胡勤

[摘要]建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論對(duì)高中數(shù)學(xué)概念的教學(xué)有啟發(fā)意義；情境是學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)概念的基礎(chǔ)，有效的情境作用發(fā)揮，需要從學(xué)生視角下去觀照，并在其中思考學(xué)生思維的順利性。

[關(guān)鍵詞]情境：數(shù)學(xué)概念：概念構(gòu)建

概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的基礎(chǔ)。因而概念教學(xué)向來就是高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究的重點(diǎn)與熱點(diǎn)。但是縱觀同行的研究成果。可以發(fā)現(xiàn)關(guān)于概念教學(xué)更多的是從教師教學(xué)的角度來研究的。這本沒有錯(cuò)。但是需要說明的是。學(xué)習(xí)畢竟是學(xué)生的一種自我過程。如果換一個(gè)角度。從學(xué)生學(xué)習(xí)的視角出發(fā)。他們?cè)诟拍顦?gòu)建的時(shí)候又會(huì)有著什么樣的心理過程呢？

有一點(diǎn)可以肯定的是。學(xué)生在數(shù)學(xué)概念構(gòu)建的過程中會(huì)受到多個(gè)因素影響。解釋學(xué)生概念構(gòu)建的理論也不止一個(gè)。從建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論的視角來看。情境在其中發(fā)揮著重要的作用。關(guān)于建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論。國(guó)內(nèi)課程專家尤其是一些數(shù)學(xué)課程專家提出了不同的見解。但在筆者看來。用建構(gòu)主義最基本的理論來解釋學(xué)生的概念形成。還是說得通的。尤其是情境在學(xué)生概念構(gòu)建的過程中。確實(shí)發(fā)揮著重要的作用。本文嘗試從學(xué)生的視角。來研究情境對(duì)于學(xué)生的概念構(gòu)建所起到的促進(jìn)作用。并嘗試對(duì)其機(jī)制做出解釋。

情境在高中生數(shù)學(xué)概念構(gòu)建過程中的作用例析

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為。學(xué)生的學(xué)習(xí)是一個(gè)主動(dòng)建構(gòu)的過程。在這個(gè)過程中情境起到一個(gè)基礎(chǔ)性、輔助性的作用，筆者關(guān)心的是這種作用是如何發(fā)揮的。于是在實(shí)際教學(xué)中常常結(jié)合有關(guān)教學(xué)案例進(jìn)行研究。也取得了一些淺顯的認(rèn)識(shí)。下面以“異面直線的距離”教學(xué)為例。談?wù)劰P者的思考。

“異面直線的距離”是高中數(shù)學(xué)中立體幾何的基本內(nèi)容。從概念本身來說。這個(gè)概念的學(xué)習(xí)似乎并不困難。因?yàn)橹灰獙W(xué)生在異面、異面直線、距離等概念有了基本理解的基礎(chǔ)上。似乎就可以自然構(gòu)建出異面直線距離的概念?？墒聦?shí)證明。如果數(shù)學(xué)教師的認(rèn)識(shí)停留在這種所謂的自然的邏輯基礎(chǔ)上。那對(duì)于相當(dāng)一部分學(xué)生的學(xué)習(xí)過程來說。實(shí)際上是忽視了概念建構(gòu)過程的復(fù)雜性。反之。如果從學(xué)生的角度來看，那么可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生構(gòu)建此概念是否成功。關(guān)鍵看教師創(chuàng)設(shè)的情境如何。

如果忽視了情境的創(chuàng)設(shè)。那么情形又當(dāng)如何？在筆者針對(duì)由傳統(tǒng)教學(xué)方式進(jìn)行教學(xué)的學(xué)生調(diào)查中發(fā)現(xiàn)。學(xué)生在缺乏情境的情況下。構(gòu)建異面直線的距離的過程是非常抽象的。甚至相當(dāng)一部分學(xué)生是非常生硬的。但是這里面又有一部分學(xué)生，尤其是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好、數(shù)學(xué)思維能力較強(qiáng)的學(xué)生在構(gòu)建此概念時(shí)。又顯得比較簡(jiǎn)單。這其中的差異在哪里？通過比較之后筆者發(fā)現(xiàn)，其實(shí)關(guān)鍵就出在情境上。數(shù)學(xué)思維能力強(qiáng)的學(xué)生。能夠自然地在思維中調(diào)動(dòng)出以往學(xué)過的點(diǎn)與點(diǎn)的距離、點(diǎn)與線的距離、點(diǎn)與面的距離等知識(shí)。然后自動(dòng)地將這些知識(shí)遷移到異面直線的距離上來。這樣在理解教師所講授的概念的時(shí)候。思維就不會(huì)遭遇太多的復(fù)雜性。相反。學(xué)習(xí)此概念過程困難的學(xué)生。恰恰就是在調(diào)動(dòng)之前學(xué)過的這些概念的時(shí)候。不會(huì)出現(xiàn)一個(gè)自動(dòng)化的情形?；蛘呒词褂袑W(xué)生能夠想到。但由于遷移能力的缺乏。最終的建構(gòu)也并不成功。

后來的教學(xué)中。筆者嘗試將這種有效思維過程情境化。筆者在教學(xué)的時(shí)候主要進(jìn)行了三個(gè)步驟：第一步，跟學(xué)生一起回憶曾經(jīng)學(xué)過的點(diǎn)與點(diǎn)、線、面的距離，并用一個(gè)紅色粉筆頭表示那個(gè)點(diǎn)，用藍(lán)色粉筆頭、一根藍(lán)色棉線、黑板分別表示另外三個(gè)對(duì)象。然后用一根紅色的棉線表示三個(gè)距離。這樣。學(xué)生的思維就由抽象轉(zhuǎn)向了形象。學(xué)生在加工距離這個(gè)關(guān)鍵概念的時(shí)候。就有了一個(gè)清晰的思維加工對(duì)象。從而就可以讓“距離就是兩個(gè)對(duì)象之間的最短線段”的表象進(jìn)一步清晰化。第二步。給學(xué)生呈現(xiàn)異面直線。然后讓學(xué)生思考如何確定異面直線之間的距離。這個(gè)問題對(duì)于學(xué)生的思維加工來說。起到了任務(wù)驅(qū)動(dòng)的作用。于是學(xué)生此時(shí)就能夠自然調(diào)用剛剛復(fù)習(xí)過的距離概念。并嘗試遷移到這個(gè)新的情境中來。學(xué)生會(huì)自然思考：兩條異面直線之間最短的線段在哪里呢？第三步。學(xué)生會(huì)通過“嘗試-出錯(cuò)-嘗試-正確”的途徑。利用兩支筆模擬異面直線。再加上第三支筆表示距離。由邏輯上的證實(shí)或者證偽。發(fā)現(xiàn)在兩條異面直線之間。只存在一個(gè)最短的距離此時(shí)再調(diào)用“距離都是垂直線段”的先前知識(shí)。就可以順利地得到異面直線間的距離。并進(jìn)行理論描述。于是概念也就順利地形成了。

在這個(gè)過程中?？梢钥吹竭@種思路之所以取得了大面積且高效的教學(xué)成功。關(guān)鍵在于情境起到了作用。這里情境發(fā)揮作用的過程主要有二：一是基礎(chǔ)性部分，即實(shí)物模擬部分；二是關(guān)鍵部分，即在基礎(chǔ)部分的基礎(chǔ)上。通過學(xué)生的思維加工。在頭腦中形成異面直線及兩者之間距離的表象。然后再順利過渡到語(yǔ)言描述階段。這樣。這個(gè)概念在學(xué)生的思維中不僅是以語(yǔ)言形式存在的。還有具體表象作為支撐。因而概念的牢固性就得到了保證。

學(xué)生視角下概念形成所需要的有效途徑的梳理

基于以上分析。可以大致梳理出情境在學(xué)生概念構(gòu)建過程中發(fā)揮作用的一般途徑。通常情況下。應(yīng)當(dāng)包括如下幾個(gè)要點(diǎn)：

其一。需要有效調(diào)動(dòng)學(xué)生之前學(xué)習(xí)過的更為基本的概念。高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中。任何概念都是建立在原先更為基本的概念基礎(chǔ)之上的。這相當(dāng)于上位概念與下位概念的關(guān)系。因此概念情境的創(chuàng)設(shè)。要盡量能夠調(diào)用學(xué)生原來的這些概念。上面的例子中，點(diǎn)與點(diǎn)、線、面的距離的“物化”過程就是情境中不可缺少的重要元素。

其二。概念構(gòu)建的情境一般需要一個(gè)“物化”的過程。所謂物化過程。就是將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)用具體事物來表示的過程上面的例子中?！熬嚯x”原本是抽象的。盡管學(xué)生此前學(xué)習(xí)過。但并不意味著他們此時(shí)的表象就是清晰的。因此，用具體的物體來表示點(diǎn)、線、面是必需的。因?yàn)橹挥羞@樣。學(xué)生的思維加工才不至于過于吃力。而在此基礎(chǔ)上學(xué)生關(guān)于距離的表象也才是清晰的。這樣學(xué)生的思維或者說精力。才能夠完全集中在新概念的構(gòu)建上。

其三。在情境中構(gòu)建數(shù)學(xué)概念。實(shí)際上是能力遷移之下新概念的形成過程。上面的例子中。由于學(xué)生在具體的情境中復(fù)習(xí)了“距離”。并在新情境中遇到了新的“問題”。于是原先形成的能力自然就在新問題的驅(qū)動(dòng)之下。激活了學(xué)生新的思維。這就是一個(gè)知識(shí)與能力的遷移。應(yīng)當(dāng)說，前面的情境越具體。學(xué)生形成的表象越清晰。那學(xué)生在構(gòu)建新概念的時(shí)候就會(huì)越順利。

其四。情境化背景下數(shù)學(xué)概念的構(gòu)建需要形成一種直覺。高中數(shù)學(xué)概念很多。但學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的方法卻存在著一定的規(guī)律。如果學(xué)生能夠掌握這種規(guī)律。那么在學(xué)習(xí)這些概念的時(shí)候就會(huì)有事半功倍的效果事實(shí)上。如果更多的學(xué)生能夠自覺地自我創(chuàng)設(shè)情境。那他就能夠生成一種直覺能力。從而可以讓自己超越情境的物化層面。直接在思維中構(gòu)建相應(yīng)的虛擬情境。從而完成概念的構(gòu)建。在傳統(tǒng)教學(xué)中概念學(xué)習(xí)效果較好的學(xué)生。常常就具有這種能力。

當(dāng)然。這樣的梳理更多的還是停留在宏觀層面。具體到不同的數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)過程中。其又需要更為細(xì)致的情境創(chuàng)設(shè)要求。最簡(jiǎn)單的。比如說在“復(fù)數(shù)”概念的教學(xué)中。這樣的物化情境就比較難以創(chuàng)設(shè)。這個(gè)時(shí)候情境所能發(fā)揮作用的機(jī)制。更多的就要靠邏輯來實(shí)現(xiàn)比如說。教師可以跟學(xué)生梳理數(shù)集從正整數(shù)到自然數(shù)。再到有理數(shù)。再到實(shí)數(shù)的擴(kuò)充過程。然后提出負(fù)數(shù)無法開平方的問題。以打破學(xué)生的認(rèn)知平衡。這樣的過程。實(shí)際上也是在創(chuàng)設(shè)學(xué)生的思維情境。以讓問題驅(qū)動(dòng)新的概念生成。本質(zhì)上是符合上述四個(gè)途徑的。但具體表現(xiàn)有所不同。

情境在概念構(gòu)建過程中發(fā)揮作用的要點(diǎn)羅列

情境固然是學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)概念的重要基礎(chǔ)。但情境也并非萬(wàn)能的。又或者說情境并不是單槍匹馬地發(fā)揮作用。其也需要其他因素的配合?；蛘哒f情境本身也是配合其他因素的?？傊?。學(xué)生成功地構(gòu)建概念才是王道?；谶@樣的認(rèn)識(shí)。筆者以為在利用情境促進(jìn)學(xué)生概念構(gòu)建的時(shí)候要注意如下幾個(gè)要點(diǎn)：

第一。堅(jiān)持學(xué)生視角。概念是怎樣構(gòu)建的。學(xué)生的學(xué)習(xí)過程而不是參考書或者其他所謂的教學(xué)案例。最能給教學(xué)提供參考依據(jù)。筆者在高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中。特別重視了解學(xué)生是怎樣想的。尤其是看學(xué)生在構(gòu)建過程中出現(xiàn)的偏差是不是普遍現(xiàn)象。一旦這個(gè)問題得到證實(shí)。那么在下一個(gè)數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中。就需要進(jìn)一步加工情境。以使學(xué)生有效地規(guī)避或者解決這個(gè)問題

第二。堅(jiān)持?jǐn)?shù)學(xué)特征。數(shù)學(xué)是理性的學(xué)科，在課程改革當(dāng)中。我們看到很多熱鬧但沒有數(shù)學(xué)味的課堂。最直接的體現(xiàn)就是數(shù)學(xué)概念的形成。完全是聲光電的產(chǎn)物。忽視了數(shù)學(xué)概念原本應(yīng)當(dāng)具有的邏輯思維特征。因此。情境歸根到底只是輔助學(xué)生思維的手段。數(shù)學(xué)思維才是概念構(gòu)建過程中需要重視的。

第三。堅(jiān)持情境的有效性。數(shù)學(xué)概念構(gòu)建過程中。情境不在于多有趣。而在于能夠激發(fā)學(xué)生的有效思維。尤其是有一些虛擬情境不可忽視只要讓學(xué)生的腦子動(dòng)起來。這樣的情境就成功了一半。如果情境還能夠讓學(xué)生的思維更順利。那這樣的情境就是很好的情境了。顯然。這樣的情境并不依賴于外在表現(xiàn)是多么的熱鬧。而應(yīng)當(dāng)從學(xué)生的思維的順利與否判斷其有效性。

總之。高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中。情境作用的發(fā)揮需要從學(xué)生視角進(jìn)行觀照。需要從學(xué)生的思維過程進(jìn)行判斷。這樣才能真正把握情境在數(shù)學(xué)概念構(gòu)建過程中的真正作用。