朱學(xué)豐

摘 要：思維培養(yǎng)是高中階段數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)所在。只有從思維的角度進(jìn)行把握與拓寬，才能夠?qū)崿F(xiàn)數(shù)學(xué)探究的持續(xù)深入。筆者以拓寬思維平面為中心，查閱了相關(guān)領(lǐng)域的教學(xué)理論成果，并根據(jù)實(shí)踐當(dāng)中的成功經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行了系統(tǒng)整理，形成了思維教學(xué)的一些體會，在本文當(dāng)中進(jìn)行了論述。希望能得到廣大教師的關(guān)注，并對高中數(shù)學(xué)教學(xué)有所啟示。

關(guān)鍵詞：高中；數(shù)學(xué)；思維

【中圖分類號】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】B

【文章編號】1008-1216（2017）01B-0104-02

高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)區(qū)別于初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個很大不同點(diǎn)在于它的教學(xué)關(guān)注點(diǎn)的變化。初中可謂是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)階段，學(xué)生們應(yīng)當(dāng)將注意力更多地放在對具體知識內(nèi)容的理解上，為日后的深入探究打好知識基礎(chǔ)。而進(jìn)入高中階段，就開始從思維能力的高度對學(xué)生們提出了學(xué)習(xí)要求。學(xué)生們不僅需要著眼于具體內(nèi)容進(jìn)行理解，還要學(xué)會看待分析，找到具體知識之間的關(guān)聯(lián)，以便更加深入高效地掌握數(shù)學(xué)知識。這為高中數(shù)學(xué)教師們提出了一個核心的教學(xué)目標(biāo)——思維能力。

一、建立換元思想，拓寬思維平面

在很多復(fù)雜問題的解答當(dāng)中，由于已知條件中的元素過多，經(jīng)常會擾亂學(xué)生們的視線，讓大家不知道這些條件之間究竟存在著怎樣的關(guān)聯(lián)，自然也就無法找到有效的解答方法。這時，就需要找到一個新的元素來置換這些復(fù)雜部分，將混亂的條件簡潔化，清晰地進(jìn)行分析推理，這就是我們首先要談到的換元思想。

例如，在三角函數(shù)的學(xué)習(xí)中，學(xué)生們遇到過這樣一道習(xí)題：已知a>0，那么，函數(shù)f（x）=2a（sinx+cosx）-sinx·cosx-2a2 能夠取得的最大值和最小值分別是什么？想要對這個函數(shù)取得最值的狀態(tài)進(jìn)行分析，最大的障礙就是其中存在的頗為復(fù)雜的三角函數(shù)形式。既然復(fù)雜冗長的三角函數(shù)元素干擾了我們的視線，那么為什么不將它們簡潔化呢？這時，換元的思想就顯得尤為重要。將sinx+cosx的值設(shè)為t，便可以將t的取值范圍確定為[-，]，通過對題目條件進(jìn)行換元得到sinx·cosx=，由此，就可以進(jìn)一步得到f（x）=g（t）=-（t-2a）2+（a>0），t∈[-，]的形式了。接下來，根據(jù)t的取值范圍求出函數(shù)的最大、最小值也就簡便許多了。視覺形態(tài)上的簡化，讓學(xué)生們很清晰地找到了sinx+cosx與sinx·cosx的內(nèi)在聯(lián)系，使得問題被順利解決。

換元的過程就像是對題目條件進(jìn)行了一次重新整理與表達(dá)。在新元素的輔助之下，學(xué)生們的眼前瞬間清晰了許多，很多隱藏在復(fù)雜條件表述之下的邏輯關(guān)系也得以明確地展現(xiàn)出來，為順利解題拓寬了道路。換元思想的建立，為學(xué)生們準(zhǔn)確分析復(fù)雜問題提供了一個很好的出口。

二、建立參數(shù)思想，拓寬思維平面

參數(shù)思想可以說是對換元思想的進(jìn)一步延伸與升華。當(dāng)運(yùn)用題目當(dāng)中現(xiàn)有的條件元素?zé)o法將數(shù)量之間的關(guān)系體現(xiàn)完全時，就可以考慮引入另外的字母作為參數(shù)，以這個參數(shù)作為一個新的核心，用它打通各個零散條件之間的關(guān)系，將一個個現(xiàn)有條件結(jié)合起來，促進(jìn)題目得到解答。

例如，在立體幾何學(xué)習(xí)當(dāng)中，我曾經(jīng)引入了這樣一道習(xí)題：如圖1，S-ABCD是一個正四棱錐，它的四個側(cè)面與地面的夾角均是β，且相鄰的兩個側(cè)面所成的夾角均是α。求證：cosα=-cos2β。想要證明題目當(dāng)中給出的結(jié)論，就需要將α和β的余弦值求出來，然后將α與β放回所在的三角形中，結(jié)合三角形的相關(guān)定理解題。經(jīng)過將AC與BD相連，并連結(jié)其交點(diǎn)O與點(diǎn)S，找到BC的中點(diǎn)F，連結(jié)OF和SF，并作BE⊥SC于點(diǎn)E，連結(jié)DE，能夠很清晰地找到∠DEB=α，∠SFO=β。這時，就面臨一個如何進(jìn)行計算推導(dǎo)的問題。最為簡潔的方式就是引入一個新的參數(shù)a，并將BC的長度設(shè)為a，這樣就可以很順利地表示出SF與SC的長，隨后在△DEB中的余弦定理適用推導(dǎo)中將a這個輔助變量消去，使得問題得到順利求解。

參數(shù)思想的建立并不是那么容易的。由于這需要從題目之外重新引入新的元素輔助分析，對學(xué)生們的思維敏感性提出了很高的要求。很多學(xué)生在面對具體題目時，就會很自然地一頭扎進(jìn)去開始分析計算，遇到困難時也只是一味沉在題目之中尋找出路，很難跳出現(xiàn)有題目，想到用新的參數(shù)來輔助思考。因此，教師們要有意識地加強(qiáng)對學(xué)生們運(yùn)用參數(shù)思想解題能力的訓(xùn)練，將學(xué)生們的這一思維習(xí)慣建立起來，方能讓參數(shù)思想方法被順利使用起來。

三、建立反證思想，拓寬思維平面

很多問題從正面去分析，難度是很大的。有時是由于題目當(dāng)中給出的條件不足，有時則是由于分析活動覆蓋的面太廣，無法將所有可能性都涵蓋進(jìn)來，造成推理不夠縝密。因此，我們就不應(yīng)當(dāng)繼續(xù)把自己的思維限制在這個正面的方向上去做困獸之斗，而是應(yīng)當(dāng)從相反的方向去開辟一條新路。這就是反證思想的產(chǎn)生基礎(chǔ)。

例如，在圓錐的學(xué)習(xí)單元中，曾經(jīng)出現(xiàn)過這樣一道比較典型的反證思想運(yùn)用習(xí)題：如圖2，SA和SB是圓錐體的兩條母線，點(diǎn)O是圓錐底面的圓心，且點(diǎn)C是SB上的點(diǎn)。求證：AC與面BOS不垂直。從題目要求證明內(nèi)容的表述方式就可以看出，這道題目與往常的題目有著些許不同。“不垂直”是一個否定性的表述，那么，如何對這樣的結(jié)論進(jìn)行證明呢？我們掌握的定理，似乎都是從肯定的角度作出的，想要直接得出否定的結(jié)論并不容易。這時，就需要引入反證的思想了。只要從反方向先設(shè)AC與面BOS垂直，沿著這個方向進(jìn)行推導(dǎo)，最終找到面BAS與底面平行的矛盾結(jié)論，便可以確定假設(shè)不成立，進(jìn)而得出待證明的否定性結(jié)論，清晰簡便。

不難發(fā)現(xiàn)，反證思想的產(chǎn)生為原本困難的問題解答找到了一條捷徑。它也從思維的靈活性上為學(xué)生們提供了啟示。對于一些分析起來過于復(fù)雜的問題來講，有時可以另辟蹊徑，從相反的方向嘗試入手，往往可以收獲意想不到的效果。特別是在一些小題的解答當(dāng)中，反證法的適用能夠?yàn)閷W(xué)生們節(jié)省很多時間和精力。

四、建立數(shù)形思想，拓寬思維平面

數(shù)形結(jié)合方法在高中數(shù)學(xué)的很多問題解答當(dāng)中都有著廣泛的應(yīng)用。因此，數(shù)形思想的建立，也就成為拓寬數(shù)學(xué)思維平面的有效途徑之一。勤于將數(shù)字性條件與圖形、圖像相聯(lián)系，是每一個高中學(xué)生必須建立起來的習(xí)慣性意識。有時候，無意當(dāng)中的作圖動作，都會為問題分析提供很大幫助。

例如，在方程內(nèi)容的教學(xué)當(dāng)中，為了引導(dǎo)學(xué)生們將方程與圖形結(jié)合起來，我設(shè)計了這樣一道習(xí)題：已知，方程lg（-x2+3x-m）=lg（3-x）在x∈（0，3）上有唯一的解，那么，實(shí)數(shù)m的取值范圍是什么？題目看似簡單，但要準(zhǔn)確快速地將其解答出來，僅靠代數(shù)形式的推導(dǎo)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。當(dāng)我們將已知條件當(dāng)中的方程變形轉(zhuǎn)化成為一元二次方程在其定義域中存在實(shí)數(shù)解的問題之后，就需要圖形進(jìn)行輔助了。當(dāng)我們將方程化簡為之后，答案也就顯而易見了。

數(shù)形思想的適用在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程當(dāng)中隨處可見。無論是以圖形為重點(diǎn)的幾何內(nèi)容，還是以數(shù)字為側(cè)重的代數(shù)問題，其中的關(guān)系都能夠以圖形的方式展現(xiàn)出來。圖形有時是思維分析的輔助，有時更是有效解題的決定性因素。因此，將單一的數(shù)字思維拓展至圖形思維領(lǐng)域，對于高中數(shù)學(xué)的有效探究是極為關(guān)鍵的。

高中數(shù)學(xué)當(dāng)中的思維能力覆蓋面很廣。伴隨此階段知識數(shù)量與問題形式的復(fù)雜多樣，對應(yīng)的思維方法也是種類各異的。本文只是就其中一些較為典型的思維方法進(jìn)行了闡述，希望能夠拋磚引玉，起到啟發(fā)廣大教師的作用。筆者相信，通過對學(xué)生們的思維平面進(jìn)行拓寬，建立多種行之有效的思維路徑，必定能夠?yàn)閷W(xué)生們的知識學(xué)習(xí)開辟清晰的思路，使其能夠手握這些規(guī)律性方法，更加簡潔高效地處理復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，將高中數(shù)學(xué)學(xué)得更好。

參考文獻(xiàn)：

[1]王文明.如何在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力[J].學(xué)周刊，2012，（5）.

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