武 晨

(江蘇聯(lián)合職業(yè)技術(shù)學(xué)院南京分院，江蘇南京 210019)

帶有積分型邊值條件的n階邊值問題正解的存在性和唯一性

武 晨

(江蘇聯(lián)合職業(yè)技術(shù)學(xué)院南京分院，江蘇南京 210019)

本文主要考慮一個(gè)如下的n階邊值問題

u(n)(t)+λf(t,u)=0,t∈(0,1).

邊值條件為

其中，n≥2,λ為一個(gè)正參數(shù)。本文通過給出格林函數(shù)，利用復(fù)合單調(diào)算子定理得出上述邊值問題的存在性、唯一性結(jié)果。

積分型邊值條件；復(fù)合單調(diào)算子；格林函數(shù)

1 引言

非線性二階多點(diǎn)邊值問題正解的存在性因其廣泛的物理意義引起了眾多學(xué)者對(duì)其進(jìn)行研究[1-8].孔令軍[6]研究了如下更一般的帶有積分型邊值條件的二階奇異邊值問題：

其中，λ是一個(gè)正的參數(shù)，作者通過復(fù)合單調(diào)算子理論得到正解的存在性、唯一性結(jié)果.

眾所周知，帶有積分邊界條件的邊值問題不僅包含了兩點(diǎn)、三點(diǎn)邊值問題，而且可以更精確地描述許多重要的物理現(xiàn)象，如熱傳導(dǎo)、地下水流、化學(xué)工程等.對(duì)于帶有積分型邊值條件的二階或者三階邊值問題已經(jīng)有了很多結(jié)果，但對(duì)于帶有積分型邊值條件的高階邊值問題的研究結(jié)果相對(duì)較少.受以上文獻(xiàn)的啟發(fā)，筆者研究如下的n階奇異邊值問題：

其中，n≥2,λ>0是一個(gè)正參數(shù)，f:(0,1)×(0,+)→[0,+)是連續(xù)函數(shù)，ξ(s)和η(s)非減，(1.2)中的積分是Riemann-Stieltjes型積分,非線性項(xiàng)f(t,x)允許在t=0,1和x=0時(shí)奇異.邊值問題(1.1)(1.2)的正解，是指存在函數(shù)u∈C1[0,1]∩Cn(0,1)，使得當(dāng)t∈(0,1)時(shí)有u(t)>0成立，且u(t)滿足(1.1)和(1.2).

2 一些定義和引理

這里給出本文中需要用到的一些定義和引理，為了方便起見，定義如下記號(hào)：

(2.1)

(2.2)

(2.3)

容易驗(yàn)證M≥m≥0.在本文中假設(shè)如下條件成立：

(H1)M<1；

(H3)f(t,x)=w(t)(g(x)+h(x))，其中w:(0,1)→[0,+∞)為連續(xù)函數(shù)，g:[0,+∞)→[0,+∞)為連續(xù)非減函數(shù)，h:(0,+∞)→[0,+∞)為連續(xù)非增函數(shù)；

(H4)存在α∈(0,1)，使得g,h滿足：

g(kx)≥kαg(x).

(2.4)

h(k-1x)≥kαh(x).

(2.5)

而且當(dāng)k∈(0,1)，x>0時(shí)，更進(jìn)一步地滿足：

(2.6)

對(duì)任意固定的λ>0，記常數(shù)Cλ>1，使得：

(2.7)

令

(2.8)

引理2.1[4]對(duì)任何y(t)∈C[0,1]，邊值問題

有唯一解：

(2.9)

引理2.2[4]邊值問題

對(duì)應(yīng)的格林函數(shù)為：

(2.10)

且格林函數(shù)G(t,s)滿足：

(2.11)

引理2.3 假設(shè)g∈L(0,1)，則方程u(n)(t)+g(t)=0,t∈(0,1)，對(duì)應(yīng)邊值問題(1.2)有唯一解：

(2.12)

因此，該邊值問題的唯一解可以表示為：

(2.13)

(2.14)

引理2.5 假設(shè)(H1)成立，對(duì)于u∈X，f(·,u(.))∈L(0,1),u(t)是邊值問題(1.1)(1.2)的解,當(dāng)且僅當(dāng)u(t)是積分方程(2.14)的解.

為了證明定理，需要如下的復(fù)合單調(diào)算子的定義和引理.

定義2.1[7]假設(shè)T:Pe(λ)×Pe(λ)→Pe(λ)，則T(x,y)對(duì)于x是非減的，對(duì)于y是非增的，則稱T(x,y)是一個(gè)復(fù)合單調(diào)算子，即對(duì)于x1,x2,y1,y2∈Pe(λ)，有x1≤x2,y1≥y2?T(x1,y1)≤T(x2,y2)，如果對(duì)于u∈Pe(λ)有T(u,u)=u成立，稱u∈Pe(λ)是算子T的不動(dòng)點(diǎn).

引理2.6[7]假設(shè)T:Pe(λ)×Pe(λ)→Pe(λ)是一個(gè)復(fù)合單調(diào)算子，且存在α∈(0,1),使得T(ku,k-1v)≥kαT(u,v)，u,v∈Pe(λ)，k∈(0,1)，則T在Pe(λ)中有唯一的不動(dòng)點(diǎn).

3 主要結(jié)果

定理3.1 假設(shè)(H1)～(H4)成立，則對(duì)任何λ>0，邊值問題(1.1)(1.2)在Pe(λ)中有唯一的正解uλ(t).

g(x)≤xαg(1),x≥1.

(3.1)

g(k)≥kαg(1),k∈(0,1).

(3.2)

在(2.5)中，分別令x=1，x=k，有：

h(k-1)≥kαh(1),k∈(0,1).

(3.3)

h(k)≤k-αh(1),k∈(0,1).

(3.4)

對(duì)任何λ>0，u,v∈Pe(λ)，定義算子T:Pe(λ)×Pe(λ)→X，有：

(3.5)

由(H3)中g(shù)和h的單調(diào)性可知,Tλ是復(fù)合單調(diào)算子.

接下來將證明T:Pe(λ)×Pe(λ)→Pe(λ).令u,v∈Pe(λ),t∈[0,1]，則由(2.11)(3.5)和引理2.5可知：

由(2.1)(2.3)可知，

由(3.1)(3.4)可知：

(3.6)

(3.7)

則由(2.7)(3.6)和(3.7)有：

(3.8)

另一方面，由(2.11)(3.5)可知：

(3.9)

對(duì)于s∈[0,1]，由(2.1)(2.2)(2.3)可知：

由數(shù)學(xué)歸納法可知：

An(sn-1(1-s)n-1)≥mn,n=2,3,…,s∈(0,1).

從而由(3.9)可知：

由條件(H2)可知：

由(2.4)(3.2)和(3.3)，可知：

(3.10)

(3.11)

從而

(3.12)

由(3.8)(3.12)可知，T(Pe(λ)×Pe(λ))?Pe(λ).

對(duì)任何u,v∈Pe(λ),t∈[0,1],k∈(0,1)，由(2.4)(2.5)和(3.5)有：

(3.13)

這樣，引理2.6中所有條件就都滿足了，由引理2.6可知存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)uλ∈Pe(λ)，使得Tλ(uλ,uλ)=uλ，由(H3)(3.6)和(3.7)可知：

因此，f(·,uλ(.))∈L(0,1),由引理2.5可知，u(t)為邊值問題(1.1)(1.2)的唯一解.容易驗(yàn)證uλ(t)>0，t∈(0,1)，即uλ(t)就是邊值問題(1.1)(1.2)的唯一正解.

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The Existence and Uniqueness of Positive Solution for nth Order Boundary Value Problems With Integral Boundary Conditions

WU Chen

(Branch of Nanjing Jiangsu Union Technical Institute, Nanjing Jiangsu 210019,China)

integral boundary condition; mixed monotone operator; Green’s function

2016-04-19

武 晨(1985- )，男，講師，碩士，從事微分方程研究。

O175

A

2095-7602(2017)02-0001-07