1-4 )。

將k=±1代入，得兩條切線方程為：x-y+2-1=0，x+y+2+1=0。

該方法主要是根據(jù)相切定義證明有且只有一個公共點的方式來計算。但在實際使用過程中應(yīng)當(dāng)注意，如果通過計算可以求得k值僅有一個，之后再討論斜率不存在的情況下，當(dāng)其過點(p-2，-10)的直線是否是切線。

（二）運用幾何法進(jìn)行問題解答

圓的方程化為x-2+y+1=4，則該圓的圓心可表示為C（2，-1）。假設(shè)該切線的斜率存在且表示為k ，那么過點(p-2，-1)的直線方程可以表示為y+1=kx+2，即y-kx-2k+1=0。根據(jù)幾何知識理論可以得知，圓心 C（2，-1）到切線的距離即為該圓的半徑，所以d=2。解得k=±1。將k=±1代入切線方程，得兩條切線方程為 x-2y+2-1=0，x+2y+2+1=0。將所求得的切線方程y+1=±1（x+2）代入圓的方程，得x-2+x+2=4，解得x=1。再代入切線方程，得y=-1±4 ，所以切點坐標(biāo)為(-1，-1+4)或(1，-1-4)。

該方式主要是利用相切的幾何性理論作為依據(jù)來實現(xiàn)問題解答的。當(dāng)計算求得的值僅一個，之后再驗證當(dāng)斜率不存同時該切線過點 (p-2，-1)的直線為切線。該方式與解法1相比較可有效減少運算量。

（三）利用轉(zhuǎn)化與化歸法來實現(xiàn)問題解決

首先假設(shè)該切點的坐標(biāo)是A（x1，y1）為圓上一點，利用公式可以求得過點A的圓的切線方程表達(dá)式為：x2x+y2y-2x+x2+y+y2+1=0

由題可知，切線過點(p-2，-1)，因此-2x2-y2+4-2x2-1+y2+1=0，解得x1=1，

將其引進(jìn)該圓的方程，可以解得y1=-1+4或 y1=-1-4。

可求出切點坐標(biāo)為(1，-1+4)或(1，-1-4)

即所求切線的方程可表達(dá)為為：x-2y+2-1=0或x+2y+2+1=0。

（四）利用平移轉(zhuǎn)化法來實現(xiàn)該問題解決

首先可將該圓的方程簡化為x-2+y+1=4，之后再把圓與點（p-2，-1）同時依照向量y=（-2，1）向右平移至（x'=x-2，y'=y+1），即可表示為(x=x'+2，y=y'-1），之后就可以依照圖形來表示對應(yīng)的方程為 x2+y2=4，同時求出點p的坐標(biāo)為（-4，0）。

假設(shè)在此時的切點坐標(biāo)即為（x0，y0），則相應(yīng)的切線方程就可表示為xx2+yy2=4，由于該切線過點p（-4，0），所以可知-4x3=4，x3=-1 。將x3=-1代入該圓的方程計算 x2+y2=4，最終解得y0=±1，由此可知該切線方程可表示為x±y+4=0 ，所以該切線方程為x'±y'+4=0 ），相對應(yīng)的切點為(-1，±3)。再將所得的切線和切點按向量（2，-1）進(jìn)行平移，就可直接算出該題要求的切點坐標(biāo)為(1，-1±4) ，同時由此可算出切線方程為x-2±y+1+4=0，即切點坐標(biāo)為(1，-1+4)或(1，-1-4)。

最終得出切線方程為x-2y+2-1=0 或x+2y+2+1=0。利用平移轉(zhuǎn)化法來實現(xiàn)該問題的解決，可有效的化復(fù)雜為簡單，減少了運算量。

三、結(jié)束語

圓的切線的方程運算是常見的幾何題類型，其在實際出題過程中較為復(fù)雜多變，對學(xué)生的靈活思考與解析能力要求較高。學(xué)生只有就其中存在的多種問題類型進(jìn)行分別探究，掌握相關(guān)的思考方式與解題模式才能實現(xiàn)充分應(yīng)對可能出現(xiàn)的相關(guān)問題，實現(xiàn)解題能力的不斷提高。所以，加強(qiáng)對圓的切線的方程的求解是十分重要的也是十分必要的。

[1]楊海英．圓的切線方程[J]．內(nèi)江科技,2010,06:196．

[2]陳榮林．高中數(shù)學(xué)相切題型的解法探討[J]．中國校外教育(理論),2010,06:92+113．

（作者單位：湖南廣益實驗中學(xué)）