付連剛

【摘要】數(shù)列求和問題是高中數(shù)學(xué)的重要知識內(nèi)容，求和方法復(fù)雜多變，培養(yǎng)同學(xué)們熟練的運(yùn)用這些方法是教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)。筆者作為一名高中數(shù)學(xué)教師，根據(jù)多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，在本文中淺談了幾點(diǎn)對數(shù)列求和知識進(jìn)行高效解讀的教學(xué)策略，具有一定的參考意義。

【關(guān)鍵字】高中數(shù)學(xué)；數(shù)列；求和；轉(zhuǎn)化

中圖分類號：G633.6

數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，其應(yīng)用在高考中占有重要的地位，考察了同學(xué)們的邏輯思維能力、推理能力、謹(jǐn)慎性以及靈活性。筆者作為教學(xué)中的主導(dǎo)，在教學(xué)過程中引導(dǎo)同學(xué)們探究數(shù)列求和的技巧與關(guān)鍵，促進(jìn)教學(xué)目標(biāo)高效的完成。

一、疊加疊乘，引導(dǎo)轉(zhuǎn)化

數(shù)列求和有很多求解的方法，包括倒序相加法、拆項(xiàng)重組法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、疊加法、疊乘法等等。為了深化同學(xué)們對每一種求和方法的應(yīng)用，在教學(xué)時(shí)可以開展專題性的講解，本文以疊加疊成這一專題教學(xué)為例，重點(diǎn)進(jìn)行探討。

在數(shù)列的學(xué)習(xí)中，等差數(shù)列與等比數(shù)列是可以直接根據(jù)公式進(jìn)行運(yùn)算的，借助公式能夠使運(yùn)算變得非常簡單。對于一些特殊的數(shù)列，同學(xué)們通過疊加或疊乘這樣轉(zhuǎn)化，能夠?qū)⑦f推數(shù)列轉(zhuǎn)化為可以直接應(yīng)用公式的等差或等比數(shù)列，或一些求和簡單的數(shù)列，根據(jù)其通項(xiàng)公式進(jìn)行求解。然而同學(xué)們總是不能避免走一些彎路，沒有進(jìn)行正確轉(zhuǎn)化，造成運(yùn)算非常復(fù)雜，解題思路不對。因此，我通過讓同學(xué)們練習(xí)一系列的求和問題，去領(lǐng)悟運(yùn)用疊加疊乘的方法及相關(guān)類型數(shù)列的特點(diǎn)。例如，已知a1=1，an+1=an+2n，求數(shù)列的和Sn。對于這道問題，直接利用遞推公式求解Sn是非常困難的。首先應(yīng)當(dāng)根據(jù)遞推公式求出an的通項(xiàng)公式，這里就用到的是疊加法。由遞推公式可得a2-a1=2，a3-a2=2*2，a4-a3=2*3，……，an-an-1=2n-1，將這n-1個(gè)式子相加可得an=1+2+2*2+2*3+……2n-1，化簡得到an=1+2（1+2+3+……n-1）= n（n-1）+1=n2-n+1。Sn=（12+22+32+ ……+n2）-（1+2+3+……+n）+n=n（n+1）（n+2）/6-n（1+n）/2+n，得解。通過對若干運(yùn)用累加法求和問題，我引導(dǎo)同學(xué)們?nèi)ヌ骄靠偨Y(jié)其中的規(guī)律，最終同學(xué)們發(fā)現(xiàn)，對于an+1=an+f（n）這種形式的遞推數(shù)列，應(yīng)當(dāng)通過疊加法求其通項(xiàng)公式，當(dāng)f（n）是一個(gè)常數(shù)時(shí)，數(shù)列是等差數(shù)列。同樣的方式，我再引導(dǎo)同學(xué)們進(jìn)一步探究疊乘法的應(yīng)用。

在上述教學(xué)活動(dòng)中，我通過展開專題講解，引導(dǎo)同學(xué)們?nèi)ド钊胩骄棵恳环N求和的方法，有助于促進(jìn)同學(xué)們扎實(shí)基礎(chǔ)，落實(shí)基本功，從而靈活的運(yùn)用這些方法解決綜合性問題，提高解決問題的能力。

二、自行編纂，凸顯層次

教師的教學(xué)要注重層次性，每個(gè)同學(xué)的理解能力有高有低，對知識的吸收程度不同，因此教師在讓同學(xué)們進(jìn)行習(xí)題練習(xí)時(shí)，也要注重層次性，從易到難，從淺到深，使不同層次的學(xué)生都有所收獲。

比如，我通過自行編纂習(xí)題，充分注意題目的難易程度，使同學(xué)們一步一步的獲得能力提升。最開始我會(huì)要求同學(xué)們能夠充分的理解與運(yùn)用等比數(shù)列及等差數(shù)列的公式，嚴(yán)格遵守公式應(yīng)用的條件。例如在求等比數(shù)列的和時(shí)，如果公比不是一個(gè)已知的常數(shù)，那么同學(xué)們在求和時(shí)一定要分為公比為1和公比不是1這兩種情況。接下來同學(xué)們需要學(xué)會(huì)通過進(jìn)行一定的變形進(jìn)而應(yīng)用等比數(shù)列或等差數(shù)列的求和公式求解。例如一些數(shù)列既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，但是通過將數(shù)列進(jìn)行適當(dāng)?shù)牟鸱?，可以分為幾個(gè)等差數(shù)列、等比數(shù)列或者常見的數(shù)列，這種方法即為分組求和法，是比較簡單的變形。其次還有錯(cuò)位相減求和這一方法，同學(xué)們通過設(shè)置錯(cuò)位，相減之后得到一個(gè)等式，等式一邊是含有Sn這一參數(shù)的簡單式子，通常為（1-x）Sn，等式右邊可以利用等比數(shù)列求和公式進(jìn)行化簡，最終得到Sn。接下來同學(xué)們需要掌握一些復(fù)雜的變形求和，例如裂項(xiàng)相消法的運(yùn)用。

在上述教學(xué)活動(dòng)中，我通過有層次性和遞進(jìn)性的開展教學(xué)內(nèi)容，使不同水平的同學(xué)都盡可能的學(xué)到知識，水平低的同學(xué)可以掌握求和的基本方法，會(huì)求解簡單例題，而水平高的同學(xué)在教學(xué)中不斷地獲得提升，很大程度上提高了課堂的效率。

三、高度預(yù)見，對癥下藥

根據(jù)歷年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，教師是可以預(yù)見性的估計(jì)同學(xué)們可能會(huì)出現(xiàn)問題，發(fā)現(xiàn)那些知識是同學(xué)們的薄弱之處。教師通過有針對性的對癥下藥進(jìn)行設(shè)計(jì)，可以有效的促進(jìn)同學(xué)們攻克重點(diǎn)難點(diǎn)，提高數(shù)學(xué)知識水平。

比如，在對數(shù)列的求和問題進(jìn)行教學(xué)時(shí)，我發(fā)現(xiàn)同學(xué)們對數(shù)列的性質(zhì)掌握的并不是很好，經(jīng)常會(huì)混淆。為了使同學(xué)們充分的吸收這部分知識，我對癥下藥，就這部分知識有針對性的進(jìn)行了備課，以幫助同學(xué)們有效的梳理。我首先出了一道典型例題讓同學(xué)們自主解答，例如，等差數(shù)列的{an}的前m項(xiàng)和為30，前2m項(xiàng)和為100，求它的前3m項(xiàng)和。通過觀察同學(xué)們的解題過程，我發(fā)現(xiàn)有部分同學(xué)果然按我所預(yù)計(jì)的，將通項(xiàng)性質(zhì)與前n項(xiàng)和的性質(zhì)混淆了。我采用不點(diǎn)名的方式將其錯(cuò)誤答案在黑板上板書出來，讓同學(xué)們來分析一下錯(cuò)誤之處。錯(cuò)誤答案如下：由于Sm，S2m，S3m成等差數(shù)列，所以2S2m=Sm+S3m，S3m=2*100-30=170。同學(xué)們紛紛回答是錯(cuò)的，Sm，S2m，S3m并不成成等差數(shù)列。我對同學(xué)們說 ：“那同學(xué)們能用具體的數(shù)據(jù)告訴我為什么不成等差數(shù)列嗎？”同學(xué)們是通過舉例的方法說明了這一問題，Sm=m（a1+am）d/2，S2m= 2m（a1+a2m）d/2，S3m=3m（a1+a3m）d/2，給m、d、a1賦予具體的數(shù)值可以計(jì)算出三者并不成等差數(shù)列。我繼續(xù)提問：“那么這道題應(yīng)該怎么做呢？”同學(xué)們回答到，Sm，S2m-Sm，S3m- S2m成等差數(shù)列，公比為m2d，所以2（S2m-Sm）= Sm+S3m- S2m，代入數(shù)值得S3m=210。為了讓同學(xué)們都能深入的理解這一性質(zhì)，我引導(dǎo)同學(xué)們再一次證明了 Sm，S2m-Sm，S3m- S2m為何成等差數(shù)列，以及公差的公式，有助于同學(xué)們對其產(chǎn)生更深的記憶。

在上述教學(xué)活動(dòng)中，我通過設(shè)計(jì)問題，讓同學(xué)們先出現(xiàn)錯(cuò)誤，然后對其進(jìn)行針對性的講解與指導(dǎo)，使同學(xué)們意識到求和問題的關(guān)鍵，從而產(chǎn)生更深的理解與認(rèn)識，高效的達(dá)成了教學(xué)目標(biāo)。

綜上所述，教師在教學(xué)過程中，通過對重點(diǎn)的求和方法進(jìn)行專題講解、選配具有層次性的典型例題進(jìn)行訓(xùn)練、對可能出現(xiàn)的問題進(jìn)行針對性的設(shè)計(jì)等策略，能夠有效的提高教學(xué)效率，讓同學(xué)們更好的吸收和運(yùn)用數(shù)列求和的知識，實(shí)現(xiàn)高效的數(shù)學(xué)課堂。

參考文獻(xiàn)：

[1]岳玉科.《數(shù)列求和》教學(xué)案例談新教材的有效研究探索[J].昭通師范高等專科學(xué)校學(xué)報(bào)，2011（S1）.

[2]王英任.關(guān)于數(shù)列求和問題的方法和技巧[J].河南教育學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2002（01）.