東莞市第五高級中學(xué)(523287) 揭烽

“零點(diǎn)定界,特殊值定域”求解含絕對值的不等式

東莞市第五高級中學(xué)(523287) 揭烽

解含絕對值的不等式是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn),也是歷年各地高考的重要考點(diǎn).本人結(jié)合自己的教學(xué)經(jīng)驗(yàn),就含絕對值的不等式的解法作了一些思考,總結(jié)出用“零點(diǎn)定界,特殊值定域”來求解不等式的方法,希望能幫助更多的學(xué)生掌握不等式的解法.

零點(diǎn) 界 含絕對值的不等式

一、問題的提出

在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中,本人發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生在解含絕對值的不等式時(shí)經(jīng)常出現(xiàn)錯(cuò)誤,他們知道“分區(qū)間討論法”,但絕對值內(nèi)的式子取本身還是取相反數(shù)讓他們暈頭轉(zhuǎn)向,倘若要他們用“圖像法”畫出函數(shù)圖像解題或者利用“絕對值的幾何意義”來求解就更難了.究其原因是這些學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)比較薄弱,不等式的邏輯關(guān)系稍微復(fù)雜些就容易讓他們產(chǎn)生混亂,因此本人希望找到一個(gè)讓學(xué)生更容易掌握的方法求解含絕對值的不等式.解決線性規(guī)劃問題時(shí)畫可行域的口訣“線定界,點(diǎn)定域”給了我一個(gè)靈感,為何不教學(xué)生“零點(diǎn)定界,特殊值定域”求解含絕對值的不等式呢?

二、問題的思考

為什么可以用“零點(diǎn)定界,特殊值定域”求解含絕對值的不等式呢?在必修1學(xué)函數(shù)與方程的關(guān)系時(shí),我們得出結(jié)論：“方程f(x)=0有實(shí)數(shù)根??函數(shù)y=f(x)的圖像與x軸有交點(diǎn)??函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn)”.所以,當(dāng)y=f(x)的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線時(shí),零點(diǎn)附近一定區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)具有相同的不等關(guān)系,我們就可以用特殊值試出該區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)所具有的不等關(guān)系.

“零點(diǎn)定界,特殊值定域”的方法有著與“分區(qū)間討論法”和“圖像法”相通的地方,也蘊(yùn)藏著分類討論的思想,但它也有不同之處,例如這里所說的“零點(diǎn)”與“分區(qū)間討論法”中的分界點(diǎn)不同,它是整個(gè)不等式對應(yīng)函數(shù)的零點(diǎn),而不是指單個(gè)絕對值式子的零點(diǎn).

用“零點(diǎn)定界,特殊值定域”求解含絕對值的不等式的步驟可分為三步：(1)求零點(diǎn);(2)代特殊值;(3)選取區(qū)域.對于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生來說只需按步驟做題就行,可操作性強(qiáng),是一種容易掌握的方法.

三、“零點(diǎn)定界,特殊值定域”方法的應(yīng)用

(一)用“零點(diǎn)定界,特殊值定域”解|ax+b|≤c和|ax+b|≥c型不等式

例1 解不等式|3x-1|≤2

解析本題屬于容易題.用“零點(diǎn)定界,特殊值定域”求解,步驟如下：

(1)求零點(diǎn)：求出|3x-1|=2的兩根,即分別解方程

(2)代特殊值：

圖1

如圖,兩個(gè)根將數(shù)軸分成3個(gè)區(qū)域,我們分別在各個(gè)區(qū)域找特殊值代入原不等式看是否成立,例如：在區(qū)域①處選擇特殊值x=-1代入|3x-1|≤2,不成立;

在區(qū)域②處選擇特殊值x=0代入|3x-1|≤2,成立;

在區(qū)域③處選擇特殊值x=2代入|3x-1|≤2,不成立.

(3)選取區(qū)域：

由此可見,用“零點(diǎn)定界,特殊值定域”解|ax+b|≤c和|ax+b|≥c型不等式的過程雖然有些啰嗦,但并不復(fù)雜,而且它還避開了取“中間”還是“兩邊”的困難選擇,讓學(xué)生更容易求出不等式的解.

(二)用“零點(diǎn)定界,特殊值定域”解|x-a|+|x-b|≤c和|x-a|+|x-b|≥c型不等式

1.不等號右邊為0型

例2 (2011高考廣東,理9)不等式|x+1|-|x-3|≥0的解集是

解析(1)求零點(diǎn)：分別解方程(x+1)-(x-3)=0=?無解;(x+1)+(x-3)=0=?x=1;-(x+1)-(x-3)= 0=?x=1;-(x+1)+(x-3)=0=?無解

(2)代特殊值：

在區(qū)域①處選擇特殊值x=0代入|x+1|-|x-3|≥0,不成立;

在區(qū)域②處選擇特殊值x=2代入|x+1|-|x-3|≥0,成立.

圖2

(3)選擇區(qū)域：

區(qū)域②滿足要求,所以原不等式的解集為[1,+∞).

2.不等號右邊為非零常數(shù)型

例3 (2014高考廣東.理9)不等式|x-1|+|x+2|≥5的解集為

解析(1)求零點(diǎn)：分別解方程(x-1)+(x+2)=5=?x=2;(x-1)-(x+2)=5=?無解;-(x-1)+(x+2)= 5=?無解;-(x-1)-(x+2)=5=?x=-3.

(2)代特殊值：

圖3

在區(qū)域①處選擇特殊值x=-4代入|x-1|+|x+2|≥5,成立;

在區(qū)域②處選擇特殊值x=0代入|x-1|+|x+2|≥5,不成立;

在區(qū)域③處選擇特殊值x=3代入|x-1|+|x+2|≥5,成立.

(3)選擇區(qū)域：

區(qū)域① ③ 滿足要求,所以原不等式的解集為(-∞,-3]∪[2,+∞).

3.多重絕對值型

例4 (2016高考全國1,文24)選修4－5：不等式選講

已知函數(shù)f(x)=|x+1|-|2x-3|,(I)略;(II)求不等式|f(x)|＞1的解集.

解析(II)用“零點(diǎn)定域,特殊值定域”求不等式||x+1|-|2x-3||＞1的解集.

(1)求零點(diǎn)：分別解方程(x+1)-(2x-3)=1=?x=3; (x+1)+(2x-3)=1=?x=1;-(x+1)-(2x-3)=

(2)代特殊值：

圖4

在區(qū)域①處選擇特殊值x=0代入||x+1|-|2x-3||＞1,成立;

在區(qū)域③處選擇特殊值x=2代入||x+1|-|2x-3||＞1,成立;

在區(qū)域④處選擇特殊值x=4代入||x+1|-|2x-3||＞1,不成立;

在區(qū)域⑤處選擇特殊值x=6代入||x+1|-|2x-3||＞1,成立.

(3)選擇區(qū)域：

4.不等號右邊為函數(shù)型

例5 解不等式|x-1|+|2-x|＞x+3.

解析(1)求零點(diǎn)：分別解方程(x-1)+(2-x)=x+3=?x=-2;(x-1)-(2-x)=x+3=?x=6;-(x-1)+(2-x)=x+3=?x=0;-(x-1)-(2-x)=x+3=?x=-4.

經(jīng)檢驗(yàn),x=-2,x=-4并不是方程|x-1|+|2-x|=x+3的解,所以舍去.

(2)代特殊值：

圖5

在區(qū)域①處選擇特殊值x=-1代入|x-1|+|2-x|＞x+3,成立;

在區(qū)域②處選擇特殊值x=1代入|x-1|+|2-x|＞x+3,不成立;

在區(qū)域③處選擇特殊值x=7代入|x-1|+|2-x|＞x+3,成立.

(3)選擇區(qū)域：

區(qū)域① ③滿足要求,所以原不等式的解集為(-∞,0)∪(6,+∞).

四、結(jié)束語

本文探討了如何利用“零點(diǎn)定界,特殊值定域”來求解含絕對值的不等式,旨在幫助數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生求解含絕對值的不等式.“零點(diǎn)定界,特殊值定域”的三個(gè)步驟讓學(xué)生解題時(shí)思路清晰,有(方)法可依,提高了學(xué)生分析問題、解決問題的能力,希望更多的學(xué)生利用此方法順利解題.

[1]人民教育出版社數(shù)學(xué)室編著.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修1[M].北京：人民教育出版社,2007,1

[2]人民教育出版社數(shù)學(xué)室編著.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)選修4-5[M].北京：人民教育出版社,2007,1