黃芬+李連華

【摘要】在數(shù)學教學中，引導學生借助活動經(jīng)驗展開數(shù)學想象，幫助學生真正實現(xiàn)知識的內(nèi)化：在觀察比較中初步建立“平均分”的表象，在比較思辨中突出“平均分”的意義，在細節(jié)中精致“倍”的內(nèi)涵，在分分圈圈中完善“平均分”的建構(gòu)，在數(shù)學想象中內(nèi)化“平均分”的內(nèi)涵。

【關(guān)鍵詞】觀察 思辨 想象 操作 討論

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》指出：數(shù)學教學活動，特別是課堂教學應激發(fā)學生興趣，調(diào)動學生積極性，引發(fā)學生的數(shù)學思考。在教學中，我們不僅要創(chuàng)設讓學生動手操作的機會，更應當重視由“動手”向“動腦”轉(zhuǎn)變，切實促進學生由單純的操作經(jīng)驗向相關(guān)知識的深刻理解轉(zhuǎn)變。鄭毓信說：我們所希望的就是由“動手”過渡到“動腦”，使學生將注意力由如何實際地完成相應的動作轉(zhuǎn)移到對其內(nèi)在屬性的思考。結(jié)合蘇教版數(shù)學二年級下冊《認識平均分》的教學，談談如何引導學生從“動手”過渡到“動腦”，讓學生借助活動經(jīng)驗展開數(shù)學想象，幫助學生真正實現(xiàn)知識的內(nèi)化。

一、找準知識點，在觀察比較中初步建立“平均分”的表象

片段1：平均分的認識

師：同學們，你們看老師這里有6個桃子，準備把它們分成2份，可以怎么分？

生1：6個可以分成3個和3個。

生2：6個可以分成2個和4個。

生3：6個可以分成5個和1個。

根據(jù)學生的回答，師擺出各分法：

①○○○ ○○○

②○○ ○○○○

③○○○○○ ○

師：6個桃，如果分成三份，可以怎么分呢？

生：可以分成1個、1個、4個；可以分成1個、2個、3個；還可以分成2個、2個、2個。

根據(jù)學生的回答，師擺出各分法：

④○ ○ ○○○○

⑤○○ ○○ ○○

⑥○ ○○ ○○○

師：同學們，你們能想出這么多種分法，真是了不起！那你們覺得在這些分法中，哪些方法很公平？

生：第一種和第五種分法很公平！

師：大家同意嗎？（師取走其他的，剩下公平的）

師：同學們，為什么你們都覺得這樣分是公平的呢？

生：因為它們分得一樣多。

師：同學們的意思是它們每份都是一樣多，是吧？一起看一下！

師邊指邊問：第一份幾個？第二份呢？它們每份都是3個。（指問○○○ ○○○）

這里的第一份幾個？第二份呢？第三份？它們每份都是2個。（指問○○ ○○ ○○）

師：像這樣，每份分得同樣多。（板書：每份分得同樣多）分得很公平，就叫“平均分”。

（板書：平均分）

師：這種公平的分法叫什么？

生：平均分。

師：什么是平均分？再讓我們流利地說一遍。

5.揭題：今天我們就來認識平均分。

評析：

尤納斯指出：“在面臨各個特定的數(shù)學概念的教學任務時，數(shù)學教師應當仔細研究學生在日常生活中是否已經(jīng)用到了這一概念，并努力弄清在日常概念與算法背后的不變因素。因此，在大多數(shù)情況下就只有通過對大量實例進行綜合分析，而不是單個實例的考察，我們才能順利地發(fā)現(xiàn)其中的共同成分，并由此引出相應的普遍性結(jié)論。”“分桃”活動是學生熟悉的感興趣的活動，從學生已有的知識經(jīng)驗出發(fā)，讓學生把6個桃不僅分成2份，還分成3份，在兩次動手分的基礎(chǔ)上，不僅讓學生對分的過程有了足夠的感知，而且為學習新知提供了足夠多的材料，再讓學生把剛才分的情況看一看、比一比，在比較的基礎(chǔ)上，引導學生對操作模式的共同屬性進行抽象概括，學生很快就從共同特征中抽象出“平均分”這個概念的本質(zhì)屬性：每份分得同樣多叫平均分。

二、提供反例，在比較思辨中突出“平均分”的意義

片段2：手勢判斷

師：說說下面哪種分法是平均分，你認為是平均分的就用對的手勢，不是就用錯的手勢。

師分批出示圖片，學生手勢判斷：

師：你們?yōu)槭裁凑J為蘋果、松鼠不是平均分呢？

生1：因為它們分得不是一樣多。

生2：它們每份不一樣多。

師：同學們看，松鼠的第一組2只，第二組也是2只，是一樣多的呀，為什么它們不是平均分呢？

生：可是它們第三組有3只，平均分一定要每份都是一樣多才行！

師：明白了！雖然松鼠第一組和第二組是一樣多的，但是第三組不一樣多，也就是每份不一樣多，所以不是平均分。

評析：

所謂反例，就是故意變換事物的本質(zhì)屬性，使之質(zhì)變?yōu)槠渌挛?，然后在引導思辨中，從反面突出事物的本質(zhì)屬性，從而幫助學生準確深刻地理解概念。《數(shù)學教學心理學》指出：在確認了事物的關(guān)鍵屬性，概括成概念以后，教師應該采取適當?shù)拇胧箤W生認知結(jié)構(gòu)中的新舊概念分化，以免新舊概念混淆，新概念被舊概念所湮滅。在上述片段中，學生對平均分的認識還是初步的，通過對一組組不同事物分法的比較與思辨，幫助學生從對錯誤的反省中引發(fā)對知識更為深刻的正面思考：平均分的時候每份都是一樣的，學生對平均分的認知就在這樣的思辨中再次被強化了。其中，教師對松鼠分法的追問：松鼠的第一份2只，第二份也是2只，這一樣多為什么不是平均分呢？讓學生進一步感知到平均分的特殊性：一定要每份都分得同樣多才是平均分，讓學生對概念的認識又深了一步，進一步加深了學生對平均分的認識。典型反例的恰當提供，不僅能突出概念的內(nèi)涵，還可以對錯誤“防患于未然”，把將發(fā)生而未發(fā)生的錯誤消滅在了萌芽狀態(tài)，幫助學生建立了正確的概念意象。

三、界定概念要素，在細節(jié)中精致“倍”的內(nèi)涵

片段3：“每份數(shù)”和“份數(shù)”

出示圖片：

師：同學們，都是把8個蘋果平均分，它們的分法一樣嗎？哪里不一樣？

生：他們的分法不一樣。第一排每一份是2個，下面每一份是4個。

師：是嗎？一起來看一看！第一份幾個？第二份？第三份？第四份？

生：2個，2個，2個，2個。

師：每一份都是2個，我們就說：每份2個。一起說一下?。ǔ鍪荆好糠?個）

師：分成幾份？

生：4份。

師：伸出小手一起來圈一圈，數(shù)一數(shù)！

師點課件圈畫，生伸出手指書空圈數(shù)。

師：確實是4份。（出示：分成4份）

師：下面一排蘋果每份幾個？分成幾份？

生：下面一排蘋果每份4個，分成2份。

師：是嗎？一起伸出小手數(shù)一數(shù)！

師點課件圈畫，生伸出手指書空圈數(shù)。

師：看來它們確實分得不一樣！雖然兩排蘋果都是平均分，但是第一排是每份2個，分成4份；第二排每份4個，分成2份。同學們，我們在看平均分時一定要看清每份幾個，分成幾份。

師：剛才你們認為五角星也是平均分，那你能說出：每份幾個，有幾份嗎？同桌互相說一說。

評析：

《數(shù)學教學心理學》指出：在數(shù)學學習中，概念精致的實質(zhì)就是對概念的內(nèi)涵與外延進行詳盡的“深加工”，對“概念要素”進行具體的界定，以使學生建立更清晰的概念表象，獲得更多的概念例證，對概念的細節(jié)把握得更加準確，理解概念的各個方面，獲得概念的某些條件限制等。平均分這個概念涉及兩個要素，一個是每份數(shù)，另一個是份數(shù)，這兩個要素學生理解時很容易混淆，但這兩個要素對理解平均分很關(guān)鍵，而且對學生后續(xù)的數(shù)學學習也非常重要。為了幫助學生加深對這兩個要素的理解，教學到此停了停，用8個蘋果的兩種平均分設置問題情境：把8個蘋果平均分，這兩種分法一樣嗎？哪里不一樣？引起學生對平均分這兩個要素的關(guān)注，讓學生圈一圈、數(shù)一數(shù)、說一說，在細膩的引導下，讓學生清晰地建立了這兩個要素的表象，加深了對這兩個要素的理解，使學生對平均分的分法把握得更到位，認識也更到位了。

四、動手操作，在分分圈圈中完善“平均分”的建構(gòu)

片段4：“每幾個一份”分一分

師：剛才我們不僅知道了平均分，而且還知道每份幾個，有幾份。那怎樣才能做到平均分呢？接下來，我們就一起來研究。

（貼板書：12根小棒，每2根一份，可以分成（ ）份）（讀題）

師：每2根一份，你想怎么分？

生：2根2根地分。

（一生板演，其余自己分）

師：他分得對嗎？一起數(shù)一數(shù)，分成幾份？

師：完整讀一讀題目。

師（小結(jié)）：12根小棒，每2根一份就是2根2根地分，可以分成6份。

師（再來考考你們）：

（課件出示：12根小棒，每3根一份，可以分成（ ）份）

（課件出示：12根小棒，每4根一份，可以分成（ ）份）

師：該怎么分呢？請同學們動手分一分。

（學生動手分）

師：說說你是怎么分的？分成了幾份？

師（小結(jié)）：像剛才那樣把12根小棒進行每幾個一份地分，就是我們今天要學習的內(nèi)容。

片段5：“每幾個一份”圈一圈

師：同學真聰明！不僅認識了平均分，而且還會動手平均分了。獎勵你們一些餅干糖果。

課件出示：

師：現(xiàn)在要把它們平均分，但沒有餅干、巧克力、糖可以擺，你有沒有什么好方法，讓大家一眼就看出，你也是在平均分？

生1：可以用畫小豎線的方法。

生2：圈一圈。

師：都可以。今天我們就用這個圈一圈的方法，先圈一圈，再填一填。

（學生獨立完成練習，并交流）

師：生活中也經(jīng)常會遇到平均分的問題呢！

課件出示：有8個桃，每個小朋友分2個桃，可以分給（ ）個小朋友。

師：每只小猴分2個桃是什么意思？就是怎么分？

生：每只小猴分2個桃就是每2個一份地分。

（學生圈分，交流）

評析：

著名心理學家皮亞杰說：“兒童的思維是從動作開始的，切斷動作與思維的聯(lián)系，思維就不能得到發(fā)展?！彼栽谛W數(shù)學教學中，教師應充分利用學具，加強學生的實踐操作，讓學生在學具操作中發(fā)揮潛力。學生在認知“平均分”這一概念時，讓學生多次動手分一分小棒，在動手操作中幫助學生建立平均分的表象，并及時推動學生分析、綜合、比較、抽象、概括，加深對平均分的認識。在此基礎(chǔ)上進一步讓學生對餅干等進行圈分，半具體半抽象的圈分促使學生思維又進了一步，對平均分的感知又深了一層，這樣的安排既符合低年級學生認知概念的心理，又促進學生的思維一步步深入，對平均分這個概念的認識也一步步加深。可見，學生的認知在操作中得到發(fā)展，又在操作中得以完善。

五、抽象概括，在數(shù)學想象中內(nèi)化“平均分”的內(nèi)涵

片段6：想象平均分

出示圖文題：有12個桃，每個小朋友分2個桃，可以分給（ ）個小朋友。

師：不分你能猜出分給幾個小朋友嗎？

生：6個。（個別學生反應很快）

師：到底是不是6人呢？一起圈一圈（課件演示：邊圈邊數(shù)，1次、2次……）

師：確實是6次。剛才還沒分，你怎么就知道是6次的呢？

生：每2個一份，就是2個2個地分，想幾個2是12，6個2是12。所以是6個小朋友。

師：是不是呢？一起來想：1個2，2個2……6個2，6個2就是12，所以拿6次。

出示無圖文字題：20個桃，每人4個，分給幾人？

師：這次沒有圖了，你能猜出分給幾人嗎？

生：5人。（有停頓，但是一會兒就有學生舉手了）

師：確定嗎？一起驗證一下！1個4是4，2個4是8……5個4是20，確實，20里面有5個4?？梢苑纸o5人。

課件出示：12個桃，每個小朋友分3個，可以分給幾個小朋友？教學過程同上。

評析：

通過讓學生有圖想象分驗證，再過渡到無圖想象分，一步一步地幫助學生內(nèi)化平均分的認識，在一次次的驗證過程中，真正使“活動內(nèi)化”，使學生從一個水平的認知提升到下一個水平，對平均分的認知也越來越清晰明朗。由此也激發(fā)了學生根據(jù)已有的知識經(jīng)驗解決實際問題，通過想“12里面有（ ）個2”的方法來幫助解決實際問題，甚至有學生想到用乘法口訣來解決。這一個環(huán)節(jié)很好地幫助學生從具體形象思維過渡到了抽象思維，幫助學生把新知納入了他已有的知識結(jié)構(gòu)中，把平均分這個概念與已有的概念建立了廣泛聯(lián)系，真正理解了平均分這個概念。

【參考文獻】

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012：3.

[2]曹才翰，章建躍.數(shù)學教育心理學[M].北京：北京師范大學出版社，2006：141.

[3]鄭毓信.小學數(shù)學概念與思維教學[M].南京：江蘇鳳凰教育出版社，2014：53，58.

[4]王林.小學數(shù)學課程標準研究與實踐[M].南京：江蘇鳳凰教育出版社，2011：8.