趙國(guó)義　邵國(guó)臣

時(shí)下，“核心素養(yǎng)”已成為人們熱議的話題。各地的培訓(xùn)機(jī)構(gòu)“與時(shí)俱進(jìn)”，紛紛組織召開以“核心素養(yǎng)”為主題的培訓(xùn)會(huì)或研討會(huì)，報(bào)紙雜志也頻頻發(fā)表這方面的文章。于是“核心素養(yǎng)”一詞迅速升溫，成為一個(gè)比較流行的詞匯。當(dāng)以“核心素養(yǎng)”為標(biāo)志的課改理論“來(lái)襲”的時(shí)候，一線教師擔(dān)心的是還得受那些云里霧里“先進(jìn)理念”的折騰。讓我們看看高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與現(xiàn)行《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）中的課程目標(biāo)有什么聯(lián)系與不同。

核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、運(yùn)算能力、直觀想象、數(shù)據(jù)分析。

課程目標(biāo)：空間想象、抽象概括、推理論證、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理。

若將“核心素養(yǎng)”與《標(biāo)準(zhǔn)》中的“五大基本能力”進(jìn)行對(duì)比，除“數(shù)學(xué)建?！蓖?，有五條相同或相近。核心素養(yǎng)的“落腳點(diǎn)”是培養(yǎng)學(xué)生的“理性精神”，什么是“理性精神”，《標(biāo)準(zhǔn)》中課程目標(biāo)第5條、第6條給予了比較好的詮釋：鍥而不舍的鉆研精神和科學(xué)態(tài)度，逐步認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值和文化價(jià)值，形成批判性的思維習(xí)慣，崇尚數(shù)學(xué)的理性精神。顯然，“核心素養(yǎng)”是在《標(biāo)準(zhǔn)》課程目標(biāo)基礎(chǔ)上的繼承與發(fā)展，我們認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)，則不必?fù)?dān)心再受什么“折騰”。其實(shí)，數(shù)學(xué)教師的基本任務(wù)是把數(shù)學(xué)教好。怎樣才算是把數(shù)學(xué)教好，理解數(shù)學(xué)課程是落實(shí)“核心素養(yǎng)”的關(guān)鍵。

李邦河院士說(shuō)：“數(shù)學(xué)根本上是玩概念，不是玩技巧。技巧不足道也！”中學(xué)數(shù)學(xué)概念的形成過程中有很多“規(guī)定”，學(xué)生不知道為什么要有這樣的規(guī)定，當(dāng)他們問老師時(shí)，老師往往說(shuō)“這是規(guī)定，你記住就是了?！庇谑牵瑢W(xué)生會(huì)認(rèn)為概念中的“規(guī)定”是人為“編造”的，以后不再問“為什么”，慢慢對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)失去了興趣。教師要把數(shù)學(xué)教好，必須理解“為什么”背后的數(shù)學(xué)含義。

一、因知識(shí)內(nèi)部的邏輯性而“規(guī)定”

數(shù)學(xué)知識(shí)的特點(diǎn)之一就是具有較強(qiáng)的邏輯性和系統(tǒng)性，其中一些“規(guī)定”，是由于數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)部發(fā)展邏輯性而決定的，而不是隨意規(guī)定的。

案例1. 為什么規(guī)定“空集是任何集合的子集”？

筆者在很多地區(qū)聽不同教師講這個(gè)內(nèi)容時(shí)，都沒有對(duì)其進(jìn)行解釋，學(xué)生也不問，下課后問一些學(xué)生，學(xué)生答道：“這是規(guī)定，沒有為什么?！?/p>

很顯然，這種現(xiàn)象是學(xué)生多年的學(xué)習(xí)習(xí)慣形成的，他們經(jīng)歷小學(xué)、初中，經(jīng)歷不同的學(xué)校，不同的教師。然而，這些教師有一個(gè)共同的問題是，沒有對(duì)數(shù)學(xué)中的“規(guī)定”進(jìn)行合理解釋，也沒有引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行質(zhì)疑，為什么要這樣進(jìn)行“規(guī)定”？久而久之，學(xué)生的思維就會(huì)出現(xiàn)這樣的“麻木”狀態(tài)。

解釋1：可與自然數(shù)進(jìn)行類比。

自然數(shù)的功能之一是基數(shù)功能，即用來(lái)刻畫某一類“東西”的多少，就是描述一個(gè)有限集合元素的個(gè)數(shù)；顯然空集是有限集合，并且很容易理解用“0”來(lái)描述“空集”中含元素的多少。0是最小的自然數(shù)，空集是“最小”的集合，規(guī)定空集是任何集合的子集。

解釋2：因?yàn)榧线\(yùn)算性質(zhì)得：A∪B= A，即B是A的子集，那么，我們知道A∪= A，即空集是A的子集，A表示任何集合，故空集是任何集合的子集。可以先讓學(xué)生了解空集以及子集概念，再把這個(gè)“規(guī)定”作為一個(gè)探究點(diǎn)，讓學(xué)生思考能否在學(xué)習(xí)集合的運(yùn)算后進(jìn)行解釋。

案例2. 為何規(guī)定零向量與任何向量平行？

教材中規(guī)定：零向量與任何向量平行，即對(duì)任意向量a都有0∥a。然而，為什么要有這樣的規(guī)定，一般教師都未進(jìn)行解釋，好像這樣做是“理所應(yīng)當(dāng)”，學(xué)生感覺這樣的“規(guī)定”是編教材的人“憑空”寫出來(lái)的，如果教師不對(duì)“規(guī)定”背后的數(shù)學(xué)含義及合理性進(jìn)行解釋，他們會(huì)認(rèn)為數(shù)學(xué)不講道理，數(shù)學(xué)教師不講道理。

解釋：為何規(guī)定零向量與任何向量平行，而不規(guī)定與任何向量垂直呢？首先，因?yàn)榱阆蛄糠较蚴侨我獾?，若向量a、b平行，其中b是非零向量，則存在唯一實(shí)數(shù)λ使a=λb成立，若a為零向量，則λ=0。

如此規(guī)定是為了滿足向量加減法的封閉性。我們將與向量a共線的向量構(gòu)成一個(gè)集合A，所謂封閉性，就是在這個(gè)集合里，一定存在一個(gè)量，使得集合里的任意一個(gè)向量與之相加等于本身。對(duì)于數(shù)字集合，這個(gè)數(shù)就是零，對(duì)于向量集合，這個(gè)量就是零向量。即0+a=a。

另外，因?yàn)閍+（-a）=0，規(guī)定零向量與任意向量平行也是合理的。

這方面的例子還很多，如：

為什么“負(fù)負(fù)得正”？

為什么規(guī)定a0=1，a-n=，0！=1，Cn0=1？

為什么圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)稱為奇函數(shù)？關(guān)于軸對(duì)稱的函數(shù)稱為偶函數(shù)？

二、因中學(xué)生知識(shí)內(nèi)容所限而“規(guī)定”

數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)是有階段性的，大部分?jǐn)?shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)到大學(xué)或研究生階段還要進(jìn)一步學(xué)習(xí)或完善，中學(xué)階段只能學(xué)習(xí)其中一部分， 由于其“基礎(chǔ)性”所限，中學(xué)數(shù)學(xué)有些概念在定義的過程中，必須做出相應(yīng)“規(guī)定”。

案例3. 函數(shù)概念為什么規(guī)定是“一對(duì)一”“多對(duì)一”？

教材對(duì)函數(shù)的概念進(jìn)行定義時(shí)，對(duì)于這條規(guī)定，很多學(xué)生并不理解，不知道為什么要這樣規(guī)定，又不敢去問老師，怕遭受“閉門羹”。然而，中學(xué)數(shù)學(xué)教師大都受過高等教育，都學(xué)過《數(shù)學(xué)分析》這門課程，應(yīng)該和學(xué)生解釋這樣規(guī)定的合理性。

解釋：實(shí)際上，中學(xué)對(duì)函數(shù)的定義是單值函數(shù)，例如：

由圓的方程x2 +y2 =1，解出y= 1-x2 ，x∈ [-1，1]

根據(jù)函數(shù)的定義，它就不是函數(shù)，更準(zhǔn)確地說(shuō)，它不是單值函數(shù)，而是多值函數(shù)。由于高中不討論多值函數(shù)，但是它可以拆成兩個(gè)單值函數(shù)來(lái)研究：

y=± 1-x2， x∈ [-1，1]；y=- 1-x2， x∈ [-1，1]

因此，我們主要研究的是單值函數(shù)，所以“一對(duì)一”“多對(duì)一”并非函數(shù)的本質(zhì)屬性，函數(shù)中的本質(zhì)屬性為“對(duì)應(yīng)”。

這類規(guī)定的例子還有：

平面幾何“兩點(diǎn)之間線段長(zhǎng)最短”；

初中數(shù)學(xué)am·an=am+n，（am）n=amn，（ab）n=an·bn，規(guī)定m，n都是正整數(shù)。

高中數(shù)學(xué)中集合的確定性、互異性和無(wú)序性。

三、因數(shù)學(xué)概念的“基本性”而“規(guī)定”

我們給一個(gè)數(shù)學(xué)概念進(jìn)行定義時(shí)，概念形成的要素應(yīng)該是最“基本”的。否則，不能作為給一個(gè)概念下定義的基本要素。

案例4.描述橢圓的扁平程度，為什么定義離心率？

教材中定義橢圓（雙曲線）的離心率為焦距與長(zhǎng)（實(shí)）軸的比，即，它從數(shù)值上描述了橢圓的扁平（雙曲線開口開闊）程度。從這個(gè)意義上講，用比更直觀（如圖1）， 為什么不用來(lái)定義離心率，而用呢？

解釋：設(shè)P是橢圓上的任意一點(diǎn)，由橢圓的定義|PF1|+|PF2|=2a，2a>|F1F2|=2c，其中b2=a2-c2，a、c是基本量，而b非基本量。對(duì)于雙曲線b是虛半軸，不能直接看出來(lái)。所以用基本量a、c表示橢圓、雙曲線的離心率。

案例5.為什么要規(guī)定單調(diào)性和奇偶性作為函數(shù)的基本性質(zhì)？

通過多年教學(xué)和教研實(shí)踐了解到，一般不會(huì)有教師去思考這個(gè)問題。教材怎么寫，我就怎么教，至于為什么要這樣寫，就是那些編寫教材專家的事情?？磥?lái)，如果不體會(huì)教材的編寫意圖，要教好數(shù)學(xué)是不可能的。

解釋：函數(shù)中的本質(zhì)屬性為“對(duì)應(yīng)”，我們自然關(guān)注的是，如果自變量按一定規(guī)律變化，相應(yīng)函數(shù)值 f（x）呈現(xiàn)怎樣的變化規(guī)律？ 如果自變量x取值在定義域D的某個(gè)區(qū)間上取值逐漸增加時(shí)，研究相應(yīng)f（x）的變化趨勢(shì)，即是函數(shù)的單調(diào)性；如果自變量x取值關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，研究相應(yīng)f（x）的變化規(guī)律，即為函數(shù)的奇偶性。

以上由函數(shù)的概念可以知道，為什么單調(diào)性和奇偶性作為函數(shù)的基本性質(zhì)。除此以外，還有一條更重要的原因，這一條往往被中學(xué)數(shù)學(xué)教師所忽略。如函數(shù)的奇偶性：

任意一個(gè)定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)f（x）都可以寫成一個(gè)奇函數(shù)和一個(gè)偶函數(shù)的和：

，

設(shè) 顯然函數(shù)g（x）是偶函數(shù)，h（x）是奇函數(shù)。

這類規(guī)定的例子還有：

平面的三條基本性質(zhì)。

同角三角形函數(shù)關(guān)系兩個(gè)基本公式：

平方關(guān)系： sin2α+cos2α=1，商數(shù)關(guān)系：

（原來(lái)有八個(gè)公式，其余六個(gè)可以由這兩個(gè)公式推導(dǎo)得出）。

圓錐曲線簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)。

四、因其數(shù)學(xué)意義而“規(guī)定”

案例4.算術(shù)平均數(shù)

我們?cè)谛W(xué)時(shí)就會(huì)求一組數(shù)據(jù)的“平均數(shù)”，但是大多數(shù)人并沒有想過平均數(shù)真正意義。其實(shí)，算術(shù)平均數(shù)是一組數(shù)據(jù)的代表值，起著衡量數(shù)據(jù)資料的集中趨勢(shì)和大致水平的作用。一組數(shù)據(jù)的“代表值”，應(yīng)該具備這樣的特征，與每一個(gè)數(shù)據(jù)都“很近”，怎樣刻畫與每一個(gè)數(shù)據(jù)都“很近”呢？

分析：距離在數(shù)據(jù)上往往用“絕對(duì)值”來(lái)表示，我們用x1，x2，…，xn表示樣本數(shù)據(jù)，用a表示這個(gè)“代表值”，那么，函數(shù)f（x） =∑|a-xi|在x =a時(shí)取最小值。

怎么求a呢？有絕對(duì)值號(hào)很不方便計(jì)算，因?yàn)槲覀儾⒉皇且?jì)算這個(gè)絕對(duì)值的和是多少，而是要找出x1，x2，…，xn 給數(shù)據(jù)的代表值a，因?yàn)榻^對(duì)值非負(fù)，能否有另一個(gè)非負(fù)數(shù)來(lái)替換它而達(dá)到同樣的效果呢？顯然可以用“平方”來(lái)替換，即

顯然，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，f（x）最小。至此，我們知道了“平均數(shù)”的真正意義。

事實(shí)上，科學(xué)上的任何規(guī)定，都是有“為什么”的，連數(shù)學(xué)符號(hào)的采用都是如此。

任意x，為什么記作Ax，是因?yàn)槿魧nyx縮寫為“ax”或“Ax”，容易引起誤解，于是便寫成Ax；

存在x，為什么記作Ex，是因?yàn)榘选按嬖凇眅xist取字頭后，e與x連寫成，易引起誤會(huì)，仿照“任意”any字頭A上下翻轉(zhuǎn)，仍是E，于是就左右翻轉(zhuǎn)為E；

為什么用S，∑表示“求和”？S是sum第一個(gè)字母，希臘文的∑，相當(dāng)于英語(yǔ)里的S。有趣的是積分符號(hào)為什么采用“∫”，它實(shí)際是一個(gè)拉長(zhǎng)了的S，因?yàn)椤岸ǚe分”是“分割”、做“和”，取極限，實(shí)際上是求和。又由于牛頓——萊布尼茲公式，建立了定積分的計(jì)算與不定積分所求原函數(shù)的關(guān)系，這樣一來(lái)，不定積分采用符號(hào)∫，定積分采用符號(hào)∫ab。

袁隆平院士談到，他讀中學(xué)時(shí)數(shù)學(xué)成績(jī)不太好，“我最喜歡外語(yǔ)、地理、化學(xué)，最不喜歡數(shù)學(xué)，因?yàn)榈浆F(xiàn)在為止，我仍然搞不懂為什么負(fù)負(fù)相乘得正，就去問老師，老師告訴他不要問為什么，記得就是；學(xué)幾何時(shí)，對(duì)一個(gè)定理有疑義，去問，還是一樣的回答，我由此得出結(jié)論，數(shù)學(xué)不講道理，于是不再理會(huì)，從那時(shí)起我就對(duì)數(shù)學(xué)失去了興趣?！痹菏恐v的這段故事或許在我們每一個(gè)人身上都發(fā)生過，它給我們的啟示是：雖然這些“規(guī)定”背后的數(shù)學(xué)含義或許并不影響你的“學(xué)習(xí)成績(jī)”，但這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生“核心素養(yǎng)”，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)能力是具有重要意義的。