鐵勇

摘 要：微分幾何是數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)一門(mén)重要的專(zhuān)業(yè)課程，它對(duì)于逐步提高幾何思維和空間想象能力和一定的計(jì)算證明能力起到了一定的促進(jìn)作用，然而學(xué)生學(xué)習(xí)微分幾何存在學(xué)習(xí)困惑。通過(guò)詳細(xì)分析數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)學(xué)生學(xué)習(xí)微分幾何的困因，提出了一定的改變現(xiàn)狀的教學(xué)策略。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)學(xué)生；微分幾何：困因；教學(xué)策略

1 引言

微分幾何是綜合性大學(xué)數(shù)學(xué)系各專(zhuān)業(yè)重要的專(zhuān)業(yè)課，也是應(yīng)用性很強(qiáng)的一門(mén)數(shù)學(xué)課程。微分幾何課的目的一方面使學(xué)生鍛煉空間想象能力和抽象思維能力，以便為以后進(jìn)一步學(xué)習(xí)、研究現(xiàn)代幾何學(xué)打好基礎(chǔ)，另一方面培養(yǎng)學(xué)生理論聯(lián)系實(shí)際和分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。然而學(xué)生學(xué)習(xí)微分幾何存在學(xué)習(xí)困惑。解決學(xué)生學(xué)習(xí)該課程的困惑有重要的現(xiàn)實(shí)意義。本文通過(guò)詳細(xì)分析數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)學(xué)生學(xué)習(xí)微分幾何的困因，提出了一定的教學(xué)策略，為數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)學(xué)生學(xué)習(xí)微分幾何課程提供一點(diǎn)學(xué)習(xí)參考，以及針對(duì)教學(xué)提供一些教學(xué)建議。

2 數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)學(xué)生學(xué)習(xí)微分幾何的困因

2.1 對(duì)微分幾何學(xué)習(xí)存在認(rèn)識(shí)的偏見(jiàn)

微分幾何是微積分原理滲透到空間幾何知識(shí)和理論形成的專(zhuān)業(yè)課程，鑒于其幾何的知識(shí)背景，課程內(nèi)容會(huì)涉及很多不同的概念，這些概念的計(jì)算公式也會(huì)相應(yīng)呈現(xiàn)。因此，當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)到一定的時(shí)候，會(huì)認(rèn)為只要記住公式就能懂得解題的方式。往往會(huì)把中學(xué)時(shí)候的初等幾何的學(xué)習(xí)方法融入到微分幾何的學(xué)習(xí)中，片面地認(rèn)為公式是貫穿整個(gè)知識(shí)的主要問(wèn)題，從而不能擺脫以記憶公式為主的學(xué)習(xí)幾何的學(xué)習(xí)方式。另外，微分幾何知識(shí)中存在一些復(fù)雜的空間幾何問(wèn)題，因?yàn)榭臻g幾何更多的穿插著很多不規(guī)則的曲線和曲面，鑒于個(gè)人的空間想象能力的局限，就會(huì)產(chǎn)生學(xué)習(xí)困惑，以至于傾向于單純的知識(shí)和公式的記憶模式。

2.2 習(xí)題訓(xùn)練缺乏主動(dòng)性和積極性

微分幾何的內(nèi)容中充斥著很多需要計(jì)算和解答的問(wèn)題，這就需要學(xué)生動(dòng)手進(jìn)行認(rèn)真的演算。然而，由于學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)存在認(rèn)識(shí)的偏見(jiàn)，往往有些學(xué)生懶于動(dòng)手演算，他們認(rèn)為只要記住公式，計(jì)算一般不會(huì)有問(wèn)題。他們忽略了重要的問(wèn)題就是，有些沒(méi)有發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題往往存在于計(jì)算和推演的過(guò)程中。數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)在某種程度上告訴我們，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題有時(shí)候比解決問(wèn)題更重要。因此，只有動(dòng)手認(rèn)真演算，才能發(fā)現(xiàn)一個(gè)計(jì)算問(wèn)題可能會(huì)牽扯到哪些相關(guān)學(xué)科的知識(shí)，或是存在什么樣的難點(diǎn)和疑問(wèn)。而這樣的學(xué)習(xí)方式在課堂教學(xué)和課后的作業(yè)中被淡化了。學(xué)生對(duì)習(xí)題訓(xùn)練更多是缺乏主動(dòng)性和積極性。

2.3 課堂教學(xué)中提問(wèn)呈現(xiàn)的思維惰性

在課堂教學(xué)中，教師引導(dǎo)解決一個(gè)微分幾何問(wèn)題。比如：給出一定的條件，求解動(dòng)點(diǎn)的軌跡。學(xué)生往往不知道條件如何進(jìn)行有效地整合。這就顯示出所學(xué)知識(shí)的模糊，以及思維的惰性。當(dāng)遇到困惑時(shí)，短時(shí)間的思考不能形成有效的求解方式，此時(shí)學(xué)生就會(huì)凸顯出思維的惰性，即不愿意再過(guò)多地去思考條件與所求問(wèn)題之間的關(guān)聯(lián)。對(duì)于一個(gè)問(wèn)題的思考，往往不知道思考的出發(fā)點(diǎn)是什么，如何去找。對(duì)問(wèn)題的困惑的認(rèn)知程度就會(huì)逐步形成思考和學(xué)習(xí)的困惑，久而久之就會(huì)潛意識(shí)地形成思維的惰性，阻礙學(xué)生的思維積極性。

3 教學(xué)策略與方法

3.1 突出傳授數(shù)學(xué)思想和學(xué)習(xí)方法

突出傳授數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法。了解學(xué)生學(xué)習(xí)特點(diǎn)和困難，注重引導(dǎo)和啟發(fā)，讓學(xué)生盡早地更多地掌握數(shù)學(xué)的思想和方法。在課堂教學(xué)中盡可能把握微分幾何各種內(nèi)容之間的內(nèi)在聯(lián)系，揭示課程學(xué)習(xí)的主要問(wèn)題。把數(shù)學(xué)中的各種數(shù)學(xué)思想方法融合到教學(xué)方式和教訓(xùn)內(nèi)容中，激發(fā)學(xué)生的空間想象能力和對(duì)所學(xué)知識(shí)的領(lǐng)悟能力。微分幾何突出的是應(yīng)用微積分的原理去解決空間幾何問(wèn)題的一種方式，因此，在教學(xué)中要不斷回顧微積分所學(xué)知識(shí)的一般原理，引導(dǎo)學(xué)生整合有效的資源，循序漸進(jìn)地學(xué)習(xí)微分幾何的相關(guān)知識(shí)，提高個(gè)人的學(xué)習(xí)能力和思維能力。

3.2 加強(qiáng)有效的課堂教學(xué)互動(dòng)

通過(guò)有效地互動(dòng)的課堂教學(xué)，刺激學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。課堂上對(duì)于微分幾何知識(shí)和問(wèn)題的有效探討，可以調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，比如：針對(duì)空間基本三棱形得到的密切平面、法平面和從切平面，在求解各自方程時(shí)候，不僅要講解平面的平面的構(gòu)造，更要引導(dǎo)學(xué)生理解構(gòu)造的方式，即如何構(gòu)造，為什么要這樣構(gòu)造。只有理解這些問(wèn)題，然后進(jìn)行方程的推導(dǎo)，得到同一平面的不同的求解方程，促進(jìn)學(xué)生理解各類(lèi)方程的推導(dǎo)原理，而不是單純記憶相應(yīng)的公式。一方面，學(xué)生在互動(dòng)中理解了課堂內(nèi)容和求解問(wèn)題的方法，另一方面調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)微分幾何的積極性，提高了學(xué)生的理解能力。

3.3 注重學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)和啟發(fā)

在教學(xué)中要始終抓住基本概念、基本理論、基本方法和基本技巧，重視課堂互動(dòng)并引導(dǎo)學(xué)生分析問(wèn)題，注意培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立思考能力。結(jié)合以前所學(xué)的數(shù)學(xué)分析、解析幾何、復(fù)變函數(shù)以及中學(xué)所學(xué)知識(shí)（如平面幾何、立體幾何、平面解析幾何），引導(dǎo)學(xué)生比較與區(qū)別，促使學(xué)生將抽象的微分幾何知識(shí)滲透到其它數(shù)學(xué)知識(shí)中，從而起到啟發(fā)學(xué)生深入思考的效果。微分幾何主要有曲線論和曲面論兩大內(nèi)容，在教學(xué)中，要不斷引導(dǎo)學(xué)生注重在學(xué)習(xí)微分幾何知識(shí)的過(guò)程中，盡可能理解相關(guān)概念定義的來(lái)源及其構(gòu)造。面對(duì)眾多的知識(shí)點(diǎn)和方程、定理和公式，只有理解相關(guān)原理，才能有效把握這些問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，從而促進(jìn)真正有效的記憶。

參考文獻(xiàn)

[1] 梅向明，黃敬之.微分幾何[M].高等教育出版社， 2011： 39-40.

[2] 陳鼎興.數(shù)學(xué)思維與方法——研究式教學(xué)[M].南京：東南大學(xué)出版社，2011：61-62.