王義偉,王月媛,胡建民

(哈爾濱師范大學)

*黑龍江省高等學校教改工程項目(SJGY20170198);黑龍江省高等教育學會教育科研課題重點項目(16Z040)

0　引言

固體原子間的相互作用勢能是固體物理學晶體結(jié)合教學的重要內(nèi)容，由雙原子模型確定的相互作用勢能表示為[1]

(1)

目前，關(guān)于雙原子分子勢能函數(shù)的研究工作大體上可分為三方面.首先，為進一步提高雙原子分子勢能函數(shù)精度，Wei H[2]、胡旭光[3]和于長豐[4]等學者分別在(1)式的基礎上構(gòu)造了四參數(shù)和六參數(shù)雙原子勢能函數(shù).其次是關(guān)于雙原子分子勢能函數(shù)研究的分析和評述工作.羅旋等學者[5]針對金屬和半導體討論原子間相互作用勢函數(shù)的應用范圍，而劉國躍[6]根據(jù)雙原子分子勢能函數(shù)發(fā)展過程中存在的主要問題提出其未來發(fā)展趨勢.再次是關(guān)于雙原子分子勢能函數(shù)基本性質(zhì)的研究.蔣亞靜[7]針對線性和非線性諧振子模型研究理想雙原子分子勢能的基本性質(zhì)；鄭瑞倫[8]研究原子相互作用勢能和原子振動非簡諧效應對固體彈性模量的影響，結(jié)果表明第一非簡諧系數(shù)的存在使體系的彈性模量增大.綜上所述，上述研究成果為固體物理教學和科學研究提供了很好的理論依據(jù)和參考.在雙原子模型的基礎上深刻理解勢能函數(shù)的基本性質(zhì)是固體物理教學的重要內(nèi)容， 勢能函數(shù)展開項產(chǎn)生的簡諧效應和非簡諧效應直接影響固體的諸多物理化學性質(zhì)，所以分析相互作用勢能參數(shù)及其展開項對勢能函數(shù)的影響進而揭示固體基本性質(zhì)的變化規(guī)律對于固體物理教學和科技工作者進行材料設計和性能分析都具有重要的理論指導意義.然而，關(guān)于雙原子模型勢能參數(shù)和勢能函數(shù)展開項對勢能函數(shù)基本性質(zhì)的影響規(guī)律均未見報導.在材料的研究和制造的工作當中，如果觀察隨勢能函數(shù)中各參數(shù)變化，影響材料性的變化，可以更好的控制材料的性能.

該文通過分析原子間相互作用勢能研究勢能參數(shù)和勢能展開項對勢能函數(shù)的影響，揭示原子平衡間距、抗張強度和彈性模量等基本性質(zhì)變化的基本規(guī)律，旨在為固體物理教學和相關(guān)科技工作者提供直觀的物理圖像和基本的理論分析依據(jù).

1　原間相互作用勢能函數(shù)基本參數(shù)

圖1 　原子間相互作用力與原子間相互作用勢能對比圖

為直觀分析勢函數(shù)中的吸引能指數(shù)m和排斥能指數(shù)n對相互作用勢能和相互作用力的影響，該文分別取吸引能系數(shù)和排斥能系數(shù)為定值a=3和b=1.圖2和圖3分別為吸引能指數(shù)和排斥能指數(shù)取不同值時相互作用勢能和相互作用力隨原子間距離變化的關(guān)系曲線.

圖2 　吸引能指數(shù) m對相互作用勢能和力的影響

圖3　排斥能指數(shù)n對相互作用勢能和力的影響

抗張強度和彈性模量是反映晶體性質(zhì)的兩個重要力學參量.其中，抗張強度為晶體所能負荷的最大張力，如果負荷超過抗張強度晶體就會發(fā)生斷裂.在一維情況下抗張強度表示為

(2)

由(2)式可知，抗張強度就是理論斷裂點處對應的最大相互作用力.彈性模量等于壓縮系數(shù)的倒數(shù)，在一維情況下表示為

(3)

由(3)式可見，彈性模量與相互作用力曲線在平衡位置處的斜率成正比.

首先，由圖2可見，原子間相互作用勢能和作用力曲線均隨吸引能指數(shù)m的增加發(fā)生較明顯的變化.原子平衡間距隨吸引能指數(shù)m的增加而縮短，其根本原因是隨吸引能指數(shù)的增加，在原子間距一定的情況下相互作用力表現(xiàn)為引力，從而在達到新的平衡狀態(tài)后原子平衡間距縮短.其次，隨著吸引能指數(shù)m的增大，原子間相互作用力的極值點下降說明體系的抗張強度增大；此外，原子間相互作用力曲線在平衡間距處的斜率增大.由于曲線斜率變化明顯大于平衡間距的變化從而導致體系的彈性模量增大.

由圖3可見，相互作用勢能和作用力曲線均隨著排斥能指數(shù)n的增大發(fā)生明顯變化.隨著排斥能指數(shù)n的增加，原子平衡間距增長，相互作用力極值點下降，原子間相互作用力曲線斜率增大，同樣說明體系的抗張強度和彈性模量增大.此外，原子平衡間距隨排斥能指數(shù)n的增加而變長的原因是在原子間距一定的情況下相互作用力表現(xiàn)為斥力，從而在達到新的平衡狀態(tài)后導致原子平衡間距變長.

為直觀分析勢函數(shù)中的吸引能系數(shù)a和排斥能系數(shù)b對相互作用勢能和相互作用力的影響，該文分別取吸引能指數(shù)和排斥能指數(shù)為定值m=1和n=3.圖4和圖5分別是吸引能系數(shù)a和排斥能系數(shù)b取不同值時相互作用勢能和相互作用力隨原子間距離變化的關(guān)系曲線.首先由圖4可見，相互作用勢能和相互作用力曲線均隨吸引能系數(shù)a的增加而下降，原子平衡間距縮短，原子間相互作用力曲線在平衡間距處的斜率增大.上述變化說明體系的抗張強度和彈性模量均隨吸引能系數(shù)a的增加而變大.原子平衡間距隨吸引能系數(shù)a的增加而縮短的原因類同圖2的相應解釋.其次由圖5可見，相互作用勢能和相互作用力曲線均隨排斥能系數(shù)b的增加而上升，原子平衡間距變長，原子間相互作用力曲線在平衡間距處的斜率減小.上述變化說明體系的抗張強度和彈性模量隨排斥能系數(shù)b的增加而減小.原子平衡間距隨排斥能系數(shù)a的增加而變長的原因類同圖3的相應解釋.

圖4　吸引能系數(shù)對相互作用勢能和力和的影響

圖5　排斥能系數(shù)對相互作用勢能和力的影響

2　原子間相互作用勢能展開項

針對雙原子模型取兩原子間的相對位移為x.平衡狀態(tài)下以其中一個原子為坐標原點，另一個原子位置在r0處，原子發(fā)生振動產(chǎn)生位移后的位置為r=r0+x.為揭示原子間相互作用勢能的內(nèi)在物理意義通常將原子相互作用勢能在平衡位置處按泰勒級數(shù)展開為[9]

(4)

展開式(4)中第一項為常數(shù)，第二項為零，第三項為偶次項也稱為簡諧項，第四項為奇次項也稱為非簡諧項.在只考慮簡諧項而忽略非簡諧項的情況下，可通過牛頓運動方程求解晶格振動的基本規(guī)律進而解釋固體的熱熔問題，而只有在考慮非簡諧項的情況下才能解釋固體的熱膨脹現(xiàn)象.

為直觀反映各展開項對相互作用勢能的影響，該文分別給出(4)式中考慮不同展開項時相互作用勢能曲線的變化規(guī)律，如圖6所示.圖6中曲線1表示由(1)式進行泰勒展開前的相互作用勢能曲線，曲線2為(4)式中考慮二次項而忽略更高次項情況下的相互作用勢能函數(shù)曲線，曲線3為(4)式中考慮三次項而忽略更高次項情況下的相互作用勢能函數(shù)曲線，以此類推得到曲線4～曲線8.由圖6可見，隨著展開項項數(shù)的增加，相互作用勢能的極值和原子平衡間距不變，平衡間距左側(cè)的勢能曲線斜率增大并逐漸接近展開前的勢能曲線.首先，相互作用勢能的極值和原子平衡間距不隨展開項項數(shù)變化，說明展開項項數(shù)的增加不改變體系的平衡狀態(tài).此外，平衡間距左側(cè)的勢能曲線斜率增大意味著體系的彈性模量增大并逐漸逼近真實值，這說明利用勢能展開式討論固體性質(zhì)是要依據(jù)所討論問題的需要對展開項進行合理取舍.最后，由圖6可見，雖然平衡間距右側(cè)的勢能曲線隨展開項項數(shù)的增加變化懸殊，但最終趨勢還是逐漸逼近展開前的勢能曲線.

圖6　不同展開項項數(shù)情況下的雙原子相互作用勢能曲線

3　結(jié)論

該文通過研究雙原子模型原子間相互作用勢能參數(shù)和勢能展開項對相互作用勢能及相互作用力的影響，揭示原子平衡間距、抗張強度和彈性模量等基本性質(zhì)變化的基本規(guī)律.研究結(jié)果表明，隨相互作用勢能參數(shù)即吸引能指數(shù)、排斥能指數(shù)、吸引能系數(shù)和排斥能系數(shù)的增大以及勢能展開項項數(shù)的增加，相互作用勢能和相互作用力曲線均發(fā)生明顯變化.首先，原子平衡間距隨吸引能指數(shù)和吸引能系數(shù)的增大而縮短，隨著排斥能指數(shù)和排斥能系數(shù)的增大而加長.其次，抗張強度隨吸引能指數(shù)、排斥能指數(shù)和吸引能系數(shù)的增大而增大，隨排斥能系數(shù)的增大而減??；彈性模量隨吸引能指數(shù)、吸引能系數(shù)和排斥能系數(shù)的增大而增大，隨著排斥能指數(shù)的增大而減小.最后，隨相互作用勢能展開項項數(shù)的增加原子平衡間距不變，而彈性模量增大.上述研究結(jié)果既可為深刻地認識固體物理模型的內(nèi)在機制提供有效途徑，同時也可為材料分析和設計提供必要的理論指導.

[1]方俊鑫，陸棟．固體物理學[M]．上海：上海科學技術(shù)出版社，1983.

[2]Wei H. Four-parameter exactly solvable potential for diatomic molecules. Phys Rev A, 1990, 42(5): 2524.

[3]胡旭光．四參數(shù)雙原子分子勢能函數(shù)[J]．西安石油學院學報，1993，8(1)：90-94.

[4]于長豐，王志偉. 六參數(shù)高精度雙原子分子解析勢能函數(shù)[J].計算物理，2012，29(4)：656-664.

[5]羅旋，費維棟，王煜明.固體中的原子間相互作用勢[J].物理，1997，26(1)：14-17.

[6]劉國躍．雙原子分子勢能函數(shù)的研究進展[J].綿陽師范學院學報，2005，24(5)：46-51.

[7]蔣亞靜．雙原子分子勢能函數(shù)諧振子模型[J].新鄉(xiāng)學院學報，2014，31(4)：10-11.

[8]鄭瑞倫，田德祥，龍曉霞．原子相互作用勢對固體彈性模量的影響[J].西南師范大學學報，2003，28(6)：892-896.

[9]胡建民，周勝，信江波，等．固體物理學教程[M]．哈爾濱：東北林業(yè)大學出版社，2010.